Cómo Multiplicar Polinomios Paso a Paso. Ejercicios resueltos

A continuación, te voy a explicar cómo multiplicar polinomios paso a paso.

Te explicaré la multiplicación de polinomios desde el principio, desde lo más básico a lo más complicado.

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Cómo Multiplicar un Número por un Monomio

Este es el caso más simple. Se procede igual que para multiplicar dos términos, pero en este caso, uno de los dos términos sólo es un número.

Por tanto, se multiplican los números  y las variables del monomio se quedan tal y como están en el monomio.

Por ejemplo:numero por monomio

1. Se multiplican los números: numero por monomio

2. Las variables y los exponentes del monomio se quedan igual:

numero por monomio

Y ya tenemos el resultado final.

Cómo Multiplicar un Monomio por un Monomio

Recordamos que un monomio es un polinomio de un solo término.

Por eso, multiplicar dos monomios, es lo mismo que multiplicar dos términos y se procede igual que hemos explicado anteriormente para multiplicar dos términos.

Como ya sabes, los términos de un polinomio se componen de un coeficiente (número y signo) y de la parte literal (variables elevadas a sus exponentes).

Para multiplicar dos términos, se sigue este procedimiento:

1. Se multiplican los coeficientes de cada término, igual que si se tratara de multiplicar números enteros, teniendo en cuenta la regla de los signos.

2. Para multiplicar la parte literal de cada término, hay que tratarlas como una multiplicación de potencias con distintas bases: para las variables que sean iguales, se mantiene la base y se suman los exponentes y las que no sean iguales se quedan tal y como están en el resultado. Vamos a verlo más despacio como sería el procedimiento con un ejemplo:

multiplicar los términos de un polinomio

En esta multiplicación de potencias tenemos dos bases x e y:

multiplicar los términos de un polinomio

Ahora para las potencias que tengan la misma base, se suman los exponentes: x por un lado e y por otro lado:

multiplicar los términos de un polinomio

Vamos a ver otro ejemplo de cómo multiplicar los términos de un polinomio, con términos que también tengan coeficiente:

multiplicar los términos de un polinomio

En primer lugar, multiplicamos los coeficientes, igual que se multiplican los números enteros:

multiplicar los términos de un polinomio

Ahora vamos con la parte literal. En este caso, tenemos 3 bases: a, b y c. (Aunque las variables no aparezcan elevadas a ningún exponente, en realidad su exponente es 1). Por tanto, para las bases que sean iguales, se suman sus exponentes, igual que en el ejemplo anterior:

multiplicar los términos de un polinomio

multiplicar los términos de un polinomio

Cómo Multiplicar un Número por un Polinomio

Para multiplicar un número por un polinomio, se multiplica el número por cada uno de los términos del polinomio.

Veamos un ejemplo paso a paso:

número por polinomio

1. Se multiplica el número por el primer término del polinomio:

número por polinomio

2. Se multiplica el número por el segundo término del polinomio:

número por polinomio

3. Se multiplica el número por el tercer término del polinomio:

número por polinomio

Si tuviéramos más términos, habría que seguir así sucesivamente.

Signo Menos Delante de un Polinomio entre Paréntesis

Un caso particular  de un número por un polinomio es el de un signo menos delante de un polinomio entre paréntesis.

Es equivalente a multiplicar por -1:

polinomio por signo menosComo puedes observar, el signo menos cambia de signo los términos del polinomio original. Ésta es una buena forma de acordarse a la hora de eliminar paréntesis cuando estemos operando.

Cómo Multiplicar un Monomio por un Polinomio

En este caso, tenemos que multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio, igual que hemos hecho antes. Es decir, es ir multiplicando monomio por monomio repetidas veces.

Por ejemplo:

monomio por polinomio

1. Se multiplica el monomio por el primer término del polinomio:

monomio por polinomio

2. Se multiplica el monomio por el segundo término del polinomio:
monomio por polinomio

3. Se multiplica el monomio por el tercer término del polinomio:

monomio por polinomio

Multiplicación de Polinomios. Polinomio por Polinomio

Ya hemos llegado al caso más complicado para aprender cómo se multiplican polinomios. Aquí tienes que multiplicar cada término de un polinomio por todos los términos del otro polinomio, es decir:

  • Se multiplica el primer término de un polinomio, por todos los términos del otro polinomio
  • Se multiplica el segundo término de un polinomio, por todos los términos del otro polinomio
  • Se multiplica el tercer término de un polinomio, por todos los términos del otro polinomio
  • Y así sucesivamente…
  • Se reagrupan términos, sumando y restando los términos semejantes

Vamos a ver algunos ejemplos:

cómo multiplicar polinomios

1. Multiplicamos el primer término del primer polinomio, por todos los términos del segundo polinomio:

cómo multiplicar polinomios

2. Ahora, multiplicamos el segundo término del primer polinomio, por todos los términos del segundo polinomio:

cómo multiplicar polinomios

3. Agrupamos los términos semejantes:

cómo multiplicar polinomiosCuando multiplicamos dos binomios iguales (que es el cuadrado de un binomio), en vez de desarrollarlos mediante la multiplicación, se utilizan para ahorrar tiempo las fórmulas de productos notables y llegar al resultado más directamente. Por ejemplo:

(a+b)(a+b) = (a+b)² = a² + 2ab + b²

Ya para terminar, veamos el ejemplo de multiplicar dos polinomios con tres términos cada uno:

cómo multiplicar polinomios

1. Multiplicamos el primer término del primer polinomio por todos los términos del otro polinomio:

cómo multiplicar polinomios

2. Multiplicamos el segundo término del primer polinomio por todos los términos del otro polinomio:

cómo multiplicar polinomios

3. Multiplicamos el tercer término del primer polinomio por todos los términos del otro polinomio:

cómo multiplicar polinomios

4. Agrupamos términos semejantes

cómo multiplicar polinomios

Observa como el término con x elevada a 4 a desaparecido, porque los dos términos que aparecía eran iguales pero de signo contrario, por tanto se anulan.

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