Te voy a explicar la continuidad de una función. ¿Cómo saber si una función es continua en un punto? ¿Qué tipos de discontinuidades existen y para qué necesito saber de que tipo de discontinuidad es?
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En esta lección te explico cómo saber si una función es continua en un punto y además te digo cuántos tipos de discontinuidades existen y cómo se identifican.
Además resolveremos unos cuantos ejercicios sobre continuidad de funciones.
Función continua: Cómo saber si una función es continua
¿Cuándo una función es continua? ¿Qué es una función contina?
Para empezar, una función es continua cuando está definida en todo su dominio, es decir, su domino es todo R.
En otras palabras, una función es continua cuando su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel
No obstante, en cierta funciones, como las que funciones definidas a trozos o funciones cuyo dominio no es todo R, en las que existen puntos críticos donde es necesario estudiar su continuidad.
Una función es continua en un punto X0 si existe el límite cuando la función tiende a ese punto y tiene un valor determinado y además, el valor de la función en ese punto es igual al valor del límite:
En las funciones definidas a trozos y en las funciones cuyo límite resulte una indeterminación de un número entre cero, para que exista el límite de la función en un punto, debemos calcular los límites laterales y éstos deben tener el mismo valor, es decir, el límite por la izquierda y por la derecha de ese punto deben coincidir:
Si no se cumple todo lo anterior, la función no será continua, es decir, si existe el límite pero no coincide con el valor de la función o no existe el límite en ese punto o la función en ese punto no existe, la función no será continua y por tanto, existirá uno de los tipos de discontinuidades que te voy a explicar en el siguiente apartado.
Tipos de discontinuidades
Dependiendo de la condición que no se cumpla para que una función sea continua en un punto, tendremos distintos tipos de discontinuidades. Son las siguientes:
Discontinuidad evitable
Una función no es continua en un punto y tendrá una discontinuidad evitable cuando el límite de la función en ese punto exista, pero el valor de la función en ese punto sea distinto al valor del límite:
La representación gráfica de una función con una discontinuidad evitable, cuando la función en ese punto tiene un valor distinto al del límite es por ejemplo:
También es una discontinuidad evitable cuando existe el límite de la función en un punto, pero la función en ese punto no existe:
La representación en los ejes cartesianos de una función con una discontinuidad evitable cuando el valor de la función en un punto no existe, pero sí el límite sería por ejemplo:
A modo de anécdota, a la discontinuidad evitable se le llama así, porque podría evitarse si el valor de la función en el punto crítico existiera y fuera igual a la función del límite.
Discontinuidad no evitable de salto finito
Una función no es continua en un punto y tendrá una discontinuidad no evitable de salto finito cuando el límite de la función cuando x tiende a ese punto no exista, es decir, que los límites laterales dan como resultado cada uno un valor finito distinto y por tanto no coinciden:
La representación de una función con una discontinuidad no evitable de salto finito puede ser por ejemplo:
Discontinuidad no evitable de salto infinito
Una función tendrá una discontinuidad no evitable de salto infinito y por tanto no será continua en ese punto, cuando el límite de la función cuando x tiende a ese punto no exista, o lo que es lo mismo, que los límites laterales dan como resultado un valor infinito y por tanto no coincidan:
La representación gráfica de una función con discontinuidad no evitable de salto infinito puede ser por ejemplo ésta:
Puede darse el caso de que exista el límite, ya que ambos límites laterales tengan el mismo resultado que sea «más infinito» o «menos infinito», pero en este caso, la función en ese punto no existiría, al haber una asíntota y por tanto, la función no sería continua en ese punto.
Ejercicios resueltos de continuidad de funciones
Vamos a resolver ahora unos ejercicios sobre continuidad de funciones paso a paso para aplicar lo aprendido hasta ahora.
Ejercicio sobre continuidad de funciones 1
Estudia la continuidad de la siguiente función en x=3 y en caso de que no sea continua, indicar de qué tipo de discontinuidad se trata:
Para comprobar si esta función es continua en 3 debemos calcular el límite de la función cuando x tiende a 3, si existe y luego calcular el valor de la función en x=3.
Empezamos calculando el límite de la función cuando x tiende a 3:
Sustituimos la x por un 3 y nos da una indeterminación de cero entre cero:
Este tipo de indeterminación la resolvemos descomponiendo en factores el numerador y el denominador:
Eliminamos el factor (x-3) ya que se repite arriba y abajo. Nos queda:
Volvemos a sustituir al x por 3 y llegamos al resultado del límite:
El límite de la función cuando x tiende a 3 es igual a 3.
Vamos ahora a calcular el valor de la función en x=3. Para ello en la función, sustituimos la x por 3 y nos queda:
En este caso, el resultado también es cero entre cero, pero al no ser un límite, ese resultado no existe. Por tanto no existe la función en x=3.
El límite de la función cuando x tiende a 3 es 3 y la función en x=3 no existe, por tanto la función no es continua en x=3:
Se trata de una discontinuidad evitable.
Si quisiéramos redefinir la función para que la función fuera continua lo haríamos de esta forma:
Para cualquier valor de x distinto de 3, la función toma el valor del primer tramo de la función, pero cuando x=3, como la función del primer tramo no está definida para ese valor, le damos el valor 3.
De esta forma la función es continua.
Vamos a resolver otro ejercicio.
Ejercicio sobre continuidad de funciones 2
Estudiar la continuidad de la siguiente función:
En este caso no nos dicen los puntos en los que tenemos que estudiar la función, pero al ser una función definida a trozos, debemos estudiar su continuidad en sus puntos críticos, es decir, en los puntos en los que la función cambia de tramo, que en este caso son -1 y 2.
