Interés simple e interés compuesto. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar cómo resolver ejercicios sobre interés simple e interés compuesto. Te explicaré cómo deducir cada fórmula para que sepas en todo momento cómo aplicarlas. Con ejercicios resueltos y propuestos para resolver.

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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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¿Qué es el interés del dinero?

El interés es el beneficio que genera una determinada cantidad de dinero, como por ejemplo en un préstamo o en un depósito a plazo fijo. Es proporcional a la cantidad de dinero prestada y al tiempo que dura el préstamo o el plazo fijo.

Es decir, si una entidad financiera presta dinero a alguien, esa persona, deberá devolver la cantidad prestada más el interés, que es el beneficio de la entidad financiera por prestar ese dinero.

De la misma forma, si depositas un plazo fijo en un banco, el banco te ofrece un beneficio al final de un periodo de tiempo, por lo que recibirás el dinero depositado más el interés, que será el beneficio obtenido por realizar un plazo fijo.

Existen dos tipos de intereses: interés simple e interés compuesto

No hay que confundir los intereses, que es una cantidad de dinero determinada, con el tipo o la tasa de interés, que es un porcentaje y que te explico en el siguiente apartado.

Conceptos relacionados con el interés

Vamos a explicar los conceptos que necesitas conocer para entender bien el interés, ya que necesitas tenerlo muy claros para identificarlos y saber trabajar con ellos en los ejercicios sobre interés, que veremos más adelante:

Capital

Tenemos dos tipos de capitales:

  • El capital inicial, que es la cantidad de dinero inicial que se presta o se deposita.
  • El capital final, que es la cantidad de dinero obtenida después de sumarle los intereses

Tasa o tipo de interés

Es el porcentaje en el que se van generando los intereses en cada periodo que dura el préstamo o el depósito. Está muy relacionado con el periodo de tiempo que dura el préstamo, ya que el tipo de interés puede ser anual, semestral, trimestral, mensual…

Se puede expresar en tanto por uno o en tanto por ciento, teniendo en cuenta que al expresarlo en tanto por uno, hay que dividirlo entre 100:

Y si lo expresamos en tanto por ciento, ya está dividido entre 100 directamente:

Al final, el valor es el mismo:

En los ejercicios sobre interés simple e interés compuesto se suele trabajar siempre en tanto por uno, ya que es la forma de expresarlo más comúnmente.

Periodo de tiempo

Es el tiempo durante el cual el capital prestado o depositado está generando intereses. Puede medirse en años, semestres, trimestres, meses…

Interés simple

¿Cómo se calcula el interés simple?

El interés simple se calcula siempre sobre el capital inicial. Los intereses generados en cada periodo de tiempo es siempre el mismo.

Por ejemplo, en el caso de prestar o depositar 1000 € al 5% anual. ¿Cuántos intereses se generarían en un año?

Sólo hay que calcular el 5% de 1000 € y tendríamos los intereses generados, multiplicando el capital inicial por el porcentaje en tanto por ciento o en tanto por uno y dividiéndolo entre 100.

Lo calcularemos con el tipo de interés en tanto por uno:

Por tanto, en un año se generarían 50 €.

¿Cuántos intereses se generarían en 8 años?

Pues sólo tenemos que multiplicar la cantidad anterior por el número de años que dura el préstamo o el depósito, ya que cada año se generan los mismos intereses:

Para calcular el capital final, sumamos los intereses a al capital inicial:

Por tanto, para calcular el interés simple, podemos utilizar la siguiente fórmula:

Donde, “Ci” es el capital inicial prestado o depositado, “i” es el tipo de interés (en tanto por uno, porque lo dividimos entre 100) y “t” es el tiempo que dura el préstamo o el depósito.

El tipo o tasa de interés y el periodo de tiempo, deben expresarse en la misma unidad de tiempo. Es decir, si el tipo de interés es anual, el periodo de tiempo debe estar en años, si el tipo de interés es mensual, el tiempo debe estar en meses y así sucesivamente.

Lo más fácil es pasar siempre el periodo de tiempo a la unidad en la que esté expresada el tipo de interés.

Vamos a ver un ejemplo:

Calcular el interés simple generado por 5000 € al 4% mensual durante 3 años.

En este caso, tenemos el tipo de interés expresado en meses y el periodo de tiempo en años. Por tanto, hay que pasar los años del periodo de tiempo a meses, para tener las dos cosas en la misma unidad.

