Propriedades raiz: Aplicação e exemplos resolvidos passo a passo

Saber como usar propriedades de raízes é fundamental para simplificar operações com radicais corretamente, ao mesmo tempo em que executa operações com radicais.

Por isso, em seguida, veremos um por um, as propriedades das raízes e como você deve aplicá-las em suas operações.

Propriedade 1. Multiplicação de raízes com o mesmo índice

Multiplicar duas raízes com o mesmo índice é igual a realizar a multiplicação numa única raiz com esse índice:

root properties

Por exemplo, se você tem uma multiplicação dentro de uma raiz, você pode separar cada fator e resolver cada raiz separadamente, para obter o resultado final:

properties of roots

Esta propriedade será muito útil, por exemplo, para entender como introduzir ou extrair fatores em uma raiz.

Propriedade 2. Divisão de raízes com o mesmo índice

A mesma coisa acontece com a divisão de duas raízes com o same index. Essa divisão é equivalente à raiz da divisão.

A raiz de uma divisão é igual à divisão das raízes.

root properties

Por exemplo:

root properties

Propriedade muito útil também para simplificar as operações com raízes.

Propriedade 3. Raiz elevada a expoente

Outras das propriedades das raízes é quando você tem uma raiz elevada a um expoente, é equivalente a esse expoente estar dentro da raiz elevando o radicando:

properties of roots

Por exemplo:

root properties

Esta propriedade não deve ser confundida pela multiplicação do expoente pelo índice. Tenha muito cuidado.

Para isso já temos a propriedade que vem em seguida.

Propriedade 4. Raiz de outra raiz

Uma raiz alta para outra raiz é igual a outra raiz cujo índice é o produto dos dois índices.

properties of roots

Por exemplo:

root properties

Esta propriedade pode ser aplicada com todos os níveis de raízes radiculares. Por exemplo:

root properties

Propriedade 5. Cancelamento da raiz

Como você sabe, a raiz é a operação contrária ao poder.

Então se você tem um número ou variável elevada a um expoente que está dentro de uma raiz com o mesmo índice, a potência com a raiz é cancelada:

root properties

Esta propriedade parece óbvia, mas quando é parte de uma expressão muito mais complexa, às vezes é esquecida.

É muito útil para simplificar expressões quando se trabalha com variáveis:

root properties

Index e expoente são cancelados e apenas x permanece

Quando você opera com números, esta propriedade é aplicada indiretamente obtendo o resultado da raiz.

Por exemplo, nesta raiz:

root properties

O resultado é 2 porque 2 elevados ao cubo são 8.

Se aplicarmos essa propriedade e ao invés de colocarmos 8, colocá-la como 2 elevada ao cubo, vemos que o 3 do índice exponencial e do índice são anulados e apenas 2 permanecem, que é o resultado da raiz.

root properties

As raízes fazem mais sentido quando usadas para algum propósito, seja para simplificar uma expressão ou para realizar operações com raízes.

Nós vamos resolver alguns exercícios para que você se familiarize com eles.

Exemplos de aplicação de propriedades de raiz

Eu vou resolver alguns exercícios com você para que você possa ver como aplicar as propriedades das raízes:

Exemplo 1:

properties of roots

Desde que tenha uma raiz com mais de um factor, como neste caso, a primeira coisa que tem de fazer é aplicar a propriedade de multiplicação da raiz e separar cada factor numa raiz:

properties of roots

Tendo-o em duas raízes, já podemos obter o resultado da primeira raiz que é 2:

properties of roots

Estaremos deixando a segunda raiz do momento assim, mas poderíamos extrair fatores.

Exemplo 2:

Let’s see this other example with the root of a division:

root properties

Para poder resolver esta raiz, por meio da propriedade da divisão de raízes, nós a convertemos na divisão de duas raízes para poder resolver cada uma delas separadamente:

properties of roots

Normalmente, quando você vê uma fração dentro de uma raiz, o primeiro passo será sempre convertê-la para uma divisão de duas raízes como acabamos de fazer, mas às vezes, a fração dentro da raiz pode ser simplificada e não é necessário aplicar a propriedade.

Exemplo 3:

Neste exemplo vamos ter que aplicar mais de uma propriedade:

properties of roots

O primeiro passo é aplicar a propriedade de divisão, então nós a transformamos em uma divisão de duas raízes de índice 3:

properties of roots

Agora, se você perceber, tanto no numerador quanto no denominador temos uma raiz de mais de um fator. Portanto, o próximo passo é aplicar a propriedade de multiplicação a cada raiz e separá-la em duas raízes:

properties of roots

Quando já não nos pudermos separar em mais raízes, podemos continuar a resolver a que tem a solução, como acabámos de fazer.

Poderia ser mais simplificado por fatores de extração.

Exemplo 4:

Neste outro exemplo da aplicação das propriedades das raízes, é necessário aplicar também mais de uma propriedade, mas a forma de aplicá-las funciona de forma inversa ao exemplo anterior:

properties of roots

Neste caso, temos raízes separadas. A raiz de 6 não tem uma solução completa. Poderíamos aplicar a propriedade de multiplicação das raízes de 8x e 12x, mas também não teríamos nenhuma solução completa.

O que você tem que fazer então?

Estaremos colocando todas as raízes juntas em uma única raiz para ver se podemos simplificar o que resta dessa única raiz.

Iniciamos com o numerador da fração, unindo as duas raízes em uma e realizando a multiplicação que permanece dentro:

properties of roots

Temos agora a divisão de duas raízes. Juntamo-lo novamente em um, por meio da propriedade da divisão.

Dentro da raiz permanece uma fração que pode ser simplificada e o resultado dessa simplificação tem uma solução inteira:

properties of roots

Em todos os momentos você deve procurar a solução raiz completa para aplicar as propriedades raiz da multiplicação e divisão em uma direção ou outra

Você tem que ver se é conveniente ou não aplicar uma propriedade de uma forma ou de outra, sempre procurando a solução completa da raiz.