Propiedades de las Potencias

A continuación vamos a estudiar las propiedades de las potencias.

¿Para que sirven las propiedades de las potencias? Pues nos permiten operar con las potencias y poder así simplificar expresiones mucho más complejas.

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

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Vamos a empezar definiendo qué es una potencia.

Qué es una potencia

¿Qué es una potencia?

Una potencia es un producto de factores que se repiten un número determinado de veces. El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente. 

POTENCIA 1

En este ejemplo, el 3 se multiplica 4 veces, por lo que se lee que el 3 está elevado a 4

En general se puede representar como:

POTENCIA 2

Donde a es la base y n es el exponente.

Potencias con Base Negativa

Un caso particular de las potencias es cuando la base es negativa. En este caso, el resultado dependerá de si el exponente es par o impar. En general:

 POTENCIA 3  

   POTENCIA 4

Hay que tener mucho cuidado si el signo – no está dentro del paréntesis, ya que en ese caso, no está elevado con la potencia, sino que va a parte:

POTENCIA 5

Es decir, el signo – es totalmente independiente de la potencia. Tenemos un signo menos seguido de un dos al cuadrado.

Seguimos con las propiedades de las potencias.

Propiedades de las Potencias

Propiedad 1

Cualquier valor elevado a 1, da como resultado el mismo valor:

PROPIEDAD EXPONENTES 1

Ejemplo:EJEMPLO PROPIEDAD 1

Propiedad 2

Cualquier valor elevado a 0, tiene como resultado 1PROPIEDAD EXPONENTES 2Ejemplo:EJEMPLO PROPIEDAD 2

Propiedad 3

Multiplicación de potencias con la misma base: Se mantiene la base y se suman los exponentes:PROPIEDAD EXPONENTES 4 Ejemplo:EJEMPLO PROPIEDAD 3

Propiedad 4

División de potencias con la misma base: Se mantiene la base y se restan los exponentes:PROPIEDAD EXPONENTES 5Ejemplo:EJEMPLO PROPIEDAD 4

Propiedad 5

Potencia elevada a otra potencia: Se mantiene la base y se multiplican los exponentes:

PROPIEDAD EXPONENTES 6

Ejemplo:EJEMPLO PROPIEDAD 5

Propiedad 6

Multiplicación elevada a una potencia: Es lo mismo que cada valor elevado a la misma potencia:PROPIEDAD EXPONENTES 7

Ejemplo:
EJEMPLO PROPIEDAD 6

Propiedad 7

Cociente elevado a una potencia: Es igual al numerador y al denominador elevados a la misma potencia:

PROPIEDAD EXPONENTES 8

Ejemplo:EJEMPLO PROPIEDAD 7

Si podemos operar dentro del paréntesis, también podemos resolver la potencia sin aplicar esta propiedad, solamente resolviendo el paréntesis y después elevarlo al exponente:EJEMPLO PROPIEDAD 7.2

Propiedad 8

Potencias de exponente negativo: Un valor elevado a una potencia negativa, es equivalente a 1 dividido entre el valor elevado a la misma potencia positiva:

PROPIEDAD EXPONENTES 9

Ejemplo:EJEMPLO PROPIEDAD 8

Como caso particular de esta propiedad esta la inversa de un número, que es cualquier valor elevado a -1:PROPIEDAD EXPONENTES 3

Fracción elevado a exponente negativo: En este caso se le da la vuelta a la fracción y el exponente se pone positivo:

EJEMPLO PROPIEDAD 8.3

Propiedad 9

Potencia de exponente racional:

PROPIEDAD EXPONENTES 10Ejemplo:

 

EJEMPLO PROPIEDAD 9

El denominador del exponente se convierte en el índice de la raíz

Propiedad 10

Potencia de exponente racional y negativo:

PROPIEDAD EXPONENTES 10.1Ejemplo:EJEMPLO PROPIEDAD 9.2

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