Operações com potências com a mesma e diferente base. Exercícios resolvidos

Explicarei abaixo como operar com poderes com a mesma e diferente base. Você aprenderá como multiplicar e dividir poderes de diferentes bases, tanto variáveis como números.

Multiplicação de potências com a mesma base

Quando temos dois poderes multiplicando, não é uma questão de aplicar a propriedade de multiplicar poderes com a mesma base e é isso, mas temos que terminar de simplificar a operação com outras propriedades.

Vamos ver com um exemplo:

powers with the same base

O primeiro passo é verificar se eles têm a mesma base, que eles a têm.

Portanto, quando temos multiplicações com a mesma base, a propriedade de multiplicação de poderes com a mesma base é aplicada:

operations with powers of the same base

Nós mantemos a base e adicionamos os expoentes.

Neste caso, temos um expoente negativo, mas não importa, porque adicionamos um número negativo e pronto:

powers of the same base

Ficamos com um poder com uma base negativa (o expoente afeta o sinal menos porque está entre parênteses), elevado a um expoente negativo.

O próximo passo é aplicar a propriedade de expoente negativo:

powers of the same base

Passamos esse expoente ao positivo e depois resolvemos o poder no denominador, que é negativo porque o expoente é estranho:

power of same base

Como você pode ver, aplicamos duas propriedades até simplificarmos a operação. Depois de adicionar ou subtrair os expoentes, passe sempre o expoente para positivo.

As propriedades dos poderes devem ser aplicadas até que a operação seja completamente simplificada. [/box]

Divisão de potências com a mesma base

Com a divisão de poderes com a mesma base, a mesma coisa acontece com a multiplicação. Não basta aplicar apenas a propriedade de divisão de poderes com a mesma base.

Por exemplo:

operações com igual potência de base

Temos dois poderes que estão a dividir-se e têm a mesma base, pelo que a primeira coisa a fazer é aplicar a propriedade da divisão de poderes com a mesma base:

operações de potência com a mesma base

Nós mantemos a base e subtraímos os expoentes:

operations with powers same base

Ficamos com um poder com um expoente negativo, que temos de mudar para um expoente positivo com esta propriedade:

when we multiply two powers with the same base

Então passamos o poder para o denominador com o expoente positivo:

pasos para resolver una potencia Resumindo, quando temos multiplicações ou divisões de poderes com a mesma base, adicionamos ou subtraímos expoentes, que podem ser positivos ou negativos e depois passamos o expoente para positivo.

Multiplicações e divisões com poderes com a mesma base

Na mesma operação, podemos ter multiplicações e divisões de poderes com a mesma base. Por outras palavras, teríamos uma fracção com mais de uma potência.

Neste caso, devemos aplicar a propriedade de multiplicação, separadamente, no numerador e no denominador, depois aplicar a propriedade de divisão e, finalmente, passar o expoente a positivo, se este permanecer negativo.

Vamos ver um exemplo mais devagar:

powers of powers with the same base

Temos uma operação em que várias potências com a mesma base se multiplicam e dividem.

Aplicamos a propriedade de multiplicação no numerador e no denominador. Nós mantemos a base e adicionamos os expoentes:power with the same base

Ficamos com uma fracção que tem duas particularidades:

1 – Recebemos um 2 elevado a 0 no numerador e já sabemos da primeira propriedade que qualquer número elevado a 0 é 1:

powers same base different sign

2 – Temos um expoente negativo no denominador. Convertemos o expoente em positivo passando o poder para o numerador. É a mesma propriedade que a de um poder com expoente negativo:

propiedades de la potencia de igual base

Continuando com a nossa operação, temos o seguinte:

multiplicacion de potencias de la misma base

Depois de passarmos o expoente para positivo, o poder pode ser resolvido.

Multiplicações e divisões de potência com diferentes bases

Em uma operação podemos encontrar potências de diferentes bases, que estão se multiplicando e dividindo. Tenha em mente que só podemos multiplicar e dividir poderes quando eles têm a mesma base.

Se tivermos uma multiplicação de duas potências que têm bases diferentes, como esta:

multiplication of powers of different base

Não podemos operar com eles porque não podemos aplicar qualquer propriedade dos poderes. Ficaria como está.

Lembre-se que as propriedades de multiplicação e divisão de poderes são aplicadas quando temos a mesma base
.

Portanto, a primeira coisa que temos que fazer é procurar as potências que têm a mesma base, multiplicá-las ou dividi-las separadamente.

Vamos ver este conceito com outro exemplo:

division of powers from different base

Temos duas bases: x e y<y.

Com a base x, temos duas potências que estão se multiplicando, então podemos adicionar os expoentes. Com a base Y, não podemos fazer nada e fica como está:

soma das potências de diferentes bases

Vês qual é o procedimento? Você tem que sempre procurar poderes da mesma base para ser capaz de aplicar as propriedades dos poderes correspondentes.

Vamos ver outro exemplo:

simplify powers of different base and different exponent

Temos novamente duas bases: x e y<y.

Não podemos multiplicar poderes no numerador e no denominador, pois temos poderes de base diferente.

Por outro lado, temos divisões de poderes com a base x e com a base y.

Nós dividimos separadamente com cada uma das bases. Tratamo-los como se fossem duas fracções que se estão a multiplicar:

soma das potências de diferentes bases

Por um lado, para a base x, os expoentes são subtraídos e, por outro lado, para a base y, os expoentes também são subtraídos:

producto de potencias de diferentes base

Para cada uma das bases, deixamos um expoente negativo, que se torna positivo passando o poder para o denominador:

powers of different base

Vejamos outro exemplo onde também temos números, além de variáveis:

multiply powers of different base

Neste caso, temos, por um lado, uma fracção de números, por outro, uma divisão de potências com base x e, por outro, uma divisão de potências de base y.

