▷ Teorema de Tales. Ejercicios resueltos. Cómo aplicarlo paso a paso

Teorema de Tales

¿Quieres aprender a resolver problemas del TEOREMA DE TALES? A continuación te voy a explicar cómo entender el teorema de Tales y cómo aplicarlo con ejercicios resueltos paso a paso.

Puedes verlo escrito como teorema de Thales y como teorema de Tales.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Qué es la razón de dos segmentos

Para entender el teorema de Tales es necesario que entiendas muy bien qué es la razón entre dos segmentos.

Por ejemplo, tenemos estos dos segmentos:

teorema de thales ejercicios resueltos

Como ya sabes, los segmentos están delimitados por dos extremos y se nombran por los extremos que lo limitan. Al segmento rojo, que empieza en el extremo A y termina en el extremo B, se le llama segmento AB.

Si dos segmentos tienen alguna relación entre ellos, se utilizan las mismas letras para nombrarlos, pero como no pueden repetirse, se utiliza la comilla simple al lado de cada letra y esa comilla se lee “prima”. Por tanto A’, se leería “A prima”.

Así pues, al segmento azul, que empieza en A’ y termina en B’, lo llamaremos segmento A’B’.

La razón (o relación) de dos segmentos es el resultado de dividir la longitud de esos dos segmentos.

Si el segmento AB mide 5 cm y el segmento A’B’ mide 10 cm, ¿cuál la razón de estos dos segmentos?

Sólo tenemos que dividir la longitud del segmento AB entre la longitud del segmento A’B’:

teorema de thales ejercicios

La razón de esos dos segmentos es 0,5, que significa que AB es la mitad que A’B’.

También podemos calcular la razón dividiendo la longitud del segmento A’B’ entre la longitud del segmento AB:

ejercicios de teorema de thales

En este caso, la razón es 2, o con otras palabras, el segmento A’B’ es el doble que el segmento AB.

Si te das cuenta, decir que el segmento AB es la mitad que el segmento A’B’, es lo mismo que decir que el segmento A’B’ es el doble que el segmento AB.

Por tanto, para calcular la razón no es necesario hacerlo de ambas formas. Calculándola por una de las dos formas es suficiente.

Proporcionalidad entre pares de segmentos

Tenemos ahora estos dos segmentos:

teorema de thales

El segmento rojo, CD, mide 3 cm y el segmento azul C’D’ mide 6 cm.

Vamos a calcular su razón:

teorema de tales ejercicios

La razón de los segmentos CD y C’D’ es la misma que la razón de los segmentos AB y A’B’.

Cuando dos pares de segmentos tienen la misma razón, se dice que son proporcionales.

Por tanto los segmentos AB y A’B’ son proporcionales a CD y C’D’:

ejercicios teorema de thales

teorema de thales

Dos pares de segmentos son proporcionales cuando su razón es la misma

El teorema de Tales

Una vez que te he explicado la razón entre dos segmentos y la proporcionalidad entre dos pares de segmentos, vamos a ver el teorema de Tales.

Tenemos dos rectas secantes (que no son paralelas). A una la llamaremos la recta r (color rojo) y a la otra la llamaremos la recta s (color azul):

ejercicios resueltos del teorema de tales

A estas dos rectas, las cortamos con varias rectas paralelas (color verde), de la siguiente manera:

teorema de tales ejemplos resueltos

A los puntos donde cortan las rectas paralelas a la recta r, los voy a llamar A, B y C y a los puntos donde cortan las rectas paralelas a la recta s, los llamaré A’, B’ y C’:

ejercicios del teorema de tales

Las rectas verdes, han dividido a la recta r en dos segmentos: el segmento AB y el segmento BC. Además tenemos un tercer segmento si consideramos la primera y la última recta paralela, es decir, el segmento AC.

También han dividido a la recta s en dos segmentos A’B’ y B’C’ y si consideramos la primera y la última recta paralela, existe un tercer segmento A’C’.

El teorema de Tales nos dice lo siguiente:

Cuando dos rectas cualesquiera, r y s, son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos que forman la recta r son proporcionales a los segmentos que forman la recta s.

¿Y eso que quiere decir?

Pues que si divides las longitudes de los segmentos que están enfrentados, es decir, el segmento AB entre el segmento A’B’ tienen la misma razón que si divides el segmento BC entre el segmento B’C’:

teorema de tales ejercicios resueltos

Como tienen la misma razón, AB y A’B’ son proporcionales a BC y B’C’.

Si consideramos el segmento formado por la primera y la última recta paralela, es decir, el segmento AC, también es proporcional al segmento AB:

ejercicios de thales

Y por tanto, todos los segmentos de la recta r son proporcionales a los segmentos de la recta s:

ejercicios de teorema de tales resueltos

¿Para qué sirve el teorema de Tales?

El teorema de Tales te permite calcular la longitud de un segmento, conocidos los valores de todos los demás segmentos de dos rectas que se encuentran en posición de Tales.

