▷ Cálculo de funciones derivadas. Ejemplos y ejercicios resueltos.

Cálculo de funciones derivadas. Ejemplos y ejercicios resueltos.

En esta lección te voy a explicar qué es la función derivada, cómo obtener las funciones derivadas para cada uno de los tipos de funciones y cómo utilizar las fórmulas de estas funciones para derivar.

Veremos también las operaciones con funciones derivadas.

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Función derivada

Hasta ahora, para calcular la derivada de una función en un punto lo hemos hecho utilizando la definición de la derivada:

derivadas

Utilizando la definición de derivada, podemos obtener la función derivada de una función, es decir, una función que asocia a cada punto con la derivada en dicho punto.

Es decir, en vez de calcular la derivada para un sólo punto, la podemos calcular para x:

derivadas ejemplos

El resultado será una función que depende de x y para obtener la derivada en un punto en concreto, sólo tenemos que sustituir la x por ese punto en la función derivada.

No hay que confundir los conceptos de derivada de una función en un punto, que es un número real, con una función derivada o simplemente derivada, que es una función.

Vamos a ver un ejemplo: Hallar la función derivada de la siguiente función:

ejercicios de derivadas

Aplicamos la definición de derivada:

derivadas ejercicios

Sustituimos f(x+h) y f(x) por sus funciones correspondientes:

ejemplos de derivadas

Operamos y simplificamos términos:

ejercicios resueltos de derivadas

Anulamos la h del numerador y del denominador y por último obtenemos el resultado:

ejercicios de derivadas resueltos

Por tanto, la función derivada de la función anterior es:

ejercicios derivadas

Esta vez, la función derivada es una función constante, es decir, no es el valor de la derivada en un punto, lo que quiere decir que la derivada de la función anterior en cualquier punto es igual a 7.

Si calculamos el valor de la función derivada en cualquier punto, el resultado siempre será 7:

derivadas ejercicios resueltos

Vamos a ver otro ejemplo.

Hallar la función derivada de la siguiente función:

ejemplo de derivadas

y halla el valor de la derivada de esa función en el punto x=2.

En primer lugar aplicamos la fórmula de la definición de derivada:

derivadas formulas y ejemplos

Sustituimos f(x+h) y f(x) por sus valores:

derivadas de funciones

Desarrollamos el paréntesis que está al cuadrado:

derivadas resueltas

Eliminamos paréntesis:

derivada de una funcion

Simplificamos términos y sacamos factor común a la h en el numerador:

ejemplo de derivada

Eliminamos la h que se repite en el numerador y en el denominador y obtenemos el resultado final:

derivada de una funcion ejemplos

La derivada de la función es por tanto:

ejemplos de derivadas resueltas

Para hallar el valor de la derivada en x=2, ya no es necesario aplicar la fórmula de la derivada. Simplemente sustituyendo la x por 2 en la función derivada, obtenemos su valor para ese punto:

derivar funciones

Cálculo de funciones derivadas

Si conocemos la función derivada de cada tipo de función, podemos escribirla directamente sin necesidad de calcular cada vez la función derivada utilizando su definición.

Esto nos permite calcular derivadas de una forma más directa, al mismo tiempo que simplifica mucho los cálculos en funciones más complejas.

Vamos a ver a continuación como es la derivada de cada uno de los tipos de funciones:

Derivada de una constante

Tenemos una función constante:

ejercicios de derivadas de funciones

La derivada de una función constante es cero:

derivada de una funcion ejercicios resueltos

Vamos a demostrarlo calculando su función derivada utilizando la definición:

problemas de derivadas resueltos

ejemplos de derivada

Por tanto, cada vez que la función sea una constante, la derivada será 0 y lo puedes poner directamente.

Por ejemplo: Calcular la derivada de la siguiente función:

derivada ejemplos

Como es una función constante, escribimos directamente su derivada:

derivadas formulas

Derivada de la función lineal

Las funciones lineales son aquellas cuya forma son una x multiplicadas por un número:

ejercicios derivadas resueltos

La derivada de la función lineal es el número que multiplica a la x:

ejercicios de derivadas resueltos paso a paso

Su demostración es la siguiente:

ejercicios resueltos derivadas

ejemplos derivadas

derivadas ejercicios resueltos paso a paso

Por tanto, cuando las función sea lineal, en su derivada desaparecerá la x y se quedará sólo el número:

Vamos a ver un ejemplo: Calcular al derivada de la siguiente función:

derivada de un cociente ejercicios resueltos

Su derivada es igual al número que tiene delante la x:

formulas de derivadas

Derivada de la identidad

Un caso particular de la función lineal es la función identidad, es decir, cuando la función es sólo una x::

funciones derivadas

La derivada de la función identidad es igual a 1, que es igual al número que lleva delante:

derivada de una constante ejemplos

Su demostración es:

derivadas por formula general ejercicios resueltos

como derivar una funcion

Derivada de la función afín

La función afín es la que tiene la siguiente forma:

ejercicios de derivada

La derivada de la función afín es el número que queda delante de la x. Todo lo demás desaparece:

reglas de derivacion ejercicios resueltos

Tiene sentido ya que la derivada de una función linea es el número que queda delante de la x y la derivada de un una constante es cero, por tanto, la suma de las dos derivadas es igual al número que queda delante de la x.

