Resolução de triângulos rectos. Razões trigonométricas. Exercícios resolvidos

A resolução dos triângulos retos consiste em calcular as medidas dos seus três lados e o valor dos seus três ângulos, quando já conhecemos pelo menos dois destes elementos.

Triângulos rectangulares: Que elementos têm eles? Como estão relacionados os elementos de um triângulo direito?

Os triângulos em geral, são formados por 3 lados e 3 ângulos. Além disso, os triângulos retos são assim chamados porque têm um ângulo reto entre suas pernas.

Os lados de um triângulo direito são a hipotenusa e as duas pernas:

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O lado à frente do ângulo direito é a hipotenusa:

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Do outro lado estão os catetos: cateto mayor e cateto menor, que como o próprio nome indica, o cateto mayor é o de maior comprimento e o cateto menor é o de menor comprimento.

Mas há outra forma de nomear catetos, dependendo do ângulo que tomamos como referência: o cateto oposto e contíguo (ou adjacente).

Como identificar as pernas num triângulo direito?

Vou explicar como diferenciar entre a perna oposta e a perna contígua de acordo com o ângulo de referência.

Como sabes qual é a perna oposta?

É chamada de perna oposta ao lado diante do ângulo de referência.

Como sabe qual cateto é contíguo ou adjacente?

É chamado o catecus contíguo do lado que está tocando esse ângulo.

Por exemplo, neste triângulo:

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Se tomarmos o ângulo B como referência:

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b é o lado da frente de B e c é o ângulo de toque lateral B.

Mas se tomarmos o ângulo C como referência:

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Assim, b é o cateto contíguo e c é o cateto oposto.

Portanto, para saber quais de todas as razões trigonométricas no triângulo certo você tem que usar para resolver um problema, a primeira coisa que você tem que fazer é identificar suas pernas em relação ao ângulo em que você está calculando.

Os lados e ângulos do triângulo direito têm uma série de relações entre eles, o que nos ajudará a calcular as medidas dos elementos que não conhecemos.

  • Os três lados estão relacionados pelo teorema de Pitágoras:

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  • Os três ângulos somam 180º:

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  • Os lados e ângulos estão relacionados por razões trigonométricas, que explico em detalhe na secção seguinte.

Relações trigonométricas de um triângulo direito

Os ângulos e lados de um triângulo reto estão relacionados por expressões denominadas razões trigonométricas.

Vamos vê-las uma a uma, tomando o ângulo B como ângulo de referência.

Seno do ângulo B

Relaciona o ângulo B com a perna oposta e a hipotenusa. Ou seja, é a razão entre a perna oposta e a hipotenusa. É expressa como sen B:

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Coseno do ângulo B

Relaciona o ângulo B ao catecúmeno contíguo e à hipotenusa. É a razão entre o catecúmeno contíguo e a hipotenusa. Expressado como cos B:

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Tangente do ângulo B

É a razão entre o oposto e a perna adjacente. Também entre o peito e o cosseno. Expressado como tg B:

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Cosencante do ângulo B

É a razão inversa para o peito. Expresso como cosec B:

Right triangle exercises resolved

Não se deve confundir com a função inversa do seno, que é o arco seno.

Secante do ângulo B

É a razão inversa para o cosseno. Expresso como sec B:

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Não deve ser confundido com a função inversa do cosseno, que é o arco cosseno.

Cotangente do ângulo B

É a razão inversa da tangente e é expressa como cotg B:

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Não se deve confundir com a função inversa da tangente que é o arco tangente.

Como você pode ver, todas as relações trigonométricas relacionam um ângulo a dois lados, ou seja, três variáveis. Portanto, ao escolher qual razão usar, deve ser a que conhecemos pelo menos duas das três variáveis.

Temos de jogar com estas fórmulas de acordo com os dados que nos são fornecidos pela declaração do problema.

Há dois casos possíveis que podemos encontrar nos problemas ou exercícios de resolução de triângulos direitos que são:

  • Que conhecemos dois lados e nos pedimos algum ângulo ou o outro lado
  • Que conhecemos um lado e um ângulo e somos convidados a calcular qualquer outro lado ou ângulo

Se nos forem dados dois ângulos, não poderemos calcular os lados desse triângulo direito. Precisamos de mais informações.

Precisamos sempre de pelo menos dois dados para calcular um terceiro.

Resolução de triângulos direitos quando dois lados são conhecidos

Vejamos, tudo o que te expliquei com um exemplo. Temos um triângulo do qual conhecemos dois dos lados:

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Pedem-nos para calcular o lado B e o ângulo B:

Para calcular o lado b, fazemos isso usando a fórmula de Pitágoras, já que nessa fórmula os 3 lados estão relacionados e apenas 1 lado permanece por conhecer.

Da fórmula de Pitágoras limpamos a perna maior, que corresponde ao lado b:

triângulos retângulos resolvidos

E agora substituímos valores e calculamos:

  • C = b (este é o lado que estamos calculando)
  • c = 3 m
  • H = 5 m

triângulos rectângulos exercícios

Ficamos com uma equação, da qual temos um b incógnito.

