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Produtos notáveis ou identidades notáveis. Fórmulas. Exercícios resolvidos

por ekuatio en Não categorizado 0

Aqui vou explicar-vos o que são produtos notáveis, também conhecidos como identidades notáveis. Veremos as fórmulas de cada uma delas e as aplicaremos por meio de exercícios resolvidos passo a passo.

Vou explicar passo a passo as diferentes fórmulas dos produtos notáveis, com exemplos resolvidos passo a passo, para que você aprenda a aplicá-las.

Índice de Contenidos

  • 1 O que são produtos ou identidades notáveis
    • 1.1 Quadrado binomial
  • 2 Fórmulas de Produtos Notáveis
    • 2.1 Sum Square Formula
    • 2.2 Fórmula do quadrado de uma subtração ou quadrado de uma diferença
    • 2.3 Soma por Fórmula da Diferença: Diferença de Praças
  • 3 Ter em conta com as fórmulas de produtos notáveis
  • 4 Cubo de uma soma
  • 5 Cubo de diferença
  • 6 Trinomio al cuadrado
  • 7 Ejemplos de produtos notáveis com términos de vários factores
  • 8 Ejercicios resueltos de produtos notáveis

O que são produtos ou identidades notáveis

O que são produtos notáveis?

Produtos notáveis, também chamados de identidades notáveis, são polinômios de dois termos (binômios) ao quadrado, ou o produto de dois binômios, como veremos abaixo, cujo desenvolvimento sempre segue as mesmas regras.

Multiplicar dois polinômios entre si, se tiverem mais de três termos, pode ser muito entediante e você pode gastar muito tempo fazendo a multiplicação. As fórmulas dos produtos notáveis, que te permitirão realizar a multiplicação diretamente, sem ter que ir de termo a termo.

Quadrado binomial

Para que conste, vamos ver o que é um binómio quadrado.

Como eu mencionei antes, um binômio é um polinômio de dois termos, que pode ser adicionado ou subtraído:

Podemos multiplicar estes binómios um com o outro de três maneiras diferentes:

Uma soma por uma soma:

Uma diferença para uma diferença:

E uma soma por uma diferença:

width=

Os dois primeiros casos podem ser quadrados como binômios, já que o mesmo binômio está sendo multiplicado duas vezes:

Fórmulas de Produtos Notáveis

As fórmulas dos produtos mais notáveis são: o quadrado de uma adição, o quadrado de uma subtracção e a adição por diferença ou diferença de quadrados.

Vamos dar uma olhada em cada um deles:

Sum Square Formula

Começamos com a multiplicação de duas binômios em que seus termos (iguais em ambas as binômios) estão sendo adicionados juntos:

Estamos a multiplicar o mesmo binómio duas vezes, por isso podemos colocá-lo como o quadrado de uma soma:

Por outro lado, se multiplicarmos os dois binómios que temos:

E reagrupamento de termos:

Este produto notável é lido: Quadrado do primeiro, mais o dobro do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo: fórmulas de los productos notables.

O primeiro é “a” (o primeiro termo do polinômio) e o segundo é “b” (o segundo termo do polinômio):

Para aplicar esta fórmula você só precisa substituir os termos do polinômio por a e b. Por exemplo:

remarkable product formula and examples

Este é o quadrado de uma soma e vamos aplicar a sua fórmula para não termos de fazer a multiplicação.

O primeiro é x e o segundo é 1:

  • Quadrado do primeiro: x²
  • O dobro do primeiro pelo segundo: 2.x.1
  • Segundo quadrado: 1²

difference of squares explanation

Até agora você aplicou a fórmula. Agora temos que operar dentro de cada termo para simplificar, multiplicando números e poderes de resolução:

Notable product cases with examples

Um erro grave é não perceber que a expressão acima é um produto notável e enquadrar cada termo incorretamente:

Como obter um produto notável

Fórmula do quadrado de uma subtração ou quadrado de uma diferença

Esta fórmula é muito semelhante à anterior. É por isso que você deve ter muito cuidado para não confundi-los, pois eles só diferem em um sinal.

Neste caso, temos a multiplicação de dois binômios em que seus termos (iguais em ambos os binômios) estão sendo subtraídos:

Esta multiplicação, podemos colocá-la como o quadrado de uma subtracção:

Se fizermos a multiplicação dos binómios, conseguimos:

Chegamos à conclusão de que o quadrado de uma diferença é sempre igual:

examples differences of squares

É assim que se lê: Quadrado do primeiro, menos o dobro do primeiro para o segundo, mais o quadrado do segundo.

Como no caso anterior, o primeiro é “a” (o primeiro termo do polinômio) e o segundo é “b” (o segundo termo do polinômio):

Para aplicar esta fórmula você só precisa substituir os termos do polinômio por a e b.