Empezamos con el -1.
En primer lugar vamos a calcular el límite cuando x tiende a -1. Como es una función definida a trozos, para calcular el límite de la función cuando x tiende a -1, debemos calcular sus límites laterales.
Vamos a calcular el límite de la función cuando x tiende a -1 por la izquierda:
La izquierda de -1 son los valores de x menores que -1. La función existe para los valores menores que -1 en el primer tramo, por lo tanto, es el que tenemos que utilizar para calcular el límite:
Sustituimos la x por -1 y llegamos al resultado del límite que es igual a -3:
Seguimos calculando el límite de la función cuando x tiende a -1 por la derecha:
La derecha de -1 son los valores de x mayores que -1. La función existe para los valores mayores que -1 en el segundo tramo, por lo tanto, es el que tenemos que utilizar para calcular el límite:
Directamente, como no hay ninguna x para sustituir, el valor del límite cuando x tiende a -1 por la derecha es -3.
Los dos límites laterales coinciden, por tanto, el límite de la función cuando x tiende a -1 existe y es igual a -3:
La primera condición para que la función sea continua en -1 se cumple.
Vamos a calcular ahora el valor de la función en x=-1. El tramo de la función que tenemos que utilizar para calcular el valor de la función en x=-1 es el segundo tramo, ya que es donde el -1 tiene el signo igual (el segundo tramo existe para los valores mayores o iguales a -1):
La función en x=-1 es igual a -3, que coincide con el límite de la función cuando x tiende a -1, por lo tanto, la función es continua en x=-1.
Seguimos estudiando la continuidad de la función en x=2.
El primer paso es calcular el límite cuando x tiende a 2. Al ser una función definida a trozos, hay que calcular sus límites laterales.
Vamos a calcular el límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda:
La función existe para los valores que son menores que 2 en el segundo tramo, por lo que es el tramo que utilizamos para calcular este límite lateral, cuyo resultado nos da -3:
Calculamos el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha:
Para calcular este límite, utilizamos el tramo de la función que está definido para los valores de x mayores que 2, que es el tercer tramo:
Sustituimos la x por 2 y obtenemos el valor del límite:
Los límites laterales no coinciden, por lo que el límite de la función cuando x tiende a 2 no existe:
Por tanto, la función no es continua en x=2 y es una discontinuidad no evitable de salto finito.
Ya no es necesario seguir calculando el valor de la función para x=2.
Ejercicio sobre continuidad de funciones 3
Calcular el valor del parámetro b para que la siguiente función sea continua en x=-1. ¿La función es continua en x=1?
Vamos a empezar calculando qué valor debe tener el parámetro b para que la función sea continua en x=-1.
Para que la función sea continua en x=1, sus límites laterales deben ser iguales, es decir, el límite de cuando x tiende a -1 por la izquierda debe ser igual al límite de cuando x tiende a -1 por la derecha y además el valor de la función en x=-1 debe tener el mismo valor que los límites laterales.
Calculamos el límite de cuando la función tiende a -1 por la izquierda:
Para ello tomamos el primer tramo, que es el que está definido para valores menores que -1. La solución la obtenemos en función del parámetro b, puesto que no sabemos su valor todavía:
Ahora calculamos el límite de cuando la función tiende a -1 por la derecha:
Tomamos el segundo tramo, que es el que está definido para valores mayores que -1:
Como hemos comentado antes, para que la función sea continua, los límites laterales deben ser iguales, por lo que igualamos dichos límites:
Sustituimos cada límite por su valor y despejamos el valor de b:
Con ese valor de b, calculamos el valor de la función en x=-1, para lo que seleccionamos el primer tramo, que es donde la función es igual a -1:
La función en x=-1 tiene el mismo valor que los límites laterales:
Por tanto b=0 para que la función sea continua en x=-1.
Vamos a estudiar ahora la continuidad de la función en x=1
Calculamos los límites laterales para cuando x tiende a 1:
El valor de los límites laterales es el mismo.
Calculamos el valor de la función en x=1:
Tanto los límites laterales como el valor de la función son iguales:
Por tanto, la función es continua en x=1.
Ejercicio sobre continuidad de funciones 4
Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea contínua:
En primer lugar calculamos el valor de la función en x=3:
Para que la función sea contínua, el valor de los límites laterales cuando x tiende a 3 debe ser igual que la función en x=3, por lo que:
Calculamos por ejemplo el límite de cuando x tiende a 3 por la izquierda y para ello, tomamos el primer tramo de la función:
Hemos llegado a una indeterminación, pero en este caso su resultado no será menos infinito, ya que sabemos que el límite debe tener un valor finito e igual a b, que es el valor de la función en x=3. Por tanto, igualamos el resultado del límite a b:
Pasamos el 0 multiplicando al segundo miembro y despejamos el valor de «a»:
Ahora, sabiendo el valor de a, vamos a volver a calcular el límite y su resultado lo igualaremos a b:
Calculamos el límite:
Al llegar a esta indeterminación, debemos descomponer el numerador y para ello, igualamos el polinomio a cero:
Y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante:
Por tanto, el polinomio del numerador lo ponemos descomponer de la siguiente forma:
Sustituimos el polinomio del numerador por sus factores en el límite. El monomio x-3 se anula y llegamos al resultado del límite:
Como el límite era igual a b, el valor de b es:
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