Veremos más adelante que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas.

Su demostración derivando con la definición de la derivada es:

derivadas por definicion ejercicios resueltos

derivada de funciones

derivar

calculo de derivadas

Por ejemplo, calcular la derivada de:

derivadas resueltas paso a paso

Directamente para calcular la derivada de esta función, dejamos sólo el número que está multiplicando a la x:

ejemplos resueltos de derivadas

Derivada de la función potencial

Una función potencial es aquella donde la x está elevada a un exponente. Para calcular su derivada, el exponente pasa a multiplicar a la x y se le resta 1 al exponente:

ejercicios de calculo diferencial resueltos paso a paso

En lugar de una x, podemos tener una función elevada a un exponente. En ese caso, la derivada se calcula pasando el exponente a multiplicar a la función, a cuyo exponente se le resta 1 y además todo lo anterior queda multiplicado por la derivada de la función:

ejercicios para derivar

Por ejemplo, calcular la derivada de:

derivada

Pasamos el 2 multiplicando a la x y le restamos 1 al exponente:

reglas de las derivadas ejemplos

Vamos a ver otro ejemplo con una función elevada a un exponente: Derivar la siguiente función:

propiedades de las derivadas ejercicios resueltos

Pasamos el exponente a multiplicar la función y al exponente de la función le restamos 1 y todo eso, lo multiplicamos por la derivada de la función, que esta compuesta por dos términos y su derivada será la suma de la derivada de cada uno de los términos:

derivadas de funciones ejercicios resueltos

Derivada de una constante por una función

Cuando tenemos una constante que está multiplicando a una función, su derivada será esa constante multiplicada por al derivada de la función:

ejercicios con derivadas

Por ejemplo:

derivada de una raiz ejercicios resueltos

El 3 lo pasamos multiplicando y queda multiplicando al 27, que ya estaba. Al exponente de la x le restamos 1:

derivada de un producto ejemplos

Derivada de una raíz

La derivada de una raíz es un caso particular de la función potencial cuando el exponente es fraccionario. La derivada de la raíz cuadrada de x es la siguiente:

calculo derivadas

Si lo que tenemos es una función dentro de la raíz cuadrada, su derivada es:

ejercicio de derivadas

En general, la derivada de una raíz, ya sea de x o de una función es:

derivada de un cociente ejemplos paso a paso

calcular derivadas

Por ejemplo:

problemas resueltos de derivadas

En el denominador, el índice pasa a multiplicar a la raíz y se le resta 1 al exponente del radicando:

ejemplo de una derivada

Vamos a ver otro ejemplo de calcular la derivada de la raíz cuadrada de una función:

derivada ejercicios

como derivar funciones

Derivada del logaritmo

La derivada de un logaritmo de x de base cualquiera es igual a 1 dividido por el producto de x por el logaritmo neperiano de la base:

ejercicios de calculo diferencial resueltos y explicados

Cuando el logaritmo es de una función, su derivada es igual a 1 entre el producto de la función por el logaritmo neperiano de la base, multiplicado por la derivada de la función:

derivadas ejercicios y soluciones

Cuando la función es logaritmo neperiano de x, su derivada es 1 entre x:

ejemplos de calculo

Y si la función es logaritmo neperiano de una función, su derivada es 1 entre la función, multiplicado por la derivada de la función:

problemas de derivadas

Por ejemplo, la derivada de este logaritmo en base 12 de esta función es:

derivada del producto de dos funciones ejemplos resueltos

derivadas de una funcion

Derivada de la función exponencial

Tenemos una función exponencial cuando la x está en el exponente. Su derivada es igual al mismo número elevado a x multiplicado por el logaritmo neperiano de la base de la potencia:

ejercicios de derivadas por definicion resueltos paso a paso

Si el número está elevado a una función, la derivada es igual a la misma potencia, multiplicada por el logaritmo neperiano de la base y por al derivada de la función exponente:

derivadas paso a paso

Cuando el número al que está elevado la x es el número e, la derivada es el mismo número e elevado a x:

calculo ejemplos

Si el número e está elevado a una función, su derivada es el mismo número e elevado a la función por la derivada de la función:

derivada de una funcion compuesta ejercicios resueltos

Por ejemplo, en esta función exponencial, donde el número está elevado a una función:

derivada de una raiz

Su derivada es:

regla de la cadena derivadas ejemplos

En este otro ejemplo con el número e elevada a una función:

derivadas calculo

Su derivada es:

como calcular la derivada de una funcion

Derivada de las funciones trigonométricas

Vamos a ver ahora las derivadas de las funciones trigonométricas junto con sus funciones compuestas.