Por exemplo:

cuantos tipos de produtos notáveis hay

Aplicamos a fórmula do quadrado de uma subtracção:

  • Quadrado do primeiro: 2²
  • O dobro do primeiro pelo segundo: 2.2.x
  • Segundo quadrado: x²

Como resolver produtos notáveis

rules for solving remarkable products

Tanto o quadrado de uma adição quanto o quadrado de uma subtração podem ser utilizados para fatorar polinômios, aplicados em sentido inverso, ou seja, a partir do desenvolvimento, obtendo-se o produto notável.

Soma por Fórmula da Diferença: Diferença de Praças

A terceira das fórmulas que vamos ver é encontrar diretamente o resultado de uma soma por diferença de binômios:

Se desenvolvermos a multiplicação deles, já a temos:

Portanto, a soma por diferença será igual a:

remarkable products explanation

Esta fórmula é muito útil na fatorização de polinômios e na simplificação de frações algébricas quando temos a subtração de dois termos ao quadrado.

Vejamos um exemplo de como aplicar esta fórmula:

O primeiro é x e o segundo é 1, então:

  • O quadrado do primeiro é: x²
  • O quadrado do segundo: 1²=1

Portanto, a diferença de quadrados permanece:

Às vezes, como ao calcular o polinômio, esta fórmula é muito útil aplicada na direção oposta. Por exemplo:

O que temos que identificar nos polinômios deste tipo é se é ou não uma diferença de quadrados. À primeira vista, parece que não é porque o primeiro termo não é quadrado, mas sim porque podemos colocá-lo como 5²:

E agora é mais claro que é uma diferença de quadrados. Portanto, podemos colocá-lo como uma soma pela diferença:

width=

Ter em conta com as fórmulas de produtos notáveis

Outra coisa a ter em mente é que o primeiro e segundo termos não precisam ser formados por um único fator. Cada termo pode ser composto de vários fatores, por exemplo:

operações com produtos notáveis

examples of each remarkable product

Nesse caso, tenha muito cuidado e não se esqueça de quadrar todo o termo, com a aplicação da propriedade do poder correspondente.

Cubo de uma soma

O cubo de uma soma se resolve com a seguinte fórmula:

Vamos ver um exemplo:

Neste caso, substituímos 3x³ por “a” e 2x por “b”:

Operamos para resolver os parênteses, aplicando as propriedades dos poderes:

Finalmente, multiplicamos fatores e poderes em cada termo:

Cubo de diferença

Agora vamos ver como resolver o cubo de uma diferença. Neste caso, aplica-se a seguinte fórmula:

É muito semelhante ao cubo de uma soma, mas tem dois sinais a menos no segundo e quarto termos.

Por exemplo:

Neste caso “a” é 4x² e “b” é 7x. Substituímos “a” e “b” pelos seus valores na fórmula:

Primeiro resolvemos os parênteses:

Y por último multiplicamos factores e potências em cada término:

Trinomio al cuadrado

Um trinómio é um polinómio de três términos. A fórmula para resolver o quadrado de um trinômio é:

345Por ejemplo:

Sustituimos “a”, “b” e “c” por seus valores:

E operamos para simplificar términos:

Ejemplos de produtos notáveis com términos de vários factores

No siempre, el primer y el segundo término de un binomio tienen por qué estar formados por un sólo factor. Cada termo pode ser formado por vários fatores, como por exemplo, por exemplo:

Nestes casos, quando se fala em primeiro lugar e segundo mandato, é preciso ter em conta esta propriedade das potências:

propiedades de las potencias

Que dice que la cuando tenemos una multiplicación elevada a un exponente, el resultado es igual a cada factor elevado a ese mismo exponente.

Vamos resolver os produtos notáveis anteriores para que te quede tudo mais claro:

No primeiro lugar, identificamos os términos: o primeiro é 2y e o segundo 3x.

Aplicamos a fórmula do cuadrado de um resta e queda:

Ahora es cuando al elevar al cuadrado varios factores hay que aplicar esta propedad;

propiedades de las potencias

Y nos queda:

Por último, simplificamos términos, resolvendo potências e multiplicando números:

Vamos com o segundo ejemplo:

Esta vez é o cuadrado de uma suma. O primer término é 4x² e o segundo 5y.

Aplicamos a fórmula:

Esta vez, a hora de elevar o cuadrado, dentro do primeiro termo, tengo otro cuadrado, por tanto, recuerda que hay que multiplicar los exponentes:

Finalmente simplificamos cada término:

Vamos ver um tercer ejemplo com uma suma por diferença:

Aplicamos sua fórmula:

Resolvemos os problemas e simplificamos:

Ejercicios resueltos de produtos notáveis

1 – Realiza as seguintes identidades notáveis:


Solución

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¡Hola! Soy David y puedo ayudarte a aprobar las matemáticas. Sé qué es lo que te impide entender las matemáticas y con mi método de enseñanza sé como conseguir que entiendas lo que tú necesitas. Eres capaz de aprender matemáticas. Sólo necesitas que te las enseñen con el método adecuado. Déjame ayudarte y aprueba las matemáticas de una vez por todas.
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