Com os números simplificamos a fração, cujo resultado é um inteiro:

division of powers of different base and different exponent

Com as bases x e y, mantemos a base e subtraímos os expoentes. Isto deixa-nos com a nossa equação:

subtrair poderes de diferentes bases

Na base e, temos o expoente igual a 0. Nós sabemos por sua propriedade correspondente, que qualquer variável ou número um elevado a 0 é 1, assim que nós somos deixados:

multiplication of fractions with powers

E isto simplificaria a expressão.

Como você pode ver, é sempre o mesmo, resolver separadamente poderes com a mesma base, que são multiplicados no resultado final.[/box]

Operações com potência de números com base diferente

Quando trabalhamos apenas com números e temos poderes de diferentes bases, temos de procurar que os poderes tenham a mesma base, ou seja, temos de expressar todos os poderes com a mesma base ou se não for possível expressar todos os poderes com uma única base, com o menor número possível de bases.

E como expressamos o número noutra base? Dividindo o número em factores.

Vamos ver com um exemplo muito simples:

division of exponents with different base

Nesta multiplicação de poderes, em princípio não podemos fazer nada, porque temos uma multiplicação de poderes de base diferente e não podemos acrescentar os seus expoentes.

Mas podemos decompor 4:

sum of powers of different base and equal exponent

Portanto, na operação que estamos a resolver, substituímos o 4 pela sua decomposição e assim temos uma multiplicação de potências com a mesma base:

powers of different bases

Antes de multiplicar as potências, é necessário resolver o parêntese, multiplicando os expoentes:

base diferente e expoente diferente

Agora podemos multiplicar-nos. Nós mantemos a base e adicionamos os expoentes

soma de potências de expoente igual e base diferente

No final, também podemos resolver o poder.

Vamos ver outro exemplo:

how to multiply powers of different base

Em princípio, temos quatro bases: 2, 3, 4 e 9.

Queremos que todos os poderes tenham a mesma base ou o número mínimo de bases possível. Para isso, temos de decompor em factores principais os números que podem ser expressos desta forma na equação.

Neste caso podemos decompor 4 e 9, que indicamos na equação como 2² e 3²:

subtraction of powers of different base

Estamos reduzidos a duas bases, duas e três.

O próximo passo é eliminar os parênteses, multiplicando os expoentes exteriores pelos expoentes interiores:

powers of different bases

No numerador temos duas potências com base 2 multiplicando, portanto, mantemos a base e adicionamos os expoentes. Fazemos o mesmo no denominador com dois poderes básicos 3:

exponents of different base

Ficamos com uma divisão de energia base 2 e uma divisão de energia base 3. Para cada um de nós mantemos a base e subtraímos os expoentes:

operações com diferentes potências de base

E com isso terminamos de simplificar a expressão, já que não temos nenhum expoente negativo.

Operações com potências elevadas noutras potências

Vejamos agora os passos a seguir quando temos multiplicações ou divisões com poderes, que por sua vez são elevados a outro poder, por exemplo:

same base

Começamos por multiplicar os poderes dentro do parêntese:

division de potencias misma base

Fomos deixados com uma potência elevada a outra potência. Então agora multiplicamos os expoentes:

multiplication and division of powers of the same base

O expoente negativo foi feito positivo passando-o para o denominador.

Continuamos com uma divisão de poderes elevada a um expoente negativo:

como resolver división de potencias de igual base

Começamos a operar dentro dos parênteses, subtraindo os expoentes:

width=

Ficamos com um poder elevado a outro poder, então multiplicamos os expoentes:

Vejamos um último exemplo, em que temos todas as operações com poderes que vimos até agora:

power of equal base examples

Primeiro, aplicamos a propriedade de multiplicação de poder no numerador e no denominador. Nós mantemos a base e adicionamos os expoentes:

multiplication and division of powers with the same base

Ficamos com uma divisão de poderes. Nós mantemos a base e subtraímos os expoentes:

multiplication of powers with same base

Ficamos com uma potência elevada a outra potência. Mantemos a base e multiplicamos os expoentes:

division powers same base

No final temos um poder com expoente negativo, que fazemos positivo passando-o ao denominador. Assim que tivermos o expoente positivo, podemos resolver o poder:

how to solve multiplication of powers

Operações com potências de base diferente elevadas a outras potências

Vamos ver os passos a seguir quando você tem que simplificar uma operação em que você tem multiplicações e divisões de diferentes bases, que também fazem parte de outro poder, por exemplo:

potencias con bases diferentes

En primer lugar simplificamos tudo o que é possível no interior da paréntesis.

Igual que antes, por um lado simplificamos os números e por outro lado, com cada base x e y, mantemos as bases e restabelecemos os expoentes:

suma de potencias de diferente base y exponente

Ya no podemos operar más en el interior del paréntesis, por lo que procedemos a resolver el paréntesis.

Para resolver a paréntesis, hay que multiplicar el exponente de fuera, por cada uno de los exponentes que hay en el interior, según esta propedad:

potencias con diferente base y diferente exponente

Al multiplicar exponentes nos queda:

multiplicación de bases diferentes

Para terminar, temos que expressar a solução com todos os expoentes positivos.

Temos exponentes negativos no numerador e no denominador.

A recordação de que as potências com expoente negativo que está no numerador, passam ao denominador com expoente positivo e vice-versa, según esta propedad:

suma potencias distinta base

Aplicado a nuestra ecuación nos queda:

potencias de diferente base y exponente

Terminamos a operação resolvendo a potência de base 2.