▷ Método de reducción en sistemas de dos ecuaciones. Ejercicios.

Método de reducción para resolver sistemas de dos ecuaciones. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de reducción. Lo veremos paso a paso con ejemplos  y ejercicios resueltos paso a paso.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Pero antes de explicarte en qué consiste el método de reducción, necesitas entender dos conceptos: las ecuaciones equivalentes y los sistemas de ecuaciones equivalentes, los cuales, te ayudarán a entender mucho mejor cómo funciona este método.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución, es decir, dos ecuaciones que aparentemente son distintas, porque tienen distintos términos, al resolverlas, tienen la misma solución

Por ejemplo, tenemos la siguiente ecuación:

metodo de reduccion

La cual resolvemos y nos da que el resultado es x=2:

metodo de reduccion ejercicios resueltos paso por paso

metodo de reduccion paso a paso

Ahora vamos a resolver la siguiente ecuación, que aparentemente no tiene nada que ver con la ecuación anterior:

metodo de reduccion ejercicios

La resolvemos y obtenemos el mismo resultado:

sistema de ecuaciones reduccion

sistema de ecuaciones metodo de reduccion

Por tanto, las dos ecuaciones anteriores son equivalentes ya que tienen la misma solución.

Cómo obtener ecuaciones equivalentes

Podemos obtener infinitas ecuaciones equivalente a partir de una ecuación dada. Podemos hacerlo de dos formas:

1- Podemos obtener ecuaciones equivalentes sumando o restando cualquier número en ambos miembros de la ecuación.

Tenemos la siguiente ecuación:

metodo de reduccion ejercicios resueltos

Y por ejemplo le sumo 5 ambos miembros:

método de reducción

He obtenido una ecuación distinta, que es equivalente a la anterior. Vamos a resolverla para demostrarlo.

Operamos en ambos miembros:

ejercicios de metodo de reduccion

Y despejamos la x:

sistemas de ecuaciones reduccion

sistema de reduccion

El resultado es el mimo, por lo que las ecuaciones son equivalentes.

2- Podemos obtener ecuaciones equivalentes multiplicando o dividendo los coeficientes de ambos miembros de la ecuación.

Siguiendo con la misma ecuación del ejemplo anterior:

metodo de reduccion ejemplos

Ahora vamos a hallar otra ecuación equivalente multiplicando por 2 (por ejemplo) los coeficientes de ambos miembros:

metodos de reduccion

Si la resolvemos, vemos que el resultado sigue siendo el mismo:

pasos del metodo de reduccion

sistema de ecuaciones por reduccion

Por tanto, ambas ecuaciones son equivalentes.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Igual que ocurre con las ecuaciones, dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

Por ejemplo, el siguiente sistema:

ecuaciones metodo de reduccion

Tiene como solución (puedes comprobarlo tu mismo):

ecuaciones por reduccion

Cualquier sistema que tenga la misma solución sería un sistema de ecuaciones equivalente a éste.

Cómo obtener sistemas de ecuaciones equivalentes

Se pueden obtener múltiples sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado, básicamente de tres maneras:

1- Sustituyendo una de sus ecuaciones por otra ecuación equivalente, obtenida a partir de multiplicar o dividir ambos miembros por un miembro

Por ejemplo, en el sistema anterior:

metodo reduccion

Puedo multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 3 y me queda:

metodos de reduccion ejemplos

Y ahora la sustituyo por la ecuación que acabo de obtener:

metodo de reduccion ejemplos paso a paso

Este sistema, si lo resuelves comprobarás que sigue teniendo la misma solución:

sistema de ecuaciones por el metodo de reduccion

Por tanto, es un sistema equivalente al anterior.

2- Se puede obtener una nueva ecuación equivalente como resultado de sumar o restar las ecuaciones del sistema, término a término y esa nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos ecuaciones originales del sistema.

Vamos a ver esto un poco más despacio, ya que cuando lo ves por primera vez, resulta algo abstracto.

Tenemos el mismo sistema del ejemplo anterior:

metodo de reduccion pasos

Vamos a sumar sus dos ecuaciones término a término, es decir, se suman los coeficientes de los términos con “x” por un lado, los coeficientes de los términos con “y” por otro y los números por otro.

metodo de reduccion ejemplo

Para realizar esta operación hemos hecho lo siguiente:

Cn respecto a los términos con x, tenemos 3x en la primera ecuación y 2x en la segunda, que al sumarlos el resultado es 5x.

Con respecto a los términos con “y”, tenemos -1 en la primera ecuación y 1 en la segunda. El resultado de sumarlos es 0, por lo que no ponemos nada en nuestra nueva ecuación.

Y con respecto a los números, tenemos 1 en la primera ecuación y 9 en la segunda, por lo que al sumarlos, el resultado es 10.

Esa nueva ecuación, la podemos sustituir por cualquiera de las dos ecuaciones originales del sistema. Yo la voy a sustituir por la segunda ecuación y me queda:

ecuaciones de reduccion

Si resuelves este sistema, verás que el resultado sigue siendo:

metodo de reducción

Por lo que este sistema es equivalente al anterior.

