Potencias de exponente negativo y base negativa. Ejemplos resueltos.

¿Tienes problemas para resolver ejercicios con potencias negativas? Las potencias negativas pueden ser de dos formas: potencias de exponente negativo o potencias con base negativa.

A continuación voy a explicarte paso a paso cómo tienes que operar con las potencias de exponente negativo. Además también veremos cómo operar con las potencias que tienen la base negativa.

En definitiva, te voy a enseñar todo lo que necesitas saber de los signos menos en las potencias, ya estén en la base o en el exponente.

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Fórmula para convertir potencias de exponente negativo en exponente positivo

Existe una propiedad de las potencias para las potencias de exponente negativo que dice que una potencia con exponente negativo es igual a 1 entre la misma potencia, pero con exponente positivo.

En otras palabras, para convertir el exponente de negativo a positivo, la potencia pasa al denominador:

potencias de exponente negativo

Por ejemplo:

potencias de exponente negativo

Cuando operas con números, no es posible obtener un resultado directo con las potencias de exponente negativo, por lo que para poder llegar a su resultado, antes hay que convertir el exponente a positivo aplicando la fórmula anterior:

potencias de exponente negativo

Un caso particular de potencia con exponente negativo es la inversa de un número. La inversa de un número, es ese número elevado a -1, y se resuelve de esta forma:

potencias de exponente negativo

Fracciones elevadas a exponente negativo

Cuando tenemos fracciones elevadas a un exponente negativo, para convertir el exponente a positivo, hay que darle la vuelta a la fracción, según la siguiente fórmula:

potencias de exponente negativo

En realidad, cuando la base no es una fracción, es decir, es un número o una variable, también le damos la vuelta, ya que colocamos la potencia en el denominador y el denominador original (que era un 1) pasa a ser el numerador.

Por ejemplo:

potencias de exponente negativo

Primero le damos la vuelta a la fracción y el exponente lo pasamos a positivo y después eliminamos paréntesis aplicando las propiedades de las potencias.

Vamos a ver otro ejemplo fracciones con números:

potencias de exponente negativo

Una vez hemos pasado el exponente a positivo, ya podemos obtener un resultado de la potencia.

Como has podido ver, para trabajar con potencias es muy importante conocer y saber aplicar sus propiedades. En el Curso de Potencias, no solo aprenderás las propiedades de las potencias, sino que aprenderás a realizar hasta las operaciones más complejas.

Ahora que ya has aprendido a trabajar con los exponentes negativos, le toca el turno a las potencias que tienen el signo menos en la base.

Potencias con base negativa

Las potencias pueden tener un signo menos en la base, pero mucho cuidado porque hay que diferenciar 2 casos:

1 – El signo menos está afectado por el exponente. Sabemos que el signo menos está afectado por el exponente porque el número o la variable y el signo menos están encerrados entre paréntesis.

Entonces hay que tener en cuenta que:

Si el exponente es par, el resultado será positivo:

potencias de exponente negativo

Si el exponente es impar, el resultado será negativo:

potencias de exponente negativo

2 – El signo menos NO está afectado por el exponente. El signo menos NO pertenece a la potencia y es totalmente independiente.

¿Cómo sabemos si el signo menos está afectado o no por el exponente? Porque no está encerrado entre paréntesis

potencias de exponente negativo

En otras palabras, el signo menos se añade al resultado de la potencia (independientemente que éste sea positivo o negativo).

Ejemplos de potencias con signo menos en la base

Vamos a empezar a resolver algunas potencias para que tengas claro cómo actuar ante los signos negativos en la base.

Ejemplo 1:

potencias de exponente negativo

El signo menos está afectado por el exponente ya que está encerrado entre paréntesis. Como el exponente es impar, el resultado es negativo:

potencias de exponente negativo

Ejemplo 2:
potencias de exponente negativo

El signo menos no está afectado por el exponente. Pero aun así, el resultado es negativo porque el signo menos ya lo teníamos y se le añade al resultado de la potencia.

El resultado no depende de si el exponente es par o impar.

potencias de exponente negativo

Ejemplo 3:

potencias de exponente negativo

Como en el ejemplo anterior, el signo menos no está afectado por la potencia y no depende de si el exponente es par o impar. Tan sólo colocamos el signo menos, que ya lo teníamos y resolvemos la potencia

potencias de exponente negativo

Ejemplo 4:

potencias de exponente negativo

Otra vez, el signo menos pertenece a la potencia. El exponente es par, luego el resultado es positivo:

potencias de exponente negativo

Si te das cuenta, sólo tienes que fijarte muy bien si el signo menos está dentro del paréntesis o no para saber cómo tienes que actuar.

Ahora vamos a resolver algunos ejemplos mezclando las potencias con base negativa y las potencias de exponente negativo.

Ejemplos de potencias de exponente negativo y base negativa

¿Cómo operar cuándo tenemos signos menos en la base y en el exponente?

Vamos a ir resolviendo unos ejemplos paso a paso que te dejará las cosas mucho más claras:

Ejemplo 1:

potencias de exponente negativo

Para comenzar, el signo menos de la base no pertenece a la potencia. Por tanto, el resultado tiene un signo menos que ya teníamos y el resultado de aplicar la propiedad del exponente negativo, pasando la potencia al denominador:

potencias de exponente negativo

Ejemplo 2:

potencias de exponente negativo

El signo menos pertenece a la potencia, por tanto, toda la base (con el signo menos incluido) pasa al denominador:

potencias de exponente negativo

Y ahora resolvemos la potencia con exponente positivo que tenemos en el denominador. Tenemos una base negativa, con un exponente impar, por lo que el resultado es negativo:

potencias de exponente negativo

Ejemplo 3:

potencias de exponente negativo

Este ejercicio es un poco más complicado, ya que tenemos la potencia con exponente negativo en el denominador.

Igual que cuando tenemos el exponente negativo en el numerador y pasa al denominador, cuando el exponente negativo está en el denominador, pasa al numerador con exponente positivo:

potencias de exponente negativo

Por tanto, la potencia del ejemplo sería así:

potencias de exponente negativo

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