Equações de primeiro grau

Vamos ver o que é uma equação de primeiro grau e como resolver equações de primeiro grau de todos os tipos: com parênteses, com denominadores e com parênteses e denominadores ao mesmo tempo, com exercícios resolvidos passo a passo.

O que é uma equação

Antes de ir ver o que é uma equação de primeiro grau, se você fosse perguntado o que é uma equação, você saberia como respondê-la? Vamos olhar para ele de uma forma muito simples.

Uma equação é uma igualdade matemática caracterizada por ter um elemento desconhecido, chamado incógnita.

Por exemplo, aqui temos uma equação onde o desconhecido é o x:

equações de primeiro grau

Além disso, o sinal de igualdade desempenha um papel muito importante numa equação, pois estamos sempre a falar de igualdade:

first-degree equations

Cada lado do sinal de igualdade é chamado de membro. O lado esquerdo é chamado o primeiro membro e o lado direito é chamado o segundo membro.

Esta explicação é muito básica e não muito completa, mas é bom para você ter uma idéia inicial e se familiarizar com os termos.

Grau de uma equação

Já vimos que é uma equação, mas como sabemos se é uma equação de primeiro grau?

E a propósito, qual é o grau de uma equação?

O grau de uma equação coincide com o maior expoente ao qual as incógnitas são elevadas.

Por exemplo, qual é o grau na seguinte equação?

first-degree equations

Nesta equação, no primeiro membro temos o incógnito elevado a 2 e elevado a 3. No segundo membro o incógnito é elevado a 1. Lembre-se que se o incógnito não tem expoente, significa que é elevado a 1:

Portanto, a equação acima é de grau 3, que é igual ao maior expoente das incógnitas.

O grau de uma equação indica o número de soluções que a equação tem. Assim, uma equação de primeiro grau tem uma solução, uma equação de segundo grau tem duas soluções, e assim por diante.

Equações de primeiro grau

Bem, já sabemos o que é uma equação e sabemos como identificar qual é o seu grau. Vamos nos concentrar agora nas equações de primeiro grau.

Equações de primeiro grau são aquelas onde x é apenas elevado a 1, ou com outras palavras, simplesmente x aparece.

Sendo grau um, você tem uma solução.

Em geral, qualquer equação de primeiro grau tem esta forma, uma vez simplificada:

ec-1

Quando não são simplificados, podemos encontrá-los com parênteses, colchetes, denominadores e frações como estes:

equações de primeiro grau

Todas estas equações devem ser previamente simplificadas para serem resolvidas. Vamos olhar para ele passo a passo abaixo.

Como resolver equações de primeiro grau

O que é resolver uma equação

Em primeiro lugar, vamos esclarecer o que é resolver uma equação. Resolver uma equação é encontrar o valor numérico que x deve ter para que a igualdade seja verdadeira.

Para fazer isto, a equação deve ser simplificada até que o x sozinho seja deixado em um dos membros, que é o que é chamado limpando o x. Vamos vê-lo continuamente nesta e nas lições subsequentes.

Para resolver equações de primeiro grau, é comumente dito que você tem que limpar x, mas o que significa limpar x?

Para limpar o x temos de passar por uma série de passos para reduzir ou simplificar a equação.

Para isso, além de levar em conta a hierarquia das operações, essas regras práticas são seguidas:

Regras práticas para resolver equações de primeiro grau

Embora seja aconselhável saber como funciona a transposição dos termos, na prática estas regras práticas aplicam-se:

  • Quando um termo é ADICIONADO a um membro, ele passa para o outro membro RESTANDO.
  • Quando um termo é REMANDO em um membro, ele passa para o outro membro. SUMANDO.
  • Quando um termo é MULTIPLICANDO em um membro, ele passa para o outro membro DIVIDENDO o membro inteiro
  • Quando um termo é DIVIDENDO em um membro, ele passa para o outro membro MULTIPLICANDO o membro inteiro

Os termos podem ser passados do membro esquerdo para o membro direito ou vice-versa.

