Equações de segundo grau: Como resolvê-las passo a passo. Exercícios resolvidos.

A seguir, explicaremos os passos básicos para que você aprenda a resolver todas as equações de segundo grau, tanto completas como incompletas. As equações de segundo grau também são conhecidas como equações quadráticas.

Completar equações de segundo grau.

Em geral, as equações de segundo grau são aquelas em que x é elevado a 2 em um de seus termos.

Podem ser equações de segundo grau completas ou incompletas, dependendo se têm todos os seus termos ou não. Aqui vou concentrar-me em explicar-lhe as equações completas de segundo grau.

O que são equações completas de segundo grau.

As equações completas de segundo grau ou equações quadráticas são representadas da seguinte forma:

equuación de segundo grado completa

Onde a, b e c são as constantes da equação:

  • a é o número que sempre precede x ao quadrado.
  • b é o número que está sempre à frente do x.
  • c é o número.

Isso é, as equações de segundo grau completas são aquelas que têm um termo com x elevado a 2, um termo com x elevado a 1 (ou simplesmente o x). Se algum desses termos estivesse faltando, estaríamos falando de equações incompletas de segundo grau, que são resolvidas com um procedimento diferente.

Como equações de segundo grau, têm 2 soluções. Lembre-se que o grau de uma equação é igual ao número de soluções.

Como resolver equações completas de segundo grau.

Identificação de constantes na equação de segundo grau.

O primeiro passo para resolver equações completas de segundo grau é identificar corretamente as constantes. Como dissemos antes, as constantes são os números que vão antes de x ao quadrado, x e o termo que não tem x.

Deixar-nos vê-lo em um exemplo:

solve second degree equations

Neste caso, em frente ao x ao quadrado, não há nada, então a = 1.

Na frente de x há um 5, então b=5.

E o termo que não carrega x é um 4, então c=4.

Recorde que quando não há nada na frente dos desconhecidos, é porque eles são multiplicados por 1, ou em outras palavras, é equivalente a haver um 1 na frente.

Vamos ver outro exemplo:fórmula para resolver equações de segundo grau

Agora, se nos apercebemos disso, a equação é ligeiramente diferente, mas causa muitos erros se não estivermos atentos. Vejamos porquê:

Na forma geral não há sinal de menos:

second degree equation

Portanto, devemos transformar a nossa equação para que seja da mesma forma que a forma geral das equações completas de segundo grau:

formula general negative root

Agora o temos da mesma maneira, onde não aparece nenhum sinal de menos e então a, b e c são obtidos da mesma forma que no primeiro caso:

equation of second degree formula

Quando tivermos mais prática, vamos identificar as constantes diretamente, sem a necessidade de transformar nossa equação, mas para começar é uma maneira muito boa de evitar erros.

Fórmula geral de equações completas de segundo grau.

Uma vez identificadas as constantes, a seguinte fórmula deve ser aplicada para resolver as equações completas de segundo grau:

Como fazer equações de segundo grau

Vamos ver como é usado, resolvendo os exemplos anteriores:

Temos a primeira equação de segundo grau, na qual identificamos as constantes:

Quais são os métodos para resolver equações de segundo grau

Agora, temos que substituir o valor de cada constante na fórmula geral:

Como fazer uma equação de segundo grau

E agora operamos, dentro da raiz, tendo em conta a hierarquia das operações:

Como resolver equações quadráticas completas

Neste ponto, temos que resolver o sinal + de um lado e o sinal – do outro:

steps to solve quadratic equations

Se tivéssemos o caso de as fracções não serem exactas, teríamos de as simplificar.

Tenha muito cuidado com os sinais – das constantes.

Há casos particulares em que o resultado da raiz é negativo, ou que suas soluções não são exatas ou o resultado da raiz não é exato.

Resolvendo equações de segundo grau

Equações de segundo grau com soluções de forma radicular

Soluções para uma equação de segundo grau não precisam ser dois inteiros diferentes. Em alguns casos, podem ter uma solução dupla ou ter duas soluções complexas.

Muitas vezes, quando as soluções não estão completas, você começa a duvidar se a sua solução está correta ou não.

Y now, let’s see what the solutions of a second-degree equation can be like.

Nós nos deparamos com este caso quando a raiz não tem uma solução completa. Como regra geral, ele será deixado na forma de raiz para não ter que operar com casas decimais, embora se estivermos resolvendo um problema e o resultado exato for necessário, não teremos outra escolha senão resolver a raiz quadrada com a calculadora

Por exemplo, temos a seguinte equação de segundo grau:

equations of second degree exercises solved general formula

O primeiro passo é resolver a equação de segundo grau usando a fórmula geral:

second degree equations by general formula

Neste ponto, vemos que a raiz de 5 não tem solução exata. Portanto, matematicamente, ela é deixada na forma de uma raiz:

second degree equations general formula

Não é obrigatório deixá-lo na forma de raiz, mas é mais confortável deixá-lo dessa maneira, para não ter que arrastar decimais. O resultado poderia ser dado com casas decimais e seria igualmente correto. É o mesmo com frações que quando um resultado não é exato, ele é deixado na forma de uma fração.

Equações de segundo grau com dupla solução

Quando estamos resolvendo uma equação de segundo grau e o resultado da raiz ou discriminante é 0, diz-se que temos uma solução dupla, já que vamos ter a mesma solução repetida 2 vezes. Vamos ver como agir neste caso:

quadratic equations with complex solutions

Como a priori não sabemos como serão as soluções, resolvemos a equação como qualquer outra: when a second degree equation has no solution Quando atingimos esta parte da resolução, vemos que o resultado da raiz é 0.