Un año tiene 12 meses, por tanto, sólo hay que multiplicar 3 por 12, para obtener los 3 años en meses (también puedes hacerlo con un regla de tres):

Tiene sentido hacerlo así, porque el 4% mensual quiere decir, que el capital está generando intereses cada mes y por tanto hay que multiplicarlo por el número de meses que dura el préstamo par obtener el interés total.

También podemos conocer el interés generado, el capital inicial y el tipo de interés y querer calcular el tiempo que dura el préstamo para generara esos intereses o querer calcular el tipo de interés, conocido el resto de variables.

Sólo tenemos que sustituir los datos en la fórmula y despejar la incógnita que nos falte.

Por ejemplo:

¿Durante cuántos años se ha colocado un capital de 2800 euros a un interés simple del 5% anual para tener al final de ese periodo un capital final de 3920 €?

En este caso nos dan como datos el capital inicial y el capital final, por lo que primero debemos calcular el capital generado, restando ambos capitales:

Ahora, aplicamos la fórmula del interés simple y sustituimos todos los valores que conocemos:

Y por último despejamos el tiempo:

La unidad del periodo de tiempo son años, ya que el tipo de interés es anual.

Ejercicios resueltos sobre interés simple

Vamos a resolver algunos ejercicios sobre interés simple para que te quede más claro todo lo que acabo de explicar:

Ejercicio 1

¿Cuál es el interés simple generado en un plazo fijo, por un capital de 10000 €, al 4% trimestral durante 2 años?

Aplicamos la fórmula del interés simple:

Pero tenemos en cuenta que el tipo de interés está en trimestres y el periodo de tiempo en años. Por tanto, debemos pasar los años a trimestres, multiplicando por 4, ya que un año tiene 4 trimestres:

Ejercicio 2

Hace 4 años de pidió un préstamo de 7000 € y la cantidad pagada al terminar el periodo del préstamo han sido 9500 €. ¿Qué tipo de interés se le aplicó?

En este caso el capital inicial son 7000 €, pero cuidado, porque los intereses generados no son 9500 €. Los 9500 € corresponden al capital final.

Por tanto, calculamos los intereses generados en primer lugar:

Ahora sustituimos todos los datos en la fórmula del interés simple:

Y despejamos el tipo de interés:

Es un tipo de interés anual, ya que el periodo de tiempo estaba en años.

Ejercicio 3

Después de 3 años, un banco ha pagado en concepto de interés la cantidad de 840 € a una persona por depositar un plazo fijo. La tasa de interés ha sido del 2% anual. ¿Cuál fue el capital inicial con el que se hizo el depósito?

En este caso, conocemos todo menos el capital inicial.

Sustituimos en la fórmula:

Y despejamos el capital inicial:

Interés compuesto

En el interés compuesto, los intereses que se van generando al final de cada periodo, se van añadiendo al capital, que sirve base para calcular los nuevos intereses generados con ese nuevo capital.

Al finalizar cada periodo, el capital final será igual al capital inicial más los intereses:

Los intereses para cada periodo se calcular multiplicando el capital en ese periodo por el tipo de interés en tanto por uno, dividido entre 100:

Por tanto, el capital para el final de cada periodo se puede expresar como:

Que si sacamos factor común al capital inicial queda:

Ahora imaginemos que queremos prestar o depositar 1000 € al 5% anual de interés compuesto. ¿Cuántos intereses se generarían en 2 años?

Aplicamos la fórmula anterior para calcular el capital final, al término del primer año:

Para el siguiente año, el capital inicial ya no son los 1000 € del principio, sino que hay que añadirle los intereses que se han generado durante el primer año. Por tanto, el capital inicial ahora son 1050 €. El capital final es igual a:

Para calcular los intereses generados al final de los dos años, restamos el capital final al término del segundo año el capital que teníamos al principio del todo:

Si tuviéramos que calcular el capital final generado al cabo de 10 años, no es necesario repetir este proceso 10 veces. Esta vez lo he hecho así para que veas cómo funciona. Para obtener el capital final de cada año, lo que hacemos es multiplicar por (1+i/100) las mismas veces que el número de unidades de la cantidad de tiempo.

Por tanto, para calcular el capital final con un interés compuesto, podemos utilizar la siguiente fórmula:

Donde “Cf” es el capital final, “Ci” es el capital inicial, “i” son los intereses en tanto por uno y “t” es el tiempo que dura el préstamo o el depósito.

