Cómo saber si una función es continua en un punto. Tipos de discontinuidades

¿Cómo saber si una función es continua en un punto? ¿Qué tipos de discontinuidades existen y para qué necesito saber de que tipo de discontinuidad es?

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En esta lección te explico cómo saber si una función es continua en un punto y además te digo cuántos tipos de discontinuidades existen y cómo se identifican.

Además resolveremos unos cuantos ejercicios sobre continuidad de funciones.

Continuidad de funciones: ¿Cuándo es continua una función?

Para empezar, una función es continua cuando está definida en todo su dominio, es decir, su domino es todo R.

No obstante, en cierta funciones, como las que funciones definidas a trozos o funciones cuyo dominio no es todo R, en las que existen puntos críticos donde es necesario estudiar su continuidad.

Una función es continua en un punto X0 si existe el límite cuando la función tiende a ese punto y tiene un valor determinado y además, el valor en ese punto es igual al valor del límite:

como saber si una funcion es continua

En las funciones definidas a trozos y en las funciones cuyo límite resulte una indeterminación de un número entre cero, para que exista el límite de la función en un punto, debemos calcular los límites laterales y éstos deben tener el mismo valor, es decir, el límite por la izquierda y por la derecha de ese punto deben coincidir:

cuando una funcion es continua

Si no se cumple todo lo anterior, la función no será continua, es decir, si existe el límite pero no coincide con el valor de la función o no existe el límite en ese punto o la función en ese punto no existe, la función no será continua y por tanto, existirá uno de los tipos de discontinuidades que te voy a explicar en el siguiente apartado.

Tipos de discontinuidades

Dependiendo de la condición que no se cumpla para que una función sea continua en un punto, tendremos distintos tipos de discontinuidades. Son las siguientes:

Discontinuidad evitable

Una función no es continua en un punto y tendrá una discontinuidad evitable cuando el límite de la función en ese punto exista, pero el valor de la función en ese punto sea distinto al valor del límite:

funcion continua

La representación gráfica de una función con una discontinuidad evitable, cuando  la función en ese punto tiene un valor distinto al del límite es por ejemplo:

como saber si una funcion es continua o discontinua

También es una discontinuidad evitable cuando existe el límite de la función en un punto, pero la función en ese punto no existe:

como saber si una función es continua

La representación en los ejes cartesianos de una función con una discontinuidad evitable cuando el valor de la función en un punto no existe, pero sí el límite sería por ejemplo:

¿en qué puntos la función es continua y por qué?

A modo de anécdota, a la discontinuidad evitable se le llama así, porque podría evitarse si el valor de la función en el punto crítico existiera y fuera igual a la función del límite.

Discontinuidad no evitable de salto finito

Una función no es continua en un punto y tendrá una discontinuidad no evitable de salto finito cuando el límite de la función cuando x tiende a ese punto no exista, es decir, que los límites laterales dan como resultado cada uno un valor finito distinto y por tanto no coinciden:

cuando es continua una funcion

La representación de una función con una discontinuidad no evitable de salto finito puede ser por ejemplo:

como determinar si una funcion es continua

Discontinuidad no evitable de salto infinito

Una función tendrá una discontinuidad no evitable de salto infinito y por tanto no será continua en ese punto, cuando el límite de la función cuando x tiende a ese punto no exista, o lo que es lo mismo, que los límites laterales dan como resultado un valor infinito y por tanto no coincidan:

cuando una función es continua

La representación gráfica de una función con discontinuidad no evitable de salto infinito puede ser por ejemplo ésta:

saber si una funcion es continua

Puede darse el caso de que exista el límite, ya que ambos límites laterales tengan el mismo resultado que sea “más infinito” o “menos infinito”, pero en este caso, la función en ese punto no existiría, al haber una asíntota y por tanto, la función no sería continua en ese punto.

Ejercicios resueltos de continuidad de funciones

Vamos a resolver ahora unos ejercicios sobre continuidad de funciones paso a paso para aplicar lo aprendido hasta ahora.

Ejercicio sobre continuidad de funciones 1

Estudia la continuidad de la siguiente función en x=3 y en caso de que no sea continua, indicar de qué tipo de discontinuidad se trata:

una funcion es continua cuando

Para comprobar si esta función es continua en 3 debemos calcular el límite de la función cuando x tiende a 3, si existe y luego calcular el valor de la función en x=3.