La derivada del seno es igual al coseno:

deribadas

derivada de un producto ejercicios resueltos

La derivada del coseno, es igual a menos seno:

ejercicios de derivadas resueltas

ejercicios de derivadas de un producto resueltos paso a paso

La derivada de la tangente es igual a 1 más el cuadrado de la tangente o 1 entre el coseno cuadrado de x:

derivadas exponenciales ejercicios resueltos paso a paso

derivadas con raiz ejercicios resueltos

Esas tres funciones trigonométricas son las más utilizadas. Te dejo también el resto de funciones trigonométrica:

Contangente:

funcion derivada

derivadas matematicas

Secante:

derivadas por formula

ejemplos de funciones

Cosencante:

f(x+h)-f(x)/h ejercicios resueltos

derivadas funciones

Veamos algunos ejemplos sobre derivar funciones trigonométrica.

Derivar la siguiente función seno:

derivadas compuestas ejercicios

derivadas de division ejercicios resueltos

Derivar la siguiente función coseno:

hallar las derivadas de las siguientes funciones resueltos

derivada de una constante ejercicios resueltos

Derivar la siguiente función tangente:

ejemplos de derivadas de funciones

derivada de una raiz cuadrada ejercicios resueltos

Derivar la siguiente función cotangente:

derivadas de una funcion ejercicios

derivada ejemplo

Derivada de las funciones trigonométricas inversas

Éstas son las derivadas de las funciones trigonométricas inversas principales.

Arco seno:

regla de la cadena ejercicios resueltos

funcion derivada ejemplos

Arco coseno:

regla de la cadena derivadas ejercicios resueltos

funciones derivadas ejercicios resueltos

Arco tangente:

derivada ejercicios resueltos

ejemplos de la derivada

Operaciones con funciones derivadas

Vamos a ver ahora cómo derivar funciones que están formadas por más de una función, como la suma, la multiplicación, el cociente o la composición de funciones.

La derivada de la suma de dos funciones ya la hemos comentado un poco en el apartado anterior.

Derivada de la suma de dos funciones

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de esas dos funciones:

ejercicios de derivacion

Por ejemplo, la derivada de la siguiente función:

funciones derivadas ejemplos

es igual a la derivada de cada uno de sus términos:

ejercicios de calculo

Derivada de un producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de al primera función, por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar, por la derivada de la segunda:

ejemplo derivadas

regla del producto derivadas ejercicios resueltos

Por ejemplo:

derivadas basicas ejercicios

derivar ejemplos

Derivada del cociente de funciones

La derivada de un cociente de funciones es igual a la derivada del numerador, por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el denominador sin derivar al cuadrado:

ejercicios de derivada resueltos

derivadas de funciones ejemplos

Por ejemplo:

formulas de derivadas con ejemplos

derivadas por formulas ejemplos

Una vez aplicada la fórmula de la derivada de un cociente, ya sólo queda operar y agrupar términos semejantes:

calcular la derivada de una funcion

ejercicios de derivadas por definicion

derivadas trigonometricas ejercicios resueltos paso a paso

Regla de la cadena. Derivada de la función compuesta

En las funciones compuestas por otras funciones:

ejercicios de calculo resueltos

Su derivada se calcula aplicando la regla de la cadena, que consiste en ir derivando la función que queda por fuera, multiplicada por la derivada de la función de dentro:

funciones para derivar

Por ejemplo, esta función se compone de una función elevada a 4:

ejemplos de derivada de una constante

La función de fuera es la función elevada a 4 y al función de dentro corresponde a un polinomio.

Por tanto, aplicamos la regla de la cadena derivando la función que queda por fuera, es decir, la función elevada a 4, que pasamos el 4 a multiplicar y le restamos uno al exponente, y lo multiplicamos por la derivada de la función de dentro, que corresponde a la suma de sus derivadas:

calculo diferencial derivadas ejercicios resueltos

Veamos otro ejemplo. En este caso, tenemos una función compuesta por una función elevada a 6:

derivadas de resta ejercicios resueltos

La función que queda por fuera es una función elevada a 6 y la función de dentro es un cociente de funciones:

derivadas algebraicas ejercicios resueltos

La regla de la cadena la hemos ido aplicando en el cálculo de cada una de las funciones derivadas compuestas, es decir, cuando estaban formadas por una función, ya que si te das cuenta, todas están multiplicadas por f'(x).

Tabla de derivadas

Te dejo aquí una recopilación de todas las derivadas para que lo tengas todo más a mano

>> Descargar tabla de derivadas pdf

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