A continuación te voy a explicar cómo saber si una función es creciente o decreciente en un intervalo, además de cómo obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, también se le llama monotonía de una función, cuando no tenemos su gráfica. Con ejercicios resueltos paso a paso.
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A los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función también se le llama monotonía de una función.
Cómo obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función
Cuando se indica si una función es creciente o decreciente, se indica para los intervalos de la función en los que la función pasa de ser creciente a decreciente o viceversa.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función están delimitados por:
- Los valores de x para los que la función no está definida, es decir, los valores de x que no pertenecen al dominio de la función
- Los valores de x que hacen que la derivada primera de la función sea cero
Una función es discontinua en los valores de x que no pertecen al dominio, por lo que claramente, están delimitando intervalos en la función. Por ejemplo, aquí vemos una función donde x=0 no pertenece al dominio y por tanto x=0 está marcando claramente dos intervalos dentro de la función:
Por otro lado, tal y como explico en la lección de la interpretación geométrica de la derivada, la pendiente de la recta tangente a una función en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto y a la tangente del ángulo que forma la recta tangente con la horizontal:
En los valores de x donde de la función cambia su monotonía, su pendiente es igual a 0 (m=0) y por tanto, la derivada primera en esos puntos es igual a 0. Por eso, los valores de x que hacen que la derivada primera sea 0 marcan los extremos de los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Los valores de x que no pertenezcan al dominio y los resultantes de igualar la derivada a cero los colocaremos en la recta real, como puntos vacíos, ya que no pertenecen a ningún intervalo. El extremo izquierdo de la recta real corresponde a –∞ y el extremo derecho de la recta real coorresponde a ∞:
Los espacios que quedan entre los puntos vacíos serán los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, siendo intervalos abiertos por ambos extremos :
Más abajo veremos cómo obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento paso a paso en los ejercicios resueltos.
Cómo saber si una función es creciente o decreciente en un intervalo
Una vez tenemos definidos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, el siguiente paso es analizar si la función es creciente o decreciente en ese intervalo.
Sabemos si una función es creciente o decreciente en un intervalo estudiando el signo de su derivada primera, ya que como ya sabemos, la derivada primera de la función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto:
Si la derivada primera de la función, f'(x), es mayor que cero en un punto, entonces la pendiente es positiva y por tanto f(x) es estrictamente creciente en ese punto:
Si la derivada primera de la función f(x) es menor que cero en un punto, entonces la pendiente es negativa y por tantof(x) es estrictamente decreciente en ese punto:
Ejercicios resueltos sobre crecimiento y decrecimiento de una función
Ejercicio 1
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función:
Vamos a empezar obteniendo los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Para ello, primero obtenemos el dominio de la función. Al ser una función polinómica, el dominio es todo el conjunto de los números reales:
Todos los valores de x pertenecen al dominio, así que por este lado, no tenemos ningún valor de x que nos delimite los intervalos.
El siguiente paso es buscar los valores de x que hagan que la derivada primera sea igual a cero:
Así que calculamos la derivada primera de la función:
Y la igualamos a cero:
Antes de empezar a resolver, simplifico los coeficientes:
Como es una ecuación de tercer grado, la descompongo en factores por la regla de Ruffini:
Y obtengo sus soluciones, que son:
Estas tres soluciones, las representamos en la recta numérica como puntos vacíos:
Nos han quedado 4 intervalos:
- Desde menos infinito hasta -2
- Desde -2 hasta -1
- Desde -1 hasta 1
- Desde 1 hasta infinito
Ahora vamos a estudiar su signo. Tenemos que saber si f'(x) es positiva o negativa en cada intervalo.
¿Y eso como lo hacemos?
Pues tenemos que elegir un valor de x que pertenezca a cada intervalo y calcular el valor de f'(x) en ese punto.
Para el intervalo que va desde menos infinito hasta -2, voy a elegir el punto x=-3. Calculo f'(-3):
f'(-3) es menor que 0, luego todos los puntos que estén entre menos infinito y -2 serán negativos y por tanto la derivada primera en ese intervalo es menor que cero, por lo que f(x) es decreciente en ese intervalo:
Lo representamos así en la recta:
Seguimos con el intervalo que va desde -2 hasta -1.