Llegados a este punto, vamos a pasar a explicar en qué consiste el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

En qué consiste el método de reducción

El objetivo en el método de reducción es obtener sistemas equivalentes, más simples de resolver que el sistema original (de ahí que previamente te haya explicado las ecuaciones y los sistemas equivalentes).

Vamos a describir brevemente en qué consiste el método de reducción para que tengas una idea general y después resolveremos unos cuantos ejemplos para que te quede muy claro.

Los pasos del método de reducción son:

  1. Multiplicar las ecuaciones por un número que nos convenga y obtener su ecuación equivalente, para que al final, una de las dos incógnitas tenga los mismos coeficientes pero con signo contrario.
  2. Sumar las ecuaciones obtenidas
  3. Despejar la incógnita en la ecuación resultante después de sumar
  4. Sustituimos el valor obtenido de la incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema
  5. Operamos para obtener el valor de la otra incógnita

Vamos a verlo paso a paso, con más detalle en el siguiente apartado

Ejercicios sistemas resueltos paso a paso con el método de reducción

Ejercicio resuelto 1

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción:

metodo de reduccion sistema de ecuaciones

En primer lugar, debemos conseguir que una de las dos incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero de signo contrario.

Vamos a hacer esto con las x.

En la primera ecuación tengo un 2 y en la segunda un 1. Si multiplico la segunda ecuación por -2, obtendré una ecuación equivalente, donde el coeficiente de x será -2, y por tanto, tendrán el mismo coeficiente pero con el signo contrario, que es lo que estamos buscando:

metodo de reduccion de ecuaciones

Sustituyo la segunda ecuación por su nueva ecuación equivalente:

sistemas de ecuaciones metodo de reduccion

Ahora, sumamos estas dos ecuaciones término a término y me queda:

pasos para el metodo de reduccion

Como ves, el término con x ha desaparecido, que es lo que buscamos cuando queremos que tengan el mismo coeficiente con signo contrario, para que al sumarlos sea 0.

Nos ha quedado una ecuación donde es muy simple despejar la “y” y obtener su valor, tal y como indico en el paso 3:

sistemas de ecuaciones por reduccion

Ya tenemos la solución de la incógnita “y”.

Este valor que acabamos de obtener lo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones. Yo los sustituiré en la segunda ecuación (en la original):

reduccion de ecuaciones

resuelve por el metodo de reduccion las siguientes ecuaciones

Opero y despejo:

metodo reduccion sistema de ecuaciones

ejemplos del metodo de reduccion

Ya tenemos también la solución de x, por lo que la solución del sistema es:

ecuaciones por el metodo de reduccion

Ejercicio resuelto 2

Seguimos con otro ejemplo:

ecuaciones por metodo de reduccion

Igual que antes, lo primero que debes conseguir es que alguna de las dos incógnitas tenga el mismo coeficiente pero con signo contrario en las dos ecuaciones.

Si te das cuenta, en este caso, la incógnita “y” ya cumple esa condición en las dos ecuaciones, puesto que en la primera ecuación su coeficiente es 1 y en la segunda ecuación es -1.

Por tanto, nos ahorramos el paso de multiplicar las ecuaciones y pasamos directamente a sumar ambas ecuaciones término a término:

sistema de ecuaciones por metodo de reduccion

Despejamos la x de la ecuación que acabamos de obtener:

ejercicios del metodo de reduccion

Ahora este valor de x lo sustituimos el cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. Yo lo voy a sustituir en la primera ecuación:

ejercicios de ecuaciones por reduccion

sistema de ecuaciones metodo de reduccion ejercicios resueltos

Opero y despejo la “y”:

ejemplo de metodo de reduccion

metodo de reducion

Por tanto, el resultado del sistema es:

sistema reduccion

Ejercicio resuelto 3

Vamos a resolver otro ejemplo más:

ecuaciones reduccion

Igual que siempre, tenemos que conseguir el mismo coeficiente con signo contrario en las dos ecuaciones. En este caso, multiplicando sólo una ecuación, no hay forma de conseguir esto.

¿Qué tenemos que hacer entonces?

Muy fácil. Multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la incógnita que queramos anular de la segunda ecuación y la segunda ecuación por el coeficiente de la primera, cambiando el signo a uno de los dos.

En nuestro caso, quiero que se anulen los términos con x.

Para ello, multiplico la primera ecuación por 2, que es el coeficiente del término x de la segunda ecuación:

metodos para resolver ecuaciones equivalentes

Y multiplico la segunda ecuación por -3, que es el coeficiente del término x de la primera ecuación, cambiado de signo:

como resolver ecuaciones por el metodo de reduccion

Sustituimos las ecuaciones del sistema por sus dos nuevas ecuaciones equivalentes:

reduccion ecuaciones

Y sumamos ambas ecuaciones término a término:

metodo de reduccion ecuaciones

De la ecuación que obtenemos, despejamos la “y”:

ejercicios de reduccion

Y sustituyo el valor obtenido en una de las dos ecuaciones del sistema original. Yo he utilizado la segunda:

resolver ecuaciones por reduccion

resolver sistemas de ecuaciones por reduccion

Operamos y despejamos la x:

resolucion de sistemas por el metodo de reduccion

reducción de ecuaciones

problemas de reduccion

Finalmente, el resultado es:

reduccion sistema de ecuaciones

 

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