Cómo calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión en una función

En esta lección te voy a enseñar cómo calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de una función cuando no tienes su gráfica.

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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Los extremos relativos de una función son máximos, mínimos y puntos de inflexión (punto donde la función pasa de cóncava a convexa y viceversa).

Cómo obtener los extremos relativos

Los extremos relativos (máximos, mínimos y puntos de inflexión), pueden ser los puntos que hagan que la derivada primera de la función sea igual a cero:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Estos puntos serán los candidatos a ser un máximo, un mínimo un punto de inflexión, pero para ello, deben cumplir una segunda condición, que es la que te indico en el apartado siguiente.

Cómo saber si un punto es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión

Una vez que hemos obtenido los puntos para los cuales, la derivada primera de la función es igual a cero, para cada punto debemos comprobar lo siguiente:

Si el valor de la derivada segunda en ese punto es mayor que cero, entonces ese punto es mínimo:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Si el valor de la derivada segunda en ese punto es menor que cero, entonces ese punto es máximo:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Si la derivada segunda en ese punto es igual a cero, entonces ese punto es un punto de inflexión, siempre y cuando la derivada tercera en ese punto sea distinta de cero:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Vamos a verlo con un ejemplo todo lo explicado hasta ahora.

Ejercicio resuelto sobre cómo calcular los máximos, mínimos y puntos de inflexión

Vamos a obtener los extremos relativos de la siguiente función:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

En primer lugar, vamos a obtener los posibles extremos relativos, obteniendo la derivada primera de la función e igualándola a 0.

La derivada primera de la función es:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

La igualamos a cero para obtener los puntos que cumplen esa condición:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Para resolver la ecuación, la simplificamos previamente:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Como es una ecuación de tercer grado, la descompongo en factores por la regla de Ruffini:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Cuyas soluciones son:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Que corresponden a posibles máximos, mínimos o puntos de inflexión.

Ahora vamos a comprobar a qué corresponde cada punto, estudiando el signo de la derivada segunda. Para ello obtenemos la derivada segunda de la función:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Y calculamos el valor de la derivada segunda para cada uno de los valores que acabamos de calcular y que hacen que la derivada primera sea cero (x=-2, x=-1 y x=1).

Empezamos calculando el valor de la derivada segunda para x=-2:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

El resultado es mayor que cero, por tanto en x=-2 hay un mínimo:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Calculamos el valor de f”(x) para x=-1:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

El resultado es menor que cero, por lo que en x=-1 hay un máximo

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Y por último, calculamos el valor de la derivada segunda para x=1:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Cuyo valor es mayor que cero, por lo que en x=1 hay un mínimo:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Con los valores de x obtenidos a partir de igualar la derivada primera a cero, no hemos tenido ningún valor de f”(x) igual a cero, es decir, no hemos encontrado ningún punto de inflexión.

Por tanto, vamos a calcular los puntos que hace que la derivada segunda sea igual a 0:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Igualamos la derivada segunda a 0:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Y resolvemos la ecuación, cuyos resultados son:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Estos dos valores son posibles puntos de inflexión, siempre y cuando cumplan que la derivada tercera para esos puntos sea distinta de cero.

Calculamos la derivada tercera de la función:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Y hallamos el valor de la derivada tercera para x=0,21:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Que es distinto de 0, por lo que en x=0,21 hay un punto de inflexión:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Hacemos lo mismo con x=1,24:

máximos, mínimos y puntos de inflexión

El resultado también es distinto de cero, por lo que en x=-1,24 hay un punto de inflexión

máximos, mínimos y puntos de inflexión

Resumiendo, los extremos relativos que hemos encontrado son:

  • Un mínimo en x=-2
  • Un máximo en x=-1
  • Un mínimo en x=1
  • Un punto de inflexión en x=0,21
  • Un punto de inflexión en x=-1,24

Si además de calcular los máximos, mínimos y puntos de inflexión quieres saber cómo calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento o saber en qué intervalos la función es cóncava o convexa, te recomiendo el Curso de Aplicaciones de las Derivadas.

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