Cómo multiplicar y dividir radicales paso a paso. Ejercicios resueltos.

¿Quieres aprender a multiplicar y dividir radicales? Te lo explico a continuación con ejercicios resueltos paso a paso.

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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Después de ver cómo sumar y restar radicales, le toca el turno a la multiplicación y división de radicales.

En la lección 3 del Curso de Raíces, te explico cómo multiplicar y dividir raíces con el mismo índice, pero lo recordaremos aquí brevemente.

A continuación te voy a enseñar también cómo multiplicar y dividir radicales que tengan distinto índice

Producto y cociente de radicales con el mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice hay que aplicar la primera propiedad de las raíces:

Cómo multiplicar y dividir radicales

Vamos a verlo mejor con un ejemplo:

Tenemos una multiplicación de dos raíces. Pues en primer lugar, las unimos en un único radical aplicando la primera propiedad:

Ya hemos multiplicado las dos raíces. A partir de aquí tenemos que operar para simplificar el resultado. Para ello, multiplicamos las potencias dentro del radical sumando los exponentes:

Y finalmente,  extraemos factores fuera de la raíz:

El cociente de radicales con el mismo índice se resolvería de forma similar, aplicando la segunda propiedad de las raíces:

propiedades-raices-2

Por ejemplo:

Para realizar este cociente de radicales con el mismo índice, en primer lugar aplicamos la segunda propiedad de las raíces:

Una vez aplicada la propiedad, ves que es posible resolver la fracción, que tiene un resultado entero.

Para terminar de simplificar el resultado, factorizamos el radicando y después la raíz se anulará con el exponente:

Se multiplica y dividen raíces con el mismo índice cuando por separado no es posible hallar un resultado de las raíces. Al multiplicarlas o dividirlas llegamos a una solución.

Dicho ésto, vamos a pasar a ver cómo multiplicar y dividir raíces que tienen distinto índice.

Cómo multiplicar y dividir radicales con distinto índice

Para entender este apartado tienes que tener muy claro la siguiente premisa:

Solamente se pueden multiplicar y dividir raíces que tengan el mismo índice

¿Entonces cómo multiplicar y dividir las raíces que tengan distinto índice?

Pues hay que conseguir que tengan el mismo índice.

Antes de decirte cómo hacerlo, debes recordar el concepto de radical equivalente que vimos en la lección anterior. Por tanto, como podemos modificar el índice y el exponente del radicando sin que el resultado de la raíz varíe, vamos a aprovecharnos de este concepto para hallar el índice que más nos convenga.

Para conseguir que todos las raíces de una producto tengan el mismo índice hay que reducirlas a índice común, calculando el mínimo común múltiplo de los índices.

Al modificar el índice, el exponente del radicando también se verá afectado, para que la raíz resultante sea equivalente a la original.

Con el nuevo índice común, indirectamente ya hemos multiplicado el índice por un número, entonces, debemos saber por qué número ha sido multiplicado el índice para multiplicar el exponente del radicando por el mismo número y tener así una raíz equivalente a la original.

Ese número lo calculamos con la siguiente fórmula:

Cómo multiplicar y dividir radicales

Una vez calculado, multiplicamos el exponente del radicando por éste número.

Es exactamente el mismo procedimiento que para sumar y restar fracciones con distinto denominador.

Cuando tenemos todas las raíces con el mismo índice, ya podemos aplicar las propiedades de las raíces y seguir con la operación.

Vamos a verlo con varios ejemplos

Ejemplo de producto de raíces de distinto índice

Vamos a empezar con un ejemplo de multiplicar raíces con el índice distinto

El primer paso es calcular el mínimo común múltiplo de los índices:

Éste será el nuevo índice común, que lo colocamos ya en las raíces a falta del exponente del radicando:

Ahora debemos hallar el número por el que se ha multiplicado índice original, para que el nuevo índice sea 12 y lo hacemos dividiendo este índice común entre el índice original de cada raíz:

Es decir, el índice de la primera raíz se ha multiplicado por 4, el de la segunda raíz por 3 y el de la tercera por 6. Por tanto, por esos mismo números vamos a multiplicar cada uno de los exponentes de los radicandos:

Cómo multiplicar y dividir radicales

Multiplicamos exponentes:

Y ya tenemos una multiplicación de raíces con el mismo índice, cuyas raíces son equivalentes a las originales.

Seguimos el procedimiento para multiplicar raíces con el mismo índice. Verás que es muy importante dominar tanto las propiedades de las raíces como las propiedades de las potencias.

Unimos las tres raíces en una sola:

Dentro de la raíz nos han quedado tres potencias que tienen distinta base. Conforme están no pueden multiplicarse, ya que sólo se pueden multiplicar las potencias con la misma base.

Para buscar las potencias que tengan la misma base, hay que descomponerlas en factores primos:

Una vez descompuestas, vemos que nos queda una sola base. Entonces, eliminamos  paréntesis y finalmente, ya podemos sumar los exponentes manteniendo la base:

Cómo multiplicar y dividir radicales

Ya tenemos la multiplicación. Ahora vamos a simplificar el resultado extrayendo factores fuera de la raíz:

Y por último, simplificamos la raíz dividiendo el índice y el exponente del radicando entre 4 (igual que si fuera una fracción)

Ejemplo de cociente de raíces con distinto índice

Vamos a ver otro ejemplo de como resolver un cociente de raíces con distinto índice:

En primer lugar, reducimos a índice común, calculando el mínimo común múltiplo de los índices:

Colocamos el nuevo índice en las raíces y nos preparamos para calcular el nuevo exponente de cada radicando:

Calculamos el número por el que se ha multiplicado índice original, para que el nuevo índice sea 6, dividiendo este índice común entre el índice original de cada raíz:

Multiplicamos los exponentes de los radicandos por los mismos números:

Cómo multiplicar y dividir radicales

Ya tenemos las raíces equivalentes con el mismo índice, por lo que empezamos su división, uniéndolas en una sola raíz:

Ahora dividimos las potencias restando los exponentes:

Y para terminar, aunque si lo dejas así no pasaría nada, podemos dejar el exponente como positivo, pasándolo al denominador:

Ejemplo de producto y cociente de raíces con distinto índice

Vamos a resolver un último ejemplo donde tenemos en la misma operación multiplicaciones y divisiones de raíces con distinto índice.

Además, pondremos en práctica las propiedades tanto de las raíces como de las potencias, que te servirá de repaso de lecciones anteriores

Cómo multiplicar y dividir radicales

Tenemos unas raíces dentro de otras. Por tanto, el primer paso es unir esas raíces, multiplicando los índices. Primero la raíz la fracción la ponemos como una fracción de raíces:

Cómo multiplicar y dividir radicales

Y ya podemos multiplicar sus índices:

Nos ha quedado una operación con multiplicación y división de raíces de distinto índice.

Las reducimos a índice común, calculando el mínimo común múltiplo:

Colocamos el nuevo índice y multiplicamos también los exponentes de cada radicando:

Cómo multiplicar y dividir radicales

Multiplicamos los numeradores y los denominadores por separado:

Y finalmente, procedemos a la división, uniendo las raíces en una sola. Dentro de la raíz nos queda una división de potencias en la que tenemos dos bases, que restamos sus exponentes por separado

Hemos dejado las potencias en el denominador para que aparezcan con exponente positivo.

Si quieres seguir aprendiendo cómo operar con raíces, a introducir o extraer factores en un radical o la racionalización de radicales, con muchos ejemplos y ejercicios resueltos te recomiendo el Curso de Raíces.

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