Teorema de Tales

Você quer aprender a resolver problemas do Teórico de SUCH? Abaixo explicarei como entender o Teorema de Tales e como aplicá-lo com exercícios resolvidos passo a passo.

Pode vê-lo escrito como teorema de Thales e como teorema de Thales.

Qual é a razão para dois segmentos

Para compreender o teorema de Tales é necessário que compreendam muito bem qual é a razão entre dois segmentos.

Por exemplo, temos estes dois segmentos:

theorem of thales exercises solved

Como você sabe, os segmentos são delimitados por dois extremos e são nomeados pelos extremos que os limitam. O segmento vermelho, que começa na extremidade A e termina na extremidade B, é chamado de segmento AB.

Se dois segmentos tiverem alguma relação entre eles, as mesmas letras são usadas para nomeá-los, mas como eles não podem ser repetidos, o ponto de aspas simples ao lado de cada letra é usado e esse ponto de aspas é lido como “prima”. Portanto, “A” seria “A prima”.

Assim, o segmento azul, que começa em A’ e termina em B’, será denominado segmento A’B’.

box]A razão de dois segmentos é o resultado da divisão do comprimento desses dois segmentos. [/box]

Se o segmento AB mede 5 cm e o segmento A’B mede 10 cm, qual é a razão destes dois segmentos?

Basta dividir o comprimento do segmento AB pelo comprimento do segmento A’B’:

theorem of thales exercises

O rácio destes dois segmentos é de 0,5, o que significa que AB é metade de A “B”.

Podemos também calcular o rácio dividindo o comprimento do segmento A’B’ pelo comprimento do segmento AB:

thales theorem exercises

Neste caso, o rácio é 2, ou seja, o segmento A “B” é o dobro do segmento AB.

Se você perceber, dizer que o segmento AB é metade do segmento A’B’ é o mesmo que dizer que o segmento A’B’ é o dobro do segmento AB.

Portanto, para calcular a razão não é necessário fazer as duas coisas. Calculá-lo por uma das duas formas é suficiente.

Proporcionalidade entre pares de segmentos

Temos agora estes dois segmentos:

teorema de thales

O segmento vermelho, CD, mede 3 cm e o