Método de reducción para resolver sistemas de dos ecuaciones.

A continuación te voy a explicar cómo resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de reducción.

Lo veremos paso a paso con ejemplos resueltos.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Pero antes de explicarte en qué consiste el método de reducción, necesitas entender dos conceptos: las ecuaciones equivalentes y los sistemas de ecuaciones equivalentes, los cuales, te ayudarán a entender mucho mejor cómo funciona este método.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución, es decir, dos ecuaciones que aparentemente son distintas, porque tienen distintos términos, al resolverlas, tienen la misma solución

Por ejemplo, tenemos la siguiente ecuación:

La cual resolvemos y nos da que el resultado es x=2:

Ahora vamos a resolver la siguiente ecuación, que aparentemente no tiene nada que ver con la ecuación anterior:

La resolvemos y obtenemos el mismo resultado:

Por tanto, las dos ecuaciones anteriores son equivalentes ya que tienen la misma solución.

Cómo obtener ecuaciones equivalentes

Podemos obtener infinitas ecuaciones equivalente a partir de una ecuación dada. Podemos hacerlo de dos formas:

1- Podemos obtener ecuaciones equivalentes sumando o restando cualquier número en ambos miembros de la ecuación.

Tenemos la siguiente ecuación:

Y por ejemplo le sumo 5 ambos miembros:

He obtenido una ecuación distinta, que es equivalente a la anterior. Vamos a resolverla para demostrarlo.

Operamos en ambos miembros:

Y despejamos la x:

El resultado es el mimo, por lo que las ecuaciones son equivalentes.

2- Podemos obtener ecuaciones equivalentes multiplicando o dividendo los coeficientes de ambos miembros de la ecuación.

Siguiendo con la misma ecuación del ejemplo anterior:

Ahora vamos a hallar otra ecuación equivalente multiplicando por 2 (por ejemplo) los coeficientes de ambos miembros:

Si la resolvemos, vemos que el resultado sigue siendo el mismo:

Por tanto, ambas ecuaciones son equivalentes.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Igual que ocurre con las ecuaciones, dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tiene como solución (puedes comprobarlo tu mismo):

Cualquier sistema que tenga la misma solución sería un sistema de ecuaciones equivalente a éste.

Cómo obtener sistemas de ecuaciones equivalentes

Se pueden obtener múltiples sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado, básicamente de tres maneras:

1- Sustituyendo una de sus ecuaciones por otra ecuación equivalente, obtenida a partir de multiplicar o dividir ambos miembros por un miembro

Por ejemplo, en el sistema anterior:

Puedo multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 3 y me queda:

Y ahora la sustituyo por la ecuación que acabo de obtener:

Este sistema, si lo resuelves comprobarás que sigue teniendo la misma solución:

Por tanto, es un sistema equivalente al anterior.

2- Se puede obtener una nueva ecuación equivalente como resultado de sumar o restar las ecuaciones del sistema, término a término y esa nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos ecuaciones originales del sistema.

Vamos a ver esto un poco más despacio, ya que cuando lo ves por primera vez, resulta algo abstracto.

Tenemos el mismo sistema del ejemplo anterior:

Vamos a sumar sus dos ecuaciones término a término, es decir, se suman los coeficientes de los términos con “x” por un lado, los coeficientes de los términos con “y” por otro y los números por otro.

Para realizar esta operación hemos hecho lo siguiente:

Cn respecto a los términos con x, tenemos 3x en la primera ecuación y 2x en la segunda, que al sumarlos el resultado es 5x.

Con respecto a los términos con “y”, tenemos -1 en la primera ecuación y 1 en la segunda. El resultado de sumarlos es 0, por lo que no ponemos nada en nuestra nueva ecuación.

Y con respecto a los números, tenemos 1 en la primera ecuación y 9 en la segunda, por lo que al sumarlos, el resultado es 10.

Esa nueva ecuación, la podemos sustituir por cualquiera de las dos ecuaciones originales del sistema. Yo la voy a sustituir por la segunda ecuación y me queda:

Si resuelves este sistema, verás que el resultado sigue siendo:

Por lo que este sistema es equivalente al anterior.