Um erro grave é deixar apenas 1 solução. Nunca faça isso porque você será suspenso diretamente. O que se faz nestes casos é trabalhar com o 0:

rules for solving second degree equations

Ela é resolvida seguindo o procedimento habitual, embora pareça óbvio adicionar e subtrair 0, mas é uma boa maneira de alcançar as 2 soluções.

Outra maneira de indicar soluções é desenvolver a fórmula geral até o final, para chegar a uma solução, mas para indicar na letra que é uma solução dupla.

Equações de segundo grau com soluções complexas

Encontramos este caso quando na fórmula geral, o discriminante ou o resultado da raiz é negativo.

Se você ainda não estudou os números complexos, quando você chegar à raiz negativa você deve colocar o seguinte:

Nenhuma solução real

Essa frase é equivalente a dizer que dentro do conjunto de números reais, não há solução (a solução é encontrada no conjunto de números complexos).

Vejamos com um exemplo:

raíz cuadrada negativa en equuación de segundo grado

equuaciones quadráticas

Ou seja, assim que vemos a raiz com um conteúdo negativo, indicamos diretamente que ela não tem solução real e pronto. É importante não esquecer a palavra real, porque se for indicada simplesmente “não tem solução”, não será correta, pois tem solução, mas não no conjunto de números reais.

Por outro lado, se você já estudou números complexos, você tem que desenvolver a equação até encontrar as soluções complexas. Ou seja, você deve substituir a raiz de -1 pelo número i:

Second degree equation example

examples of quadratic equations

Aqui estão os passos básicos para você aprender como resolver equações incompletas de segundo grau.

O que são equações incompletas de segundo grau.

Lembremo-nos da forma geral de uma equação de segundo grau completa:

1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Equações incompletas de segundo grau são aquelas em que as constantes b ou c ou mesmo as duas estão faltando, ou seja, são iguais a 0. Temos três caras:

Quando b=0: incomplete second degree equation 2

Quando c=0:incomplete second degree equation 1

Quando b = 0 e c = 0:incomplete second degree equation 3

Vamos ver como cada um deles é resolvido.

Como resolver equações incompletas de segundo grau.

Equações incompletas de segundo grau sem termo com x (b=0)

Estamos diante de uma equação deste tipo quando a equação de segundo grau carece do termo com x ou, em outras palavras, quando b=0:

Incomplete Second Degree Equation 2

Por exemplo:

equation second degree incomplete b=0

Para resolver equações de segundo grau incompletas deste tipo, primeiro limpamos x² como se fosse uma equação de primeiro grau:

resolución ec segundo grado incompleta

Uma vez aqui, temos que mover o quadrado para o outro lado da igualdade na forma de raiz, e depois obter uma solução positiva e uma negativa:

soluciones ec segundo grado incompleta

Cujas soluções são 2 e -2.

É isso, sem mais nem menos. Se em outra equação, a raiz não é exata, cada resultado é deixado na forma de uma raiz com seu sinal correspondente na frente dele.

Completar equações de segundo grau sem número (c=0)

As equações incompletas de segundo grau sem número (ou sem termo independente) são aquelas em que c=0 na forma geral e, portanto, têm esta forma:

Incomplete Second Degree Equation 1

Por exemplo:

equations second degree incomplete 5

O primeiro passo para resolver este tipo de equação incompleta é tomar um fator comum, já que um x é repetido nos dois termos.

Incomplete Second Degree Equations 6

Agora, temos de considerar o seguinte:

Quando uma multiplicação de dois fatores resulta em 0, significa que um dos dois fatores é 0, já que qualquer valor multiplicado por 0 é 0.

Por exemplo:

2.0 = 0 (isto é claro)

x.0 = 0 (x pode ser qualquer valor, mas quando multiplicado por 0, o resultado é 0)

a.b = 0 (aqui o resultado é 0, então ou a=0 ou b=0, mas não sabemos qual)

Continuamos com a nossa equação. Temos um caso semelhante ao de a.b = 0: temos dois fatores (x e (x-3)) cujo resultado é 0, então um dos dois deve ser 0, mas não sabemos qual.

Portanto, temos dois caminhos a seguir: x=0 ou x-3=0. No primeiro caso, obtemos directamente a primeira solução e, no segundo caso, temos de dar outro passo, que é limpar o x:

incomplete second degree equations 7

Soluções 0 e 3

Deve ter muito cuidado com os sinais negativos ao eliminar o factor comum. No decurso das equações de segundo grau eu explico passo a passo como agir com sinais negativos para que você não esteja enganado.

Completar equações de segundo grau apenas com o termo x² (b=0 e c=0)

Este é o tipo mais fácil de tudo o que é resolvido quase directamente. Equações incompletas de segundo grau deste tipo são aquelas que só têm o termo com x², ou seja, quando b=0 e c=0:

equation of second degree incomplete 3

Vamos ver um exemplo:

second degree equations incomplete 8

Como no caso de equações incompletas de segundo grau com c=0, devemos limpar x²:

incomplete second degree equations 9

Mas, a particularidade deste caso é que vamos sempre obter esse x²=0. Assim, quando passamos o quadrado para o outro lado como raiz, temos que o resultado é 0, mas é uma solução dupla:

incomplete second degree equations 10

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