Para calcular o ângulo B, podemos fazê-lo de muitas maneiras. Um deles está usando a razão trigonométrica senoidal, por exemplo, uma vez que sabemos o valor da hipotenusa e da perna oposta.

Poderíamos usar qualquer razão trigonométrica porque conhecemos todos os seus lados:

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Substituímos os valores e a determinação:

trigonometric problems right triangles

Uma vez conhecido o valor senoidal de B, com a calculadora temos calculado seu inverso e obtemos o ângulo. Preste atenção que a calculadora está em graus e não em radianos.

Resolução de triângulos rectos quando um lado e um ângulo são conhecidos

Vejamos outro exemplo com este triângulo, do qual conhecemos um ângulo e um lado.

solved triangle exercises

Estão a pedir-nos para calcular o lado C:

A priori, a fórmula de Pitágoras não pode ser usada porque só tenho os dados de um lado. Portanto, resta usar razões trigonométricas.

Nós conhecemos a hipotenusa e eles estão nos perguntando pelo lado adjacente. A razão que relaciona estes dois lados é a do cosseno:trigonometric ratio exercises in right triangles

Substituímos os valores que conhecemos e resolvemos:

  • Angle B = 60º
  • Adjacent Cateto = c
  • Hipotenusa = 6 m

rectangle resolution cases

Neste caso, o 60 c0sene, uma vez resolvido com a calculadora, é tratado como um número.

Agora que nós sabemos c, nós poderíamos usar Pythagoras para calcular o lado que nós deixamos, se eles estavam pedindo por ele.

À medida que conhecemos mais elementos, temos a possibilidade de aplicar mais relações para encontrar a solução que nos pedem.

A resolução de triângulos retos tem muitas aplicações, como calcular a distância de um cabo, calcular a altura de uma torre, calcular a distância de uma árvore de acordo com sua sombra, calcular o ângulo de uma escada apoiada em uma parede ou qualquer outra coisa que possamos pedir a declaração de um problema.

Resolvido exercício de resolução de triângulos direitos

No exercício seguinte, vamos aplicar o que aprendemos para calcular diferentes ângulos e lados de um triângulo, que em princípio não é um retângulo.

Calcular os lados e ângulos do triângulo seguinte, a partir do qual obtemos um dos ângulos, um dos lados e a distância do ponto A ao ponto D:

solution of right triangles examples

A primeira coisa que tem de fazer é procurar triângulos rectos neste triângulo para o resolver e calcular os elementos em falta.

Para isso, traçamos uma linha vertical que une o vértice B com o ponto D, que é a altura do triângulo e o divide em dois triângulos direitos:

trigonometric problems solved right triangles

Começámos por manter o triângulo à esquerda:

right triangle problems

Neste triângulo, o lado c e o lado h (eu os chamei de c e h para chamá-los de alguma forma para distingui-los) ainda não foram calculados.

Sabemos o ângulo e o lado ao lado do ângulo, mas não sabemos o lado oposto.

A razão que relaciona estas três variáveis é a tangente:

resolution of right triangles examples

Onde limpámos o C:

solution of triangles rectangles exercises

Calculamos a tangente de 45º com a calculadora e finalmente operamos:

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O lado C mede 4 cm.

Agora vamos calcular o lado h, usando a razão senoidal, pois conhecemos o ângulo, a perna oposta e não conhecemos a hipotenusa:

trigonometric exercises right triângulos resolvidos

Esclarecemos tudo:

solved right triangle exercises

Calculamos o 45º seno com a calculadora e operamos:

right triangle resolution problems

O lado h é de 5,65 cm.

Outra forma de calcular h teria sido pelo teorema de Pitágoras.

Finalmente vamos calcular o ângulo em falta. Como sabemos que os lados de um triângulo devem somar 180º, subtraímos os dois ângulos que já conhecemos de 180º:

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O ângulo que falta é de 45 graus.

Colocamos todos os dados calculados no triângulo direito:

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Fazemos o mesmo com o triângulo direito à direita, onde colocamos o valor de um dos lados que calculamos graças ao outro triângulo direito:

examples of trangle resolution

Deste triângulo estaria faltando para calcular o lado C e os dois ângulos que não estão corretos.

Começamos por calcular o ângulo alfa. Vou fazê-lo através da razão da mama, que relaciona a perna oposta à hipotenusa e eu tenho os dois dados:

triângulo retângulo resolvido

Calculo o seio alfa:

Right triangle exercises

E invertendo o seno, calculo o ângulo:

resolution of right triangles by trigonometric ratios

O ângulo alfa é de 19,26 graus.

C-side vou calcular para Pitágoras desta vez:

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O lado C é de 11,31 cm.

O ângulo que falta será calculado sabendo que os três ângulos de um triângulo somam 180º e 180º subtrairão os dois ângulos que já conhecemos:

trigonometric exercises triângulos

Coloquei todos os dados no triângulo.

solved problems solving triangles

Agora tenho todos os dados que preciso para calcular os lados e ângulos do triângulo original.

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Para calcular o ângulo B, somo os dois ângulos que obtive anteriormente:

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E para calcular o lado inferior, adiciono os dados que já tinha de ponto A a ponto D e o que calculei de ponto D a ponto C:

problems with resolved right triangles

Então os lados e ângulos do triângulo original são:

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