Llegados a este punto, vamos a pasar a explicar en qué consiste el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

En qué consiste el método de reducción

El objetivo en el método de reducción es obtener sistemas equivalentes, más simples de resolver que el sistema original (de ahí que previamente te haya explicado las ecuaciones y los sistemas equivalentes).

Vamos a describir brevemente en qué consiste el método de reducción para que tengas una idea general y después resolveremos unos cuantos ejemplos para que te quede muy claro.

Los pasos del método de reducción son:

  1. Multiplicar las ecuaciones por un número que nos convenga y obtener su ecuación equivalente, para que al final, una de las dos incógnitas tenga los mismos coeficientes pero con signo contrario.
  2. Sumar las ecuaciones obtenidas
  3. Despejar la incógnita en la ecuación resultante después de sumar
  4. Sustituimos el valor obtenido de la incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema
  5. Operamos para obtener el valor de la otra incógnita

Vamos a verlo paso a paso, con más detalle en el siguiente apartado

Ejercicios sistemas resueltos paso a paso con el método de reducción

Ejercicio resuelto 1

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción:

En primer lugar, debemos conseguir que una de las dos incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero de signo contrario.

Vamos a hacer esto con las x.

En la primera ecuación tengo un 2 y en la segunda un 1. Si multiplico la segunda ecuación por -2, obtendré una ecuación equivalente, donde el coeficiente de x será -2, y por tanto, tendrán el mismo coeficiente pero con el signo contrario, que es lo que estamos buscando:

Sustituyo la segunda ecuación por su nueva ecuación equivalente:

Ahora, sumamos estas dos ecuaciones término a término y me queda:

Como ves, el término con x ha desaparecido, que es lo que buscamos cuando queremos que tengan el mismo coeficiente con signo contrario, para que al sumarlos sea 0.

Nos ha quedado una ecuación donde es muy simple despejar la “y” y obtener su valor, tal y como indico en el paso 3:

Ya tenemos la solución de la incógnita “y”.

Este valor que acabamos de obtener lo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones. Yo los sustituiré en la segunda ecuación (en la original):

Opero y despejo:

Ya tenemos también la solución de x, por lo que la solución del sistema es:

Ejercicio resuelto 2

Seguimos con otro ejemplo:

Igual que antes, lo primero que debes conseguir es que alguna de las dos incógnitas tenga el mismo coeficiente pero con signo contrario en las dos ecuaciones.

Si te das cuenta, en este caso, la incógnita “y” ya cumple esa condición en las dos ecuaciones, puesto que en la primera ecuación su coeficiente es 1 y en la segunda ecuación es -1.

Por tanto, nos ahorramos el paso de multiplicar las ecuaciones y pasamos directamente a sumar ambas ecuaciones término a término:

Despejamos la x de la ecuación que acabamos de obtener:

Ahora este valor de x lo sustituimos el cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. Yo lo voy a sustituir en la primera ecuación:

Opero y despejo la “y”:

Por tanto, el resultado del sistema es:

Ejercicio resuelto 3

Vamos a resolver otro ejemplo más:

Igual que siempre, tenemos que conseguir el mismo coeficiente con signo contrario en las dos ecuaciones. En este caso, multiplicando sólo una ecuación, no hay forma de conseguir esto.

¿Qué tenemos que hacer entonces?

Muy fácil. Multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la incógnita que queramos anular de la segunda ecuación y la segunda ecuación por el coeficiente de la primera, cambiando el signo a uno de los dos.

En nuestro caso, quiero que se anulen los términos con x.

Para ello, multiplico la primera ecuación por 2, que es el coeficiente del término x de la segunda ecuación:

Y multiplico la segunda ecuación por -3, que es el coeficiente del término x de la primera ecuación, cambiado de signo:

Sustituimos las ecuaciones del sistema por sus dos nuevas ecuaciones equivalentes:

Y sumamos ambas ecuaciones término a término:

De la ecuación que obtenemos, despejamos la “y”:

Y sustituyo el valor obtenido en una de las dos ecuaciones del sistema original. Yo he utilizado la segunda:

Operamos y despejamos la x:

Finalmente, el resultado es:

 

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