Elijo el punto x=-1,5 y calculo el valor de f'(x) para ese punto:
Es mayor que cero, por tanto, f(x) será creciente en ese intervalo:
Y lo representamos en la recta:
Para el intervalo (-1,1) elegimos el punto x=0 y calculamos f'(0):
Es menor que cero, por lo que f(x) será decreciente en (-1,1):
Y lo reflejamos en la recta:
Para el ultimo intervalo, elegimos el punto x=2 y calculamos el valor de la derivada primera para x=2:
Que es mayor que cero, por lo que f(x) será creciente desde 1 hasta infinito:
Y lo dejamos representado en la recta:
Ya tenemos en qué intervalos la función es creciente y decreciente.
Ejercicio 2
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función:
Vamos a obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Empezamos calculando el dominio de la función. Al ser una función racional, la función existirá si el denominador es distinto de cero:
Despejamos x y nos queda:
El dominio de la función es todo R menos el 2:
Así que el primer valor de x que delimitará los intervalos será el 2, que lo representamos en la recta real como un punto vacío:
Ahora calculamos su derivada:
Y la simplificamos:
Igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación:
Tenemos una ecuación racional, por lo que ésta será igual a 0 cuando el numerador sea 0:
Nos queda una ecuación de cuarto grado, pero que podemos obtener factor común a x al cuadrado para simplificar cálculos y no tener que resolver por el método de Ruffini:
Tenemos una multiplicación de dos factores que es igual a 0, por lo que por un lado tenemos:
Y por otro:
Aunque la ecuación es de cuarto grado, hemos encontrado tres soluciones, ya que una de ellas es doble.
Colocamos las soluciones en la recta numérica:
Tenemos 4 intervalos:
- Desde menos infinito hasta 0
- Desde 0 hasta 2
- Desde 2 hasta 6
- Desde 6 hasta infinito
Ahora tenemos que determinar si función es creciente o decreciente en cada intervalo, estudiando si la derivada f'(x) es positiva o negativa.
Para ello, tenemos que elegir un valor de x que pertenezca a cada intervalo y calcular el valor de f'(x) en ese punto, lo que nos dará si la derivada en positiva o negativa y por tango si la función es creciente o decreciente.
Para el intervalo que va desde menos infinito hasta 0, voy a elegir el punto x=-1. Calculo f'(-1):
f'(-1) es mayor que 0, por lo que f(x) es creciente en este intervalo:
Lo representamos en la recta real:
Para el intervalo que va desde 0 hasta 2, voy a elegir el punto x=1. Calculo f'(1):
f'(1) es mayor que 0, por lo que f(x) es creciente en este intervalo:
Lo representamos en la recta real:
Para el intervalo que va desde 2 hasta 6, voy a elegir el punto x=3. Calculo f'(3):
f'(3) es menor que 0, por lo que f(x) es decreciente en este intervalo:
Lo representamos en la recta real:
Para el intervalo que va desde 6 hasta infinito, voy a elegir el punto x=1. Calculo f'(1):
f'(7) es mayor que 0, por lo que f(x) es creciente en este intervalo:
Lo representamos en la recta real:
Ejercicio 3
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función:
Primero obtenemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Para ello, primero obtenemos el dominio de la función. Como es una función raciona, existirá cuando el denominador sea distinto de cero:
Despejamos x:
El dominio de la función es todo R menos el 0:
Representamos el 0 como un punto vacío en la recta numérica:
Ahora realizamos la derivada de la función:
Operamos:
Obtenemos factor común en el numerador:
Y simplificamos:
Vamos a obtener los valores de x que hacen que la derivada sea igual a cero:
Así que igualamos la derivada a cero:
Y resolvemos la ecuación. Al ser una ecuación fraccionaria, será cero cuando su numerador sea cero:
Esta ecuación no tiene solución real:
Lo que quiere decir que no existe ningún valor de x que haga la derivada igual a cero. Así que el único valor que marca los intervalos de crecimiento y decrecimiento es el cero:
Nos quedan dos intervalos:
- Desde menos infinito hasta 0
- Desde 0 hasta infinito
Ahora estudiamos cada intervalo para ver si la función es creciente o decreciente en ese intervalo.
Para estudiar el primer intervalo, que va desde menos infinito hasta cero, damos un valor que pertenezca a ese intervalo, a la izquierda de 0, por ejemplo -1, sustituimos en la derivada primera y operamos:
f'(-1) es mayor que 0, por lo que f(x) es creciente en este desde menos infinito hasta cero
Lo representamos en la recta real:
Para estudiar el segundo intervalo, que va desde cero hasta infinito, damos un valor que pertenezca a ese intervalo, a la derecha de 0, por ejemplo 1, sustituimos en la derivada primera y operamos:
f'(1) es mayor que 0, por lo que f(x) es creciente en este desde cero hasta infinito:
Y lo representamos en la recta real:
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