En esta lección te voy a enseñar cómo calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de una función cuando no tienes su gráfica.
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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
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Los extremos relativos de una función son máximos, mínimos y puntos de inflexión (punto donde la función pasa de cóncava a convexa y viceversa).
Cómo obtener máximos, mínimos y puntos de inflexión con derivadas
Los extremos relativos (máximos, mínimos y puntos de inflexión), pueden ser los puntos que hagan que la derivada primera de la función sea igual a cero:
Estos puntos serán los candidatos a ser un máximo, un mínimo un punto de inflexión, pero para ello, deben cumplir una segunda condición, que es la que te indico en el apartado siguiente.
Cómo saber si un punto es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión
Una vez que hemos obtenido los puntos para los cuales, la derivada primera de la función es igual a cero, para cada punto debemos comprobar lo siguiente:
Si el valor de la derivada segunda en ese punto es mayor que cero, entonces ese punto es mínimo:
Si el valor de la derivada segunda en ese punto es menor que cero, entonces ese punto es máximo:
Si la derivada segunda en ese punto es igual a cero, entonces ese punto es un punto de inflexión, siempre y cuando la derivada tercera en ese punto sea distinta de cero:
Vamos a verlo con un ejemplo todo lo explicado hasta ahora.
Ejercicio resuelto sobre cómo calcular los máximos, mínimos y puntos de inflexión
Vamos a obtener los extremos relativos de la siguiente función:
En primer lugar, vamos a obtener los posibles extremos relativos, obteniendo la derivada primera de la función e igualándola a 0.
La derivada primera de la función es:
La igualamos a cero para obtener los puntos que cumplen esa condición:
Para resolver la ecuación, la simplificamos previamente:
Como es una ecuación de tercer grado, la descompongo en factores por la regla de Ruffini:
Cuyas soluciones son:
Que corresponden a posibles máximos, mínimos o puntos de inflexión.
Ahora vamos a comprobar a qué corresponde cada punto, estudiando el signo de la derivada segunda. Para ello obtenemos la derivada segunda de la función:
Y calculamos el valor de la derivada segunda para cada uno de los valores que acabamos de calcular y que hacen que la derivada primera sea cero (x=-2, x=-1 y x=1).
Empezamos calculando el valor de la derivada segunda para x=-2:
El resultado es mayor que cero, por tanto en x=-2 hay un mínimo:
Calculamos el valor de f»(x) para x=-1:
El resultado es menor que cero, por lo que en x=-1 hay un máximo
Y por último, calculamos el valor de la derivada segunda para x=1:
Cuyo valor es mayor que cero, por lo que en x=1 hay un mínimo:
Con los valores de x obtenidos a partir de igualar la derivada primera a cero, no hemos tenido ningún valor de f»(x) igual a cero, es decir, no hemos encontrado ningún punto de inflexión.
Por tanto, vamos a calcular los puntos que hace que la derivada segunda sea igual a 0:
Igualamos la derivada segunda a 0:
Y resolvemos la ecuación, cuyos resultados son:
Estos dos valores son posibles puntos de inflexión, siempre y cuando cumplan que la derivada tercera para esos puntos sea distinta de cero.
Calculamos la derivada tercera de la función:
Y hallamos el valor de la derivada tercera para x=0,21:
Que es distinto de 0, por lo que en x=0,21 hay un punto de inflexión:
Hacemos lo mismo con x=-1,54:
El resultado también es distinto de cero, por lo que en x=-1,54 hay un punto de inflexión
Resumiendo, los extremos relativos que hemos encontrado son:
- Un mínimo en x=-2
- Un máximo en x=-1
- Un mínimo en x=1
- Un punto de inflexión en x=0,21
- Un punto de inflexión en x=-1,54
Cálculo de parámetros de una función a partir de sus extremos relativos
Vamos a ver con un ejemplo cómo calcular los parámetros desconocidos de una función, sabiendo que cumple unas ciertas condiciones de extremos relativos.
Dada la siguiente función:
Calcula el parámetro «a» sabiendo que f(x) tiene un extremo relativo en el puno de abcisa x=3. ¿Se trata de un máximo o un mínimo?
Que la función tenga un extremo relativo en x=3, significa que la derivada primera en x=3 es igual a 0:
Por tanto, vamos a obtener la derivada de la función en x=3 y la igualamos a 0 para poder despejar el parámetro «a».
En primer lugar, operamos en la función para que luego sea más sencillo simplificar, pasando las incógnitas al numerador cambiándole el signo al exponente y que me quede como una suma de funciones potenciales:
Ahora derivamos la función:
Pasamos los exponentes a positivos bajándolos al denominador:
Y por último, obtenemos denominador común para operar con las fracciones y operamos:
Ahora calculamos la derivada de la función en x=3, sustituyendo la x por 3 en la derivada:
Operamos y nos queda:
Igualamos f'(3) a 0:
Vamos a obtener el valor de «a». Esa fracción será 0 cuando el numerador sea igual a 0, que es lo mismo que pasar el denominador multiplicando al segundo miembro (27.0=0):
Y despejamos «a»:
Por tanto, a=-4 para que en x=3 haya un extremo relativo.
Para saber si es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, debemos comprobar el signo de la derivada segunda.
Sabiendo que a=-4, la derivada primera nos queda:
Derivamos la derivada primera para obtener la derivada segunda, que se trata de la derivada de un cociente:
Operamos en el numerador para eliminar el paréntesis, multiplicando -3x² por cada uno de los términos del interior del paréntesis:
Agrupamos términos semejantes:
Y finalmente simplificamos:
Calculamos la derivada segunda en x=3, sustituyendo la x por 3 y operamos:
Nos queda que f»(3) es mayor que 0, por tanto, en x=3 hay un mínimo:
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