Empezamos calculando el límite de la función cuando x tiende a 3:

como saber si una funcion es continua en un punto

Sustituimos la x por un 3 y nos da una indeterminación de cero entre cero:

como saber cuando una funcion es continua

Este tipo de indeterminación la resolvemos descomponiendo en factores el numerador y el denominador:

como saber si una funcion es discontinua

Eliminamos el factor (x-3) ya que se repite arriba y abajo. Nos queda:

funcion continua y discontinua

Volvemos a sustituir al x por 3 y llegamos al resultado del límite:

como saber si es continua una funcion

El límite de la función cuando x tiende a 3 es igual a 3.

Vamos ahora a calcular el valor de la función en x=3. Para ello en la función, sustituimos la x por 3 y nos queda:

determinar si una funcion es continua

En este caso, el resultado también es cero entre cero, pero al no ser un límite, ese resultado no existe. Por tanto no existe la función en x=3.

El límite de la función cuando x tiende a 3 es 3 y la función en x=3 no existe, por tanto la función no es continua en x=3:

cuando una funcion no es continua

Se trata de una discontinuidad evitable.

Si quisiéramos redefinir la función para que la función fuera continua lo haríamos de esta forma:

como saber que una funcion es continua

Para cualquier valor de x distinto de 3, la función toma el valor del primer tramo de la función, pero cuando x=3, como la función del primer tramo no está definida para ese valor, le damos el valor 3.

De esta forma la función es continua.

Vamos a resolver otro ejercicio.

Ejercicio sobre continuidad de funciones 2

Estudiar la continuidad de la siguiente función:

funciones continuas y discontinuas

En este caso no nos dicen los puntos en los que tenemos que estudiar la función, pero al ser una función definida a trozos, debemos estudiar su continuidad en sus puntos críticos, es decir, en los puntos en los que la función cambia de tramo, que en este caso son -1 y 2.

Empezamos con el -1.

En primer lugar vamos a calcular el límite cuando x tiende a -1. Como es una función definida a trozos, para calcular el límite de la función cuando x tiende a -1, debemos calcular sus límites laterales.

Vamos a calcular el límite de la función cuando x tiende a -1 por la izquierda:

función continua

La izquierda de -1 son los valores de x menores que -1. La función existe para los valores menores que -1 en el primer tramo, por lo tanto, es el que tenemos que utilizar para calcular el límite:

demostrar que una funcion es continua

Sustituimos la x por -1 y llegamos al resultado del límite que es igual a -3:

que es una funcion continua

Seguimos calculando el límite de la función cuando x tiende a -1 por la derecha:

cuando es una funcion continua

La derecha de -1 son los valores de x mayores que -1. La función existe para los valores mayores que -1 en el segundo tramo, por lo tanto, es el que tenemos que utilizar para calcular el límite:

como se si una funcion es continua

Directamente, como no hay ninguna x para sustituir, el valor del límite cuando x tiende a -1 por la derecha es -3.

Los dos límites laterales coinciden, por tanto, el límite de la función cuando x tiende a -1 existe y es igual a -3:

como saber si la funcion es continua

La primera condición para que la función sea continua en -1 se cumple.

Vamos a calcular ahora el valor de la función en x=-1. El tramo de la función que tenemos que utilizar para calcular el valor de la función en x=-1 es el segundo tramo, ya que es donde el -1 tiene el signo igual (el segundo tramo existe para los valores mayores o iguales a -1):

determinar si la funcion es continua

La función en x=-1 es igual a -3, que coincide con el límite de la función cuando x tiende a -1, por lo tanto, la función es continua en x=-1.

Seguimos estudiando la continuidad de la función en x=2.

El primer paso es calcular el límite cuando x tiende a 2. Al ser una función definida a trozos, hay que calcular sus límites laterales.

Vamos a calcular el límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda:

como saber si es continua o discontinua

La función existe para los valores que son menores que 2 en el segundo tramo, por lo que es el tramo que utilizamos para calcular este límite lateral, cuyo resultado nos da -3:

cuando una funcion es continua en un punto

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha:

como demostrar que una funcion es continua

Para calcular este límite, utilizamos el tramo de la función que está definido para los valores de x mayores que 2, que es el tercer tramo:

como ver si una funcion es continua

Sustituimos la x por 2 y obtenemos el valor del límite:

funcion continua en un punto

Los límites laterales no coinciden, por lo que el límite de la función cuando x tiende a 2 no existe:

que significa que una funcion sea continua

Por tanto, la función no es continua en x=2 y es una discontinuidad no evitable de salto finito.

Ya no es necesario seguir calculando el valor de la función para x=2.

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