En este caso no estamos calculando los intereses generados directamente, como en el cálculo del interés simple, sino que estamos calculando el capital final. Para calcular los intereses generados hay que restar el capital inicial al capital final:

Al igual que con el interés simple, en el interés compuesto el tipo o tasa de interés y el periodo de tiempo, deben expresarse en la misma unidad de tiempo.

Por ejemplo: Calcular los intereses generados en un plazo fijo de 15000 € al 3% anual de interés compuesto al cabo de 5 años.

Aplicamos la fórmula que acabamos de ver para el interés compuesto y sustituimos todas los datos que conocemos:

Y finalmente operamos:

Hemos calculado el capital final al cabo de 5 años, los intereses generados son:

También podemos calcular cualquiera de las variables si conocemos las demás, con solo sustituir en la fórmula de interés compuesto y despejar la variable que falte.

La más compleja de sustituir en este caso es el tiempo, ya que es el exponente de una potencia y para despejarla, hay que aplicar las propiedades de los logaritmos. Te recomiendo echar un vistazo al Curso de Logaritmos si no los dominas.

Por ejemplo:

¿Cuántos años debe estar un depósito  de 8000 €, a un interés compuesto del  5% anual, para que se convierta en 10000 €?

En este caso el capital inicial son 8000 € y el capital final son 10000 €.

Sustituimos todos los datos en la fórmula de interés compuesto, y nos queda por despejar el tiempo:

Ahora dejamos la potencia sola en el segundo miembro, pasando el 8000 dividiendo al primer miembro:

Operamos en ambos miembros para simplificar cálculos:

La “t” queda en el exponente. Para despejarla, utilizaremos las propiedades de los logaritmos.

Aplicamos logaritmos en ambos miembros:

La “t” pasa multiplicando al logaritmo:

Y ahora despejamos la “t”, ya que ambos logaritmos son números que pueden obtenerse con la calculadora:

Ejercicios resueltos sobre interés compuesto

Ejercicio 1

Se ha pedido un préstamo a devolver durante 6 años a una tasa de interés compuesto trimestral del 3% y la cantidad que se ha pagado al final de los 6 años ha sido de 13500 euros. ¿De cuánto se ha pedido el préstamo?

Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula del interés compuesto:

En este caso, hay que pasar los años a trimestres multiplicando por 4, ya que el tipo de interés es trimestral.

Operamos para simplificar la expresión:

Despejamos el capital y lo calculamos:

Ejercicio 2

Calcula la tasa de interés compuesto que se aplica a un capital inicial de 13000 € para que después de 3 años se tengan 14500 €.

Sustituimos los datos conocidos en la fórmula:

Vamos a despejar el tipo de interés, que está dentro de la potencia. Para ello, en primer lugar pasamos el 13000 dividiendo el primer miembro:

Ahora pasamos el cubo como raíz cúbica:

Pasamos el 1 restando:

Por último pasamos el 100 multiplicando a todo el primer miembro y operamos:

Ejercicio 3

Se realiza un plazo fijo de 15000 € al tipo de interés compuesto anual del 3% y se pretende retirarlos al llegar a 18000 € ¿Cuántos años debe estar el plazo fijo como mínimo?

Sustituimos los datos conocidos en la fórmula del capital final con interés compuesto:

Tenemos que despejar la t mediante logaritmos igual que en el ejemplo de más arriba. Pasamos el 15000 dividiendo al primer miembro:

Operamos para simplificar la expresión:

Aplicamos logaritmos:

Pasamos la t multiplicando al logaritmo en el segundo miembro:

Despejamos la t y operamos:

Ejercicios propuestos

1- Un capital de 20000 € ha estado invertido un cierto tiempo a un tipo de interés del 1% anual y ha generado unos intereses de 4000 €. ¿Cuánto tiempo estuvo invertido?

2- Juan duda entre pedir un préstamo de 10000 € a devolver en 8 años en el banco, a un tipo de interés del 8% anual, a una entidad financiera, que le ofrece un 1,9% trimestral o a un usurero que presta dinero al 1% mensual. Analiza cuánto dinero pagaría de intereses en cada caso y qué opción le conviene más.

3- ¿A qué tipo de interés conpuesto se debe colocar un capital de 10000 € para que se duplique al final de 12 años?

4- Halla durante cuántos años se ha colocado un capital de 2800 € a un interés simple del 5% para obtener al final del periodo un capital de 3920 €. ¿Y si se deposita a un interés compuesto del 5%?

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