Método de sustitución para resolver sistemas de dos ecuaciones

En esta sección vamos a explicar paso a paso el método de sustitución para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Existen también otros métodos de resolución, como el de igualación y el de reducción, pero voy a centrarme únicamente en el método de sustitución, ya que los otros métodos los tienes explicados en el Curso de Sistemas de dos Ecuaciones con dos Incógnitas.

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo para que sea tu profesor de matemáticas online e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

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Básicamente, el método de sustitución consiste en:

  1. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones, que quedará en función de la otra incógnita (seguiremos teniendo una ecuación).
  2. En la otra ecuación que no hemos utilizado, se sustituye la misma incógnita por el valor obtenido en el paso 1.
  3. Despejar la única incógnita que nos quede. Obtenemos el valor numérico de una incógnita.
  4. Sustituir la incógnita despejada en el paso 3 por su valor numérico (también obtenido en el paso 3) en la ecuación obtenida en el paso 1.
  5. Operar para obtener el valor numérico de la otra incógnita.

Vamos a verlo más despacio el método de sustitución con un ejemplo paso a paso.

Método de Sustitución paso a paso

Vamos a resolver por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:

método de sustitución

Para saber en todo momento a qué ecuación del sistema nos referimos, a la ecuación de arriba le llamaremos primera ecuación y a la de abajo segunda ecuación:

método de sustitución

1- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, teniendo en cuenta las reglas de la transposición de términos.

La más fácil para despejar es la “y” en la primera ecuación, ya que no tiene ningún número delante y además tiene un signo más delante, por lo que tan sólo pasando el 5x al otro lado ya tenemos la y despejada:

método de sustitución

Este es de momento nuestro valor de y, que decimos que está en función de x, porque x está contenida en su resultado. Además, la destacamos encerrándola en un recuadro rojo, porque más tarde tendremos que volver a esta ecuación.

2- En la ecuación que no hemos utilizado, sustituimos la misma incógnita despejada en el paso anterior, por el valor que hemos obtenido.

Es decir, en la segunda ecuación, donde aparece y, lo sustituimos por su valor en función de x:

método de sustitución

Nos queda un ecuación que solamente depende de una incógnita.

3 – Despejamos la incógnita que nos queda.

Ahora tenemos una ecuación que depende sólo de x. Si necesitas ayuda con las ecuaciones de primer grado, dentro de mis cursos, puedes encontrar el Curso de Ecuaciones de Primer Grado, donde explico muy detalladamente cómo resolver todo tipo de ecuaciones de primer grado.

Resolvemos la ecuación que nos ha quedado:

método de sustitución

Y obtenemos el valor numérico de x.

4 – El valor numérico obtenido se sustituye en la ecuación donde despejamos una incógnita en función de otra (paso 1). En nuestro caso, donde despejamos y en función de x:método de sustitución

Sustituimos la x por su valor:método de sustitución

5 – Y operamos para obtener el valor numérico de la incógnita que nos queda:

método de sustitución

Por tanto, la solución de este sistema es x=2, y=-2.

Método de sustitución: Cuando conviene utilizarlo

El método de sustitución es el más utilizado de los tres, ya que es el más polivalente. Utilízalo si no te indican lo contrario en tus ejercicios.

Por cierto, si quieres aprender a resolver sistemas de ecuaciones con el método de igualación o el método de reducción, te recuerdo que tienes a tu disposición el Curso de Sistemas de dos Ecuaciones con dos Incógnitas. También aprenderás por qué a veces un sistema no tiene solución, por ejemplo.

Por tanto, a la pregunta de ¿cuándo tengo que utilizar el método de sustitución? La respuesta es que cuando no tengas claro qué método utilizar, utiliza el método de sustitución. En el 95% de los casos.

Si quieres tener más ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso del método de sustitución, no olvides consultar el curso.

También puede interesarte: cómo resolver sistemas de dos ecuaciones con el método de igualación.

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