Cómo calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión en una función

En esta lección te voy a enseñar cómo calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de una función cuando no tienes su gráfica.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Los extremos relativos de una función son máximos, mínimos y puntos de inflexión (punto donde la función pasa de cóncava a convexa y viceversa).

Cómo obtener máximos, mínimos y puntos de inflexión con derivadas

Los extremos relativos (máximos, mínimos y puntos de inflexión), pueden ser los puntos que hagan que la derivada primera de la función sea igual a cero:

puntos de inflexion maximos y minimos

Estos puntos serán los candidatos a ser un máximo, un mínimo un punto de inflexión, pero para ello, deben cumplir una segunda condición, que es la que te indico en el apartado siguiente.

Cómo saber si un punto es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión

Una vez que hemos obtenido los puntos para los cuales, la derivada primera de la función es igual a cero, para cada punto debemos comprobar lo siguiente:

Si el valor de la derivada segunda en ese punto es mayor que cero, entonces ese punto es mínimo:

maximos minimos y puntos de inflexion

Si el valor de la derivada segunda en ese punto es menor que cero, entonces ese punto es máximo:

maximos y minimos ejemplos paso a paso

Si la derivada segunda en ese punto es igual a cero, entonces ese punto es un punto de inflexión, siempre y cuando la derivada tercera en ese punto sea distinta de cero:

maximos minimos y puntos de inflexion ejemplos

Vamos a verlo con un ejemplo todo lo explicado hasta ahora.

Ejercicio resuelto sobre cómo calcular los máximos, mínimos y puntos de inflexión

Vamos a obtener los extremos relativos de la siguiente función:

maximos y minimos ejercicios resueltos paso a paso

En primer lugar, vamos a obtener los posibles extremos relativos, obteniendo la derivada primera de la función e igualándola a 0.

La derivada primera de la función es:

como calcular maximos y minimos

La igualamos a cero para obtener los puntos que cumplen esa condición:

pasos para calcular maximos y minimos

Para resolver la ecuación, la simplificamos previamente:

maximo minimo y puntos de inflexion

Como es una ecuación de tercer grado, la descompongo en factores por la regla de Ruffini:

maximos y minimos y puntos de inflexion

Cuyas soluciones son:

calcular maximos y minimos

Que corresponden a posibles máximos, mínimos o puntos de inflexión.

Ahora vamos a comprobar a qué corresponde cada punto, estudiando el signo de la derivada segunda. Para ello obtenemos la derivada segunda de la función:

como calcular puntos de inflexion

Y calculamos el valor de la derivada segunda para cada uno de los valores que acabamos de calcular y que hacen que la derivada primera sea cero (x=-2, x=-1 y x=1).

Empezamos calculando el valor de la derivada segunda para x=-2:

puntos de inflexion de una funcion

El resultado es mayor que cero, por tanto en x=-2 hay un mínimo:

maximo y minimo de una funcion ejercicios

Calculamos el valor de f”(x) para x=-1:

puntos de inflexion

El resultado es menor que cero, por lo que en x=-1 hay un máximo

punto de inflexion

Y por último, calculamos el valor de la derivada segunda para x=1:

puntos de inflexion ejercicios

Cuyo valor es mayor que cero, por lo que en x=1 hay un mínimo:

punto de inflexion de una funcion

Con los valores de x obtenidos a partir de igualar la derivada primera a cero, no hemos tenido ningún valor de f”(x) igual a cero, es decir, no hemos encontrado ningún punto de inflexión.

Por tanto, vamos a calcular los puntos que hace que la derivada segunda sea igual a 0:

calcular punto de inflexion

Igualamos la derivada segunda a 0:

punto de inflexion derivada

Y resolvemos la ecuación, cuyos resultados son:

puntos de inflexion calcular

Estos dos valores son posibles puntos de inflexión, siempre y cuando cumplan que la derivada tercera para esos puntos sea distinta de cero.

Calculamos la derivada tercera de la función:

derivada tercera

Y hallamos el valor de la derivada tercera para x=0,21:

puntos inflexion

Que es distinto de 0, por lo que en x=0,21 hay un punto de inflexión:

como calcular punto de inflexion

Hacemos lo mismo con x=1,24:

ejercicios de maximos y minimos derivadas

El resultado también es distinto de cero, por lo que en x=-1,24 hay un punto de inflexión

como sacar los puntos de inflexion

Resumiendo, los extremos relativos que hemos encontrado son:

  • Un mínimo en x=-2
  • Un máximo en x=-1
  • Un mínimo en x=1
  • Un punto de inflexión en x=0,21
  • Un punto de inflexión en x=-1,24

Si además de calcular los máximos, mínimos y puntos de inflexión quieres saber cómo calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento o saber en qué intervalos la función es cóncava o convexa, te recomiendo el Curso de Aplicaciones de las Derivadas.

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