Passos para resolver equações

Para resolver as equações de primeiro grau vamos passar por uma série de passos:

  1. Relocalizar termos: Passe os termos com x para um membro e os números para o outro membro
  2. Simplificar: Agrupar termos semelhantes
  3. Limpar o x

Devemos esclarecer que esta não é a única forma de resolver uma equação de primeiro grau. Você poderia, por exemplo, simplificar antes de se mudar, mas isso lhe ensinará a prática.

Vamos começar a resolver equações muito simples e vamos aumentando a dificuldade pouco a pouco para que você entenda tudo.

Exemplos de equações simples de primeiro grau

Vejamos um exemplo de como equações simples de primeiro grau são resolvidas. Se entendermos perfeitamente esses tipos de equações, será mais fácil entender como outras equações de primeiro grau mais complicadas são resolvidas (com parênteses, denominadores, poderes…).

Partiremos da seguinte equação:

equações de primeiro grau

Nós vemos que é primeiro grau porque x é elevado a 1, como nós indicamos na definição das equações de primeiro grau.

Começamos com o primeiro passo

1 – Mudar os termos.

Transpondo termos, nós temos que passar os termos que carregam x ao primeiro membro e os números que não carregam x ao segundo membro. Termos que já estão no membro correspondente não devem ser tocados.

Para começar, focamos nos termos com x e esquecemos o resto da equação.

Na equação original vemos que temos dois termos com x: o 4x, que já está no primeiro membro e o -2x que está no segundo membro e deve ser passado para o primeiro membro.

Como fazer equações de primeiro grau

Nós deixamos o 4x como é e o 2x que é RESTANDO, passa SUMANDO ao primeiro membro.

Como resolver equações de primeiro grau passo a passo

Agora vamos com os números e esquecer o resto.

Na equação original tínhamos dois números (termos sem x): o 14 que já está no segundo membro e o +2, que está no primeiro membro e deve ser passado para o segundo membro:

Como resolver equações de primeiro grau passo a passo

Agora, nós reescrevemos o primeiro membro, com os termos com x já realocado e o 14 que já está no segundo membro. A única coisa que temos que fazer é passar o 2, que é ADICIONAR e passar HOLDING para o segundo membro:

exercises solved first-degree equations

Já concluímos o primeiro passo. Temos os termos com x no primeiro membro e os números no segundo membro.

Continuamos com o segundo passo.

2 – Simplifique: Grupo termos semelhantes.

Neste passo você tem que agrupar termos semelhantes, ou seja, negociar por um lado com os termos com x e por outro lado com os termos sem x.

Você nunca pode agrupar termos com x e números. Eles não podem ser operados. Não se esqueça. [/box].

No passo anterior, a equação permaneceu a mesma:

first-degree equations examples

Primeiro operamos com os termos em x. Nós operamos com os números na frente do x:

first degree equations solvedY temos apenas um termo à esquerda:how to solve linear equations

Agora operamos com os números que nos restam no segundo mandato:

example linear equations

O que não é nada mais do que adicionar e subtrair números. Escrevemos o primeiro membro com o termo já simplificado e o resultado de operar no segundo membro:first degree equations with an incognitaJá temos os dois membros simplificados. Para terminar, temos o último passo, que é limpar o x.

3 – Limpar x

Já temos a equação com os termos em vigor e simplificados. Vamos agora limpar o x.

Este último passo é muito fácil e você já o praticou na lição anterior, então não deve ser um problema para você.

Temos que deixar o x completamente sozinho e agora temos um 6 na frente:equations of first degree exercises solved

Como ele está multiplicando o x, ele passa para o outro membro dividindo:

First Degree Equation Solved Exercises

E agora só nos resta fazer a divisão:

resolvendo equações de primeiro grau

E esta é a solução para a equação. Se a fração não for exata, ela é simplificada e deixada na forma de uma fração.