Encontrarse en posición de Tales significa que las rectas tienen que estar tal y como dice el teorema de Tales, es decir, dos rectas secantes cortadas por varias rectas paralelas.

También podemos dividir un segmento en partes iguales, como veremos a continuación:

Como dividir un segmento en partes iguales con el teorema de Tales

Vamos a ver cómo dividir un segmento cualquiera en partes iguales aplicando el teorema de Tales.

Ejemplo de división de un segmento en partes iguales con el teorema de Tales

Podemos utilizar el teorema de Tales para dividir un segmento cualquiera en partes iguales, independientemente de la longitud del segmento.

¿Cómo utilizamos el teorema de Tales para dividir un segmento cualquiera?

Vamos a verlo paso a paso.

Tenemos un segmento cualquiera:

dividir un segmento en partes iguales

Podemos dibujar una semirrecta, que tenga una dirección cualquiera, a partir de uno de los extremos del segmento.

division de segmentos en partes iguales

Esa semirrecta la vamos colocando una medida cualquiera, de una longitud que conocemos, de por ejemplo de 1 cm, de 2 cm o de lo que queramos, ayudándonos de una regla. El número de veces que vamos añadiendo la medida conocida sobre la semirrecta tiene que coincidir con el número de partes en la que se quiera dividir el segmento.

Por ejemplo, voy a dividir la semirrecta en 4 partes de 1 cm cada una. La voy añadiendo una a continuación de la otra:

dividir segmentos en partes iguales

La última división, la unimos con el extremo B del segmento:

como dividir un segmento en 4 partes iguales

Finalmente, trazamos líneas paralelas a la recta 4-B, que pasen por las divisiones de la semirrecta 3, 2 y 1 y que corten al segmento AB:

dividir un segmento en 3 partes iguales

El segmento AB queda dividido por tanto en 4 partes iguales y cada una de esas partes son proporcionales a las partes de la semirrecta. Ahí es donde se cumple el teorema de Tales y el cual lo hemos aprovechado para hacer esto.

Como ves, no necesitamos conocer la longitud del segmento AB para dividirlo. Por tanto, el teorema de Tales es muy útil para dividir segmentos cuya longitud no conocemos o que no podemos dividir directamente, ya que la división entre la longitud total del segmento y el número de partes no es exacta.

Podemos dividir el segmento AB en el número de partes que queramos, tan solo añadiendo más medidas a la semirrecta. Por otro lado, la semirrecta puede partir desde el punto A o desde el punto B del segmento indiferentemente y puede tener cualquier dirección, es decir, podría ser incluso perpendicular al segmento.

Ejercicios resueltos del teorema de Tales

Vamos a resolver varios ejercicios para que te quede mucho más claro.

Ejercicio 1

Las rectas a y b del dibujo son paralelas. Comprueba utilizando el teorema de Tales si también lo es la recta c.

ejercicios de teorema de tales

¿Cómo demostramos que la recta c es paralela?

Pues tenemos que demostrar que las rectas están en posición de Tales y que se cumple el teorema de Tales, comprobando si los segmentos de ambas rectas tienen la misma razón y que entre ellas sean proporcionales.

Calculamos la razón de los primeros segmentos:

teorema de thales ejercicios resueltos 2o eso

Y la razón de los siguientes dos segmentos:

teorema de tales problemas resueltos

La razón es la misma, por lo que ambos pares de segmentos son proporcionales.

Entonces se cumple el teorema de Tales y como consecuencia, la recta c es paralela.

Ejercicio 2

¿Cuánto mide el segmento x en este dibujo?

ejercicios thales

Sabemos lo que miden los dos segmentos de r, pero falta por saber cuánto mide uno de los segmentos de s, por lo que a ese segmento le llamamos x.

Entonces, según el teorema de Tales, los tramos que están enfrentados tienen la misma razón, por lo que sus divisiones deben de dar lo mismo y por tanto las podemos igualar:

segmentos proporcionales

Nos queda una ecuación de primer grado, de donde tenemos que despejar la x.

Hay mucha confusión para resolver ecuaciones de este tipo. (si quieres aprender mucho más sobre cómo resolver ecuaciones de primer grado, te recomiendo el Curso de Ecuaciones de Primer Grado)

Para resolver esta ecuación, pasamos los denominadores de cada miembro, multiplicando al numerador del miembro contrario (multiplicamos en cruz).

El 5 que está dividiendo al 8 en el primer miembro, pasa multiplicando al 6 del segundo miembro y la x, que está dividiendo al 6 en el segundo miembro, pasa multiplicando al 8 en el primer miembro y nos queda así:

teorema de thales ejercicios resueltos

Ya no tenemos denominadores. Vamos a despejar la x.

Ahora, el 8 que está multiplicando a la x, pasa al segundo miembro dividiendo:

teorema tales

Y finalmente operamos para calcular el valor de x:

problemas de teorema de tales

Que si lo compruebas, los pares de segmentos serán proporcionales.

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