Primitiva de una función y propiedades de las integrales indefinidas

¿Sabes lo que es la primitiva de una función?

A continuación te voy a explicar qué es la primitiva de una función, para entender mejor qué es una integral indefinida y estudiaremos las propiedades de las integrales indefinidas, las cuales son fundamentales para aprender a resolver integrales.

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¡Vamos allá!

Primitiva de una función

¿Qué es la primitiva de una función?

La primitiva de una función es la función a partir de la cual procede una función derivada.

Una función f'(x) se obtiene derivando una función F(x), como por ejemplo:

Entonces, diremos que F(x) es primitiva de f'(x) y para pasar de F(x) a f'(x), hay que derivar f'(x).

¿Qué pasa si tenemos directamente f'(x) y queremos encontrar su primitiva F(x)?

Es decir, queremos encontrar la función de la cual procede esa función derivada.

Un ejemplo podría ser éste, en el que partimos de la función derivada y llegamos a su primitiva:

Hemos encontrado una función (x³) que si la derivamos, volvemos a la función f'(x). Es la primitiva de la función.

Ahora bien, las siguientes funciones, también son primitivas de la función f'(x) anterior, ya que si las derivamos, obtenemos exactamente a la misma función f'(x):

Lo único que diferencia a estas primitivas es el número que se le añade al final. A ese número le vamos a llamar constante y esta constante puede tomar cualquier valor, por lo que una función tiene infinitas primitivas.

El conjunto de todas las primitivas es la integral indefinida y se escribe de la siguiente manera:

En el caso del ejemplo anterior sería:

Al añadirle la constante a la primitiva, estamos englobando todas las primitivas posibles de la función.

A ese proceso contrario a la derivación es el que se conoce como integración.

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Propiedades de las integrales indefinidas

Vamos a ver ahora qué propiedades tienen las integrales indefinidas, las cuales las utilizaremos simplificar los cálculos a la hora de resolver cualquier tipo de integral.

Propiedad 1

Si tenemos una constante que está multiplicando a una función, podemos sacar la constante fuera de la integral:

Propiedad 2

La integral de la suma o resta de 2 o más funciones es igual a la suma o resta de sus integrales:

Mucho cuidado con esta propiedad porque no es extensible para las integrales que tienen multiplicación o división de funciones.

La integral de la multiplicación de dos funciones no es igual a la multiplicación de sus integrales:

De la misma forma, la integral de la división de dos funciones no es igual a la división de las integrales:

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