Como resolver as equações de primeiro grau com parênteses

Para resolver as equações de primeiro grau com parênteses, basta adicionar mais um passo ao procedimento que já conhecemos para resolver as equações de primeiro grau:

  1. Remover parênteses
  2. Relocalizar termos: Passe os termos com x para um membro e os números para o outro membro
  3. Simplificar: Agrupar termos semelhantes
  4. Limpar o x

Uma vez que não tenhamos mais parênteses, podemos continuar resolvendo a equação de primeiro grau da mesma forma que fizemos até agora.

Veremos como executar este novo passo e então veremos exemplos de como resolver equações com parênteses.

Como eliminar parênteses nas equações de primeiro grau

Quando há parênteses em uma equação, isso significa que há um número à frente que está multiplicando os termos dentro dos parênteses.

Na frente do parêntese pode haver: um número, um sinal de menos ou um sinal de mais.

Em todos estes casos, o número deve ser multiplicado por todos os termos dentro do parêntese, levando em conta a regra dos sinais.

Por exemplo:

equações de primeiro grau com parenteses

equações com parenteses

É muito importante levar em conta os sinais, especialmente quando o número que multiplica o parêntese é negativo. O procedimento seria o mesmo.

Pode haver um sinal de menos ou um sinal de mais na frente dos parênteses. Nesse caso, equivale a multiplicar por -1 ou +1, respectivamente.

Há regras mais simples em ambos os casos:

Quando há um sinal de menos na frente de um parêntese, muda o sinal para os termos dentro do parêntese
.

Quando há um sinal mais na frente de um parêntese, os termos dentro do parêntese permanecem os mesmos
.

Exercícios resolvidos de equações de primeiro grau com parênteses

Uma vez que você aprendeu a resolver equações de primeiro grau com parênteses, você verá que todos os exercícios são resolvidos da mesma forma.

Vamos resolver um exercício de equação de primeiro grau com parênteses:

exercícios de equações de primeiro grau resolvidos

Eliminamos os parênteses multiplicando o número na frente pelos membros dentro dos parênteses:

Como resolver equações com parenteses

Ficamos com uma equação de primeiro grau, muito mais simples, que não tem parênteses, que podemos continuar a resolver:

Como resolver equações de primeiro grau com parenteses

como resolver equações com exemplos de parenteses

equations with parentesis exercises

No final temos uma fração, que tivemos que simplify.

Vamos dar outro exemplo:

parentesis-26

Temos este parêntese:parentesis-27

É um parêntese com um sinal de menos à frente. Nós mudamos os sinais dos termos dentro e removemos os parênteses:parentesis-28

Nós deixamos uma equação se parêntese, que nós continuamos resolvendo como sempre:

parentesis-29

E para terminar outro exemplo:

parentesis-30

Neste caso, temos três parênteses

parentesis-31

O primeiro não tem nada à frente dele, por isso tiramos isso. Os outros dois foram eliminados como já sabemos:

parentesis-32

Novamente, removemos todos os parênteses e podemos continuar a resolver a equação:

Como resolver equações de primeiro grau com denominadores

Equações de primeiro grau com denominadores são onde a maioria dos erros são cometidos, então preste muita atenção e não pule um passo.

Agora vou explicar como resolver as equações de primeiro grau com denominadores usando os seguintes passos:

  1. Eliminar denominadores
  2. Eliminar parênteses
  3. Mudar os termos: Passar termos com x para um membro e números para o outro membro
  4. Simplificar: Grupo termos semelhantes
  5. Limpar x

Depois de remover os denominadores, a equação de primeiro grau já reduz grandemente a sua dificuldade.

Na próxima seção, vou explicar em detalhes como remover os denominadores na equação de primeiro grau.

Como eliminar denominadores numa equação de primeiro grau

Vamos começar explicando com um exemplo de como os denominadores são eliminados.

