Proyección de un vector sobre otro vector. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar ver qué es y cómo calcular la proyección de un vector sobre otro vector. Veremos primero qué es la proyección de un vector sobre otro gráficamente y después te enseñaré cómo calcular las coordenadas del vector proyección resultante, con ejercicios resueltos paso a paso.

¡Empezamos!

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Qué es la proyección de un vector sobre otro vector

En primer lugar, vamos a ver gráficamente qué es la proyección de un vector sobre otro vector. Tenemos los siguientes vectores u y v, que forman un ángulo alfa:

Vamos a representar gráficamente la proyección del vector u sobre el vector v (que como veremos más adelante, no es igual a la proyección del vector v sobre u). Para ello, desde el extremo de u, trazamos una recta perpendicular al vector v:

Ahora, sobre el vector v, dibujamos un vector desde el origen de ambos vectores hasta el punto donde se cortan la recta perpendicular y el vector v. El vector resultante (de color verde) es el vector proyección de u en v:

Ahora vamos a representar gráficamente la proyección del vector v sobre el vector u. El procedimiento es el mismo que acabamos de realizar, pero teniendo en cuenta que la proyección es del vector v sobre u.

Desde el extremo del vector v, trazamos una recta perpendicular al vector u:

Ahora, sobre el vector u, dibujamos un vector desde el origen de ambos vectores hasta el punto donde se cortan la recta perpendicular y el vector u, que será el extremo. El vector de color verde que resulta es el vector proyección de v en u, que si te das cuenta, no tiene nada que ver con la proyección de u en v:

Vamos a ver ahora cómo representar proyecciones cuando el ángulo alfa es obtuso, es decir, mayor de 90º:

El procedimiento es siempre el mismo: Desde el extremo del vector que queremos obtener la proyección trazamos una perpendicular del vector sobre el que queremos proyectarlo. Luego, en ese mismo vector, trazamos un nuevo vector desde el origen hasta el punto donde se corta con la recta perpendicular.

De esta forma, la proyección del vector u sobre v es:

Como en principio la recta perpendicular no corta con el vector v, tenemos que prolongar dicho vector hacia la izquierda hasta encontrar el punto de corte.

La proyección del vector v sobre u es:

Esta vez, hemos tenido que prolongar el vector u hacia abajo.

Si los vectores forman un ángulo de 90º, no existe la proyección de ningún vector. Gráficamente se representaría como un punto. Estaríamos representando el vector nulo.

Una vez que tenemos claro qué es la proyección de un vector sobre otro vector y cómo representarla gráficamente, vamos a ver cómo calcularla en el siguiente apartado.

Cómo calcular la proyección de un vector sobre otro vector

¿Cómo se calcula la proyección de un vector sobre otro vector?

Te voy a explicar paso a paso qué fórmula utilizar y cómo se obtiene esta fórmula para que la entiendas mejor. Primero veremos cómo calcular el módulo del vector proyección y luego las coordenadas del vector proyección.

Módulo del vector proyección

Al módulo del vector proyección se le llama segmento de proyección. El módulo del vector proyección corresponde a la longitud del vector proyección.

Vamos a calcular el módulo de u sobre v.

Si en vez de representar los vectores, representamos sus módulos, es decir, sus longitudes, el vector u, junto con el vector proyección y la recta perpendicular forman un triángulo rectángulo:

Aplicando las razones trigonométricas, podemos definir el coseno de alfa como el módulo del vector proyección de u sobre v, entre el módulo del vector u:

Si despejamos el módulo del vector proyección nos queda:

Por otro lado, a partir de la fórmula del producto escalar de dos vectores:

Despejamos también el coseno de alfa:

Y esta expresión del coseno de alfa, la sustituimos en la expresión donde teníamos despejada el módulo del vector proyección de u sobre v:

De donde podemos eliminar el módulo de u y nos queda:

Fórmula con la cual podemos calcular el módulo del vector proyección de u sobre v. El resultado del módulo del vector proyección es un número, ya que en el numerador tenemos el producto escalar de los dos vectores, que es un número y el denominador, el módulo de v, que es otro número.

Vector proyección

Ahora vamos a ver cómo calcular las coordenadas del vector proyección de u sobre v.

Para obtener el vector proyección vamos a multiplicar el módulo del vector proyección por un vector unitario que tenga la misma dirección que tiene el vector proyección.

En el caso de la proyección del vector u sobre el vector v, el vector proyección tiene la misma dirección que el vector v, por tanto, necesitamos el vector unitario del vector v.

Para calcular el vector unitario del vector v, dividimos el vector v entre su módulo:

Al dividir un vector entre su módulo, el módulo del vector que nos queda es igual a 1. y por eso se dice que es un vector unitario.

Por tanto, el vector proyección de u sobre v, será igual su módulo, por el vector unitario de v:

Si expresamos el módulo del vector proyección con su fórmula, nos queda:

Que operando, nos queda la fórmula del vector proyección que es igual al producto escalar de los vectores u y v, dividido entre el módulo del vector v al cuadrado, multiplicado por las coordenadas del vector v:

El resultado de esta fórmula es un vector, ya que realmente en esta fórmula, la fracción corresponde a un número, multiplicada por el vector v y eso es igual a un vector.

Fórmulas del vector proyección de v sobre u

Para obtener las fórmulas del vector proyección de v sobre u, seguiríamos el mismo procedimiento. Como resultado nos quedan las siguientes fórmulas, que si te das cuenta, sólo tenemos que cambiar la v por la u.

La fórmula del módulo del vector proyección de v sobre u es:

La fórmula del vector proyección de v sobre u es:

Por supuesto, cada vez que quieras resolver un ejercicio sobre proyecciones de vectores, no es necesario que deduzcas las fórmulas desde el principio (aunque puedes hacerlo si quieres). Basta con aplicar la fórmula correctamente.

Ejercicios resueltos de proyección de un vector sobre otro

Vamos a ver ahora cómo resolver ejercicios de proyección de un vector sobre otro, aplicando las fórmulas que acabamos de explicar.

Dados los siguientes vectores:

Determinar la proyección del vector u sobre el vector v.

Tenemos que calcular la proyección de u sobre v, luego tenemos que aplicar la siguiente fórmula:

Vamos a ir calculando cada uno de los elementos que necesitamos.

En primer lugar, calculamos el producto escalar de u y v, mediante su expresión analítica:

Ahora calculamos el módulo de v:

Y finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula junto con las coordenadas del vector v:

Y operamos:

Obteniendo las coordenadas de la proyección de u sobre v.

Si calculas la proyección de v sobre u, verás que obtendrás un vector totalmente distinto.

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