Cómo descomponer un polinomio en factores. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación te voy a explicar un procedimiento para que sepas cómo descomponer polinomios de cualquier tipo y que sepas cómo y cuándo utilizar cada una de las diferentes técnicas.

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Qué es la descomposición factorial de un polinomio

Igual que la descomposición de un número es expresarlo como producto de factores primos, como por ejemplo:

Descomponer un polinomio en factores es expresar ese polinomio como un producto de factores, donde esta vez los factores son polinomios de grado 1 o polinomios irreducibles de cualquier grado.

Los polinomios de grado 1, como ya vimos en la primera lección, son polinomios donde la suma de los exponentes de sus variables es igual a 1 y puede ser simplemente una variable, si es un polinomio con un sólo término o puede tener dos términos, donde uno de ellos será de grado 0 (un número) y otro de grado 1.

En general, tienen esta forma:

Donde “a” es el coeficiente que va multiplicando a la x y “b” es el número que forma el término de grado cero. Éstos son ejemplos de polinomios de grado 1:

Los polinomios irreducibles son aquellos que no tienen raíces reales y que por tanto no se pueden descomponer, como por ejemplo:

Si igualamos este polinomio a cero  resolvemos la ecuación resultante, obtendremos dos soluciones complejas, por lo que este polinomio sería irreducible y por tanto, también es un factor a la hora de descomponer polinomios.

Un ejemplo de descomposición de un polinomio en factores sería este polinomio:

Expresarlo de la siguiente forma:

Es decir, como un producto de factores.

Vamos a ver cómo se hace esto en el siguiente apartado.

Cómo descomponer un polinomio en factores

Para descomponer un polinomio en factores hay que seguir el siguiente procedimiento y realizar en este orden, si es posible, cada uno de estos pasos:

  1. Sacar factor común, si es posible
  2. Si no es posible sacar factor común, hay que identificar si es un producto notable y si lo es, escribir el polinomio como un producto notable en su forma sin desarrollar.
  3. Si no es posible realizar dos pasos anteriores, entonces descomponer por la regla de Ruffini. Éste es el último recurso al que tienes que recurrir cuando quieras descomponer una ecuación, ya que es el menos directo de todos.

Por otro lado, para descomponer un polinomio de grado 2, siempre y cuando no sea un producto notable, el camino más rápido es igualando el polinomio a cero y obteniendo sus raíces.

Después, obtendremos binomios de la forma (x-a) correspondiente a cada raíz y expresaremos el polinomio de segundo grado como el producto de los dos binomios.

En el Curso de Polinomios tienes desarrollados ejemplos tanto de cómo obtener factor común, como de productos notables y de la regla de Ruffini. Por lo que si necesitas ayuda en estos temas, te recomiendo que lo hagas sin dudar. También tienes muchos ejercicios propuestos con la solución paso a paso.

Ejercicios resueltos de descomposición de polinomios

Vamos a ver más detalladamente cómo aplicar cada uno de estos pasos para descomponer un polinomio en factores en los siguientes ejercicios resueltos.

Te iré explicando paso a paso como descomponiendo los siguientes polinomios.

Ejercicio resuelto 1

Empezamos comprobando si es posible obtener factor común: ¿se puede sacar factor común?

Sí, se puede sacar factor común una x:

Seguimos descomponiendo el polinomios de grado dos. Tal y como hemos visto antes, lo podemos expresar como una diferencia de cuadrados:

Y aplicar la fórmula de suma por diferencia:

El el polinomio quedaría factorizado.

Ejercicio resuelto 2

¿Se puede sacar factor común? Sí, podemos sacar factor común a x²

Ahora nos fijamos en el paréntesis, en el que tenemos una resta de dos términos, ¿la podemos convertir en una esta de cuadrados?

Sí, porque x elevada a 4 el es cuadrado de x al cuadrado y 1 al cuadrado es igual a 1:

Aplicamos la fórmula de suma por diferencia:

Y ahora en el primer paréntesis no podemos hacer nada más, ya que se trata de un polinomio irreducible (lo puedes comprobar tratando de obtener sus raíces), pero en el tercer paréntesis volvemos a tener una resta de cuadrados, por lo que volvemos a aplicar la fórmula de suma por diferencia:

Quedando totalmente factorizado.

Ejercicio resuelto 3

¿Podemos sacar factor común? Sí, podemos sacar como factor común una x:

En el paréntesis nos ha quedado un polinomio de segundo grado que lo factorizaremos obteniendo sus raíces. Para ello igualamos el polinomio igual a cero:

Y obtenemos sus soluciones, que corresponden a las raíces del polinomio:

A cada raíz le corresponde un binomio de la forma (x-a):

Por lo que expresamos el polinomio de segundo grado como el producto de esos dos binomios, dejando el polinomio inicial factorizado:

Ejercicio resuelto 4

En este caso no podemos sacar factor común ni tampoco identificar ningún producto notable, por lo que factorizamos por Ruffini.

El término independiente es un 6, por lo que tendremos que probar con los siguientes números: 1,-1, 2, -2, 3 y -3.

Nos queda:

Y el polinomio factorizado es:

Ejercicio resuelto 5

Tampoco podemos sacar factor común, ni aplicar ninguna fórmula de un producto notable, por lo que factorizamos con la regla de Ruffini.

El término independiente es 1, por lo que tendremos que probar con 1 y -1. Nos queda:

Llegados a este punto, no podemos seguir factorizando hasta que al final nos quede un polinomio de grado 1 (si intentas seguir, sólo te queda probar con 1 y -1 y no te quedará un 0 en la última fila). Por tanto, el polinomio de grado 2 que nos ha quedado es un polinomio irreducible y corresponde a un factor.

El polinomio factorizado nos queda:

Consideraciones a tener en cuenta

En un polinomio expresado como una multiplicación de factores, su grado será la suma de los grados de cada uno de los factores.

Por tanto, asegúrate, de que la factorización del polinomio tenga el mismo grado que el polinomio original.

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