Temos a seguinte equação:

equações de primeiro grau com denominadores

A primeira coisa que temos que fazer é obter o denominador comum de todos os denominadores da equação, tanto do primeiro membro como do segundo membro, já que, como com números, para somar e subtrair frações, é necessário que tenham o mesmo denominador.

Neste caso, vou escolher 24, mesmo que não seja o múltiplo mínimo comum, para que você veja que pode escolher qualquer denominador, desde que seja comum.

Nós deixamos o denominador preparado e multiplicamos o numerador por seu número correspondente para obter suas frações equivalentes.

Esse número é obtido dividindo o denominador comum pelo denominador da fração original, assim como é feito ao operar apenas com números.

equações com denominadores

equações com denominador

Em cada membro, colocamos tudo em uma única fração, cujo numerador é a soma ou subtração de todos os numeradores.

Neste ponto, é quando podemos eliminar diretamente o denominador. Fazer isso é semelhante ao que acontece com a transposição de termos. Podemos multiplicar ambos os membros pelo denominador comum, o que equivale a eliminá-los:

how to remove denominators in a first degree equation

remove denominators in first degree equations

equações de primeiro grau com denominador

Ficamos com uma equação de primeiro grau com parênteses.

Continuamos a eliminar os parênteses e acabamos por resolver a equação de primeiro grau:

equações de primeiro grau com denominadores

equação com denominadores

como resolver equações com denominadores

equações de primeiro grau

O resultado está na forma de uma fracção que tivemos de simplificar.

No final, ele é sempre resolvido da mesma maneira e é repetir o método uma e outra vez. Quando você tiver resolvido alguns, não será um problema para você.

Para ajudar você a pegar mais prática, vou resolver outro exemplo passo a passo de equações de primeiro grau com denominadores.

Exemplo de equações de primeiro grau com denominadores passo a passo

Equações de primeiro grau com denominadores estão cheias de “armadilhas” que você tem que levar em conta para resolvê-las bem. É por isso que vamos repetir outro exemplo para rever todo o procedimento mais uma vez, passo a passo e aprendê-lo bem.

Vamos ao primeiro exemplo:

Como resolver equações de primeiro grau passo a passo

Obtemos um denominador comum e multiplicamos os denominadores pelos números correspondentes para transformar suas frações equivalentes na equação original:

Como fazer equações com denominadores

resolvendo equações com denominadores

Agrupamos em uma única fração para cada membro e eliminamos os denominadores:

linear equations with denominator

Como resolver equações de primeiro grau passo a passo

Removemos os parênteses e acabamos de resolver a equação:

remove denominadores e resolve

equação com denominador

equações com exercícios de denominador

linear equations with denominators

Neste caso, a fracção não pode ser simplificada.

Exemplo de como resolver equações de primeiro grau com fracções e parênteses

Vamos ver como resolver equações de primeiro grau com frações e parênteses. Por exemplo, esta equação:

equações de primeiro grau com frações e parênteses

Primeiro operamos dentro dos parênteses para remover os parênteses. Para isso, lembramos que o número multiplica cada um dos termos entre parênteses:

equations with fractions and parentesis

Nós operamos agora dentro dos colchetes que agrupam termos similares:

equações de primeiro grau com denominadores e parênteses

Remova os colchetes multiplicando pela fração. Lembre-se que as frações são multiplicadas em linha. Os termos incluídos no parêntese têm como denominador 1.

equações com denominadores e parenteses

Temos termos com denominadores diferentes. Nós eliminamos denominadores, previamente obtendo um denominador comum e calculando suas frações equivalentes:

equations with parentesis and fractions

Agora podemos remover os denominadores. Temos esta equação à esquerda:

equações com parenteses e denominadores

Continuamos a eliminar os parênteses:

equações de primeiro grau com parenteses e denominadores

Se tivermos um sinal de menos precedendo uma fração cujo numerador tem mais de um termo, lembre-se que o sinal de menos afeta todos os termos do numerador. Vemos isso em mais detalhe no curso.

