Composición de funciones. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar en qué consiste la composición de funciones de una forma fácil, con ejercicios resueltos paso a paso.

Te explicaré qué es una función compuesta y qué propiedades tiene.

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Qué es una función compuesta

Normalmente, una función depende de una sola variable, como por ejemplo:

Una función compuesta es una función que en vez de depender de x, depende de otra función.

Si tenemos dos funciones f y g, se puede definir una nueva función, tal que la función g va a depender de la función f:

Esa nueva función será una función compuesta y se representa escribiendo un pequeño círculo entre las dos funciones de la siguiente manera:

Esta expresión se lee  f compuesta con g. Hay que tener mucho cuidado porque se lee al revés de como están compuestas las funciones, ya que realmente la función g está compuesta por la función f.

La función que va detrás es la que está dentro de la otra función:

Por supuesto, la función compuesta entre f y g también puede formarse, de forma que sea f la que dependa de la función g. Se escribiría de la siguiente manera:

Se lee g compuesta con f y es equivalente a escribir que la función f depende de la función g:

Vamos a verlo con un ejemplo para que lo tengas más claro:

Con las dos funciones anteriores:

Vamos a obtener la función f compuesta con g:

Y la función g compuesta con f:

Empezamos con f compuesta con g.

f compuesta con g es igual a la función g que depende de la función f (recuerda que se lee al revés):

Ahora, en el lugar donde está f(x), lo sustituimos por la expresión de la función:

Y finalmente, en la función g(x), sustituimos la x por la expresión de la función f(x) y nos queda:

Vamos a repetirlo otra vez, pero en este caso para obtener la función compuesta g compuesta con f.

g compuesta con f, es la función f que depende de la función g:

Sustituimos g(x) por su expresión:

Y para terminar, en la función f(x), sustituimos la x por la expresión de g(x):

Como has podido comprobar, la composición de funciones no tiene la propiedad conmutativa, ya que g compuesta con f no es igual a f compuesta con g:

Ejercicio resuelto de composición de funciones

Vamos a resolver un ejercicio de composición de funciones más completo paso a paso, para que te quede mucho más claro este concepto de composición de funciones.

Sean las funciones:

Calcular:

f compuesta con g:

f compuesta con g es igual a al función g, que depende de la función f(x):

Sustituimos f(x) por su expresión y después en la función g(x), en lugar de colocar la x, escribimos la expresión de la función f(x)

Hasta aquí ya habríamos obtenido la función compuesta. Ahora vamos a operar para eliminar paréntesis y simplificar la expresión.

Multiplicamos el número por el paréntesis y obtenemos común denominador para sumar ambos términos:

Si no tienes claro cómo simplificar expresiones de este tipo, lo tienes explicado en el Curso de Fracciones Algebraicas, paso por paso. Te lo recomiendo.

g compuesta con f:

g compuesta con f es la función f que depende de  la función g(x):

Por tanto, sustituimos g(x) por su expresión en el lugar donde le correspondía la x en f(x):

Y en este caso, simplificar es mucho más sencillo, ya que sólo tenemos que resolver los paréntesis y reagrupar términos:

f compuesta con f:

¿Se puede obtener una función compuesta con la misma función?

Pues ya verás como sí. f compuesta de f es la función f, que depende de la misma función f(x):

Sustituimos f(x) por su expresión en el lugar donde aparece la x:

Ya tenemos la función compuesta. Ahora vamos a simplificar la expresión que nos ha quedado. Para ello, en primer lugar resolvemos los paréntesis y obtenemos común denominador tanto en el numerador como en el denominador:

Agrupamos términos y finalmente, el denominador x+1 que tenemos en numerador y denominador se anula:

g compuesta con g:

Vamos a obtener la función compuesta g compuesta con g. que es la función g que depende de la misma función g:

Sustituimos la x por la expresión de g(x) en la misma función g(x):

Y finalmente simplificamos:

Te habrás dado cuenta que el proceso es siempre el mismo. Debes estar muy atento a qué es o que tienes que sustituir en cada caso y una vez obtengas la función compuesta, la dificultad pasa simplificar la expresión.

Sólo debes tener cuidado en componer la función al revés, ya que la expresión se lee al contrario de como se forma.

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