Já não temos parênteses ou denominadores. O próximo passo é trazer ao primeiro membro todos os termos com x e ao segundo membro os termos sem x:

equações de primeiro grau com colchetes

Nós agrupamos os termos:

equações de primeiro grau com parênteses e parênteses

E limpámos o x:

equações de primeiro grau com denominadores

Ficamos com uma fração que não pode ser simplificada como solução.

Estes são os passos para resolver equações de primeiro grau com denominadores e parênteses. A dificuldade dependerá de cada equação.

Como resolver equações de primeiro grau com fracções

Agora vou explicar como resolver equações de primeiro grau com frações, passo a passo.

Ela é chamada de equações de primeiro grau com frações porque a maioria de seus termos são frações, com apenas um termo no denominador, ao contrário das equações de primeiro grau com denominadores, nas quais os numeradores têm dois ou mais termos.

Numa equação de primeiro grau com fracções, podemos encontrar uma fracção que se está a multiplicar por um parêntese.

Este parêntese nos impede de eliminar denominadores, então o primeiro passo deve ser remover parêntese que são multiplicados por uma fração.

Aqui estão os passos para resolver esses tipos de equações:

  1. Remover parênteses multiplicados por frações
  2. Eliminar denominadores
  3. Eliminar parênteses
  4. Mudar os termos: Passar termos com x para um membro e números para o outro membro
  5. Simplificar: Grupo termos semelhantes
  6. Limpar x

Uma vez que não temos mais esses parênteses, os denominadores podem ser removidos normalmente e podemos continuar resolvendo a equação sem problemas.

Exemplo de como resolver as equações de primeiro grau com fracções

Vamos ver com um exemplo de como equações de primeiro grau são resolvidas com frações passo a passo:

Como já comentamos anteriormente, podemos ter frações que estão se multiplicando por parênteses e que devemos eliminar antes de remover os denominadores.

Vamos explicá-lo passo a passo com um exemplo. Esta é uma equação de primeiro grau com frações. Os numeradores têm apenas um termo:

first-degree equations with fractions

Em que temos uma fração que se multiplica para um parêntese:

equations with fractions

Nós devemos começar por remover esse parêntese porque se nós não fizermos isso, não é possível remover denominadores.

Lembramos que, quando duas frações estão se multiplicando, elas são multiplicadas em linha, ou seja, o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador.

Continuando com o exemplo, nós multiplicamos o parêntese e então operamos nos denominadores:

equations with step-by-step fractions

Como resolver equações de primeiro grau com fracções

Já removemos esse parêntese. Agora podemos remover denominadores como se fosse uma equação de primeiro grau com denominadores:

O denominador comum é 30, que é o mínimo múltiplo comum de 2, 4, 5 e 6:

m.c.m (2,3,5,6) = 30

Como resolver equações com fracções

fraction equations

equations with first degree fractions

Como fazer equações com fracções

E agora que não temos denominadores, operamos nos termos, relocalizamos termos e limpamos o x como expliquei na lição sobre como resolver uma equação de primeiro grau:

first-degree equations fractions

Como fazer equações de primeiro grau com fracções

equation with fractions

equações com fracções y x

Neste caso, o resultado não pode ser simplificado, mas, sempre que possível, deve ser simplificado.

Então este é o procedimento para resolver equações de primeiro grau com frações.

5 truques para resolver facilmente equações de primeiro grau

Assim como na vida cotidiana existem inúmeros truques caseiros para resolver problemas do dia-a-dia, eu vou te ensinar alguns truques para resolver equações de primeiro grau facilmente, para que você tenha mais habilidade ao executar suas equações de primeiro grau e você possa economizar muito tempo executando operações.

Mas para fazer melhor uso desses truques, você precisa saber como resolver equações de primeiro grau.

Antes de começar a contar-te alguns truques, tenho de deixar claro que, para os realizares, tens de ter a certeza de que sabes o que estás a fazer e porque o estás a fazer. Em caso de dúvida, é preferível que não o faça.

Vamos com eles:

#1 Termos repetidos podem ser riscados

Quando um termo é repetido exactamente da mesma forma nos dois termos, podemos riscar esses termos.

Por exemplo, nesta equação:

tricks to solve equations

Vemos que o -3x é repetido nos dois membros:

tricks for solving equation problems

Quando isto acontecer, podemos riscá-los directamente e apagá-los da equação.

how to easily solve equations

Desde quando reordenamos os termos, entre eles, o resultado é 0:

learn equations

Este é um dos truques mais úteis para resolver equações, pois eliminamos termos antes de operar com eles e simplificamos a equação.

#2 Menores sinais que afetam todo o membro podem ser riscados

Tal como no ponto anterior, se tivermos um sinal de menos que afecte todo o membro, este pode ser riscado.

Mas é muito importante que isso afete todo o termo, caso contrário estaríamos modificando a equação original.

Por exemplo, nesta equação temos um sinal de menos em cada membro, o que afeta todo o membro:

Learn to make equations

Portanto, podemos riscá-la e os novos membros permanecem positivos:how to learn to do equations

Ao limpar o x, haveria uma fração positiva

Ele pode ser riscado porque se passarmos -3 para o outro membro dividindo, os sinais de menos ao dividir dar um sinal positivo pela regra dos sinais:

equations how to solve them

É importante enfatizar que é necessário que o sinal de menos afete todo o membro para usar este truque. Por exemplo, nesta equação não seria possível riscar os sinais de menos:

truques para matemática

Uma vez que os sinais menores só afectam um termo.

Para afetar o membro inteiro, precisaríamos de um parêntese, como neste caso:

strategies for solving equations

Na próxima lição, quando começarmos com os parênteses, você será capaz de aplicar este truque.

#3 Denominadores que afetam todo o membro podem ser riscados

Com denominadores, temos o caso de que o mesmo denominador divide o todo do primeiro membro e o todo do segundo membro:

truques para limpar fórmulas

Neste caso, também podemos riscar os denominadores para eliminá-los:

truques para aprender matemática

Podemos fazer isto porque se passássemos um dos 4 multiplicando para o outro membro, no final eles se anulariam sendo equivalentes a multiplicar por 1 para o segundo membro e ficaríamos com uma equação sem denominadores.

trucos de matematica

Não se deve esquecer que é absolutamente necessário que o denominador afecte todo o membro.

#4 Podemos passar o desconhecido para o outro membro para torná-lo positivo

Outra forma de remover o sinal de menos em frente ao x. Vamos vê-lo com este exemplo:

Como resolver equações

Em vez de passar o -1 que multiplica para o x, podemos tratar o -x como um termo que está subtraindo no primeiro membro e passá-lo adicionando ao segundo membro:

tricks first-degree equations

Agora, para limpar o x, passamos o 2 para o primeiro membro, que está adicionando e subtraindo:

steps to solve equations

No final, podemos trocar os membros do local:

learn truques equations

Não deve ser confundido com termos de passagem. O que temos feito é mudar um membro para outro, mas o sinal dos termos não varia.

#5 O sinal de menos em uma fração pertence à fração inteira

Embora este truque não seja apenas sobre equações, pensei que seria útil lembrá-lo para torná-lo mais claro.

Às vezes, o sinal de menos não é conhecido se deve ser colocado no numerador ou no denominador. Bem, você sabe que não importa exatamente.

Embora o sinal de menos pertença ao numerador ou denominador, no final a fração é negativa e o sinal de menos pode ser colocado na frente da fração:

trucos matematica

E, por enquanto, nada mais. Espero que você possa usar esses truques para resolver equações de primeiro grau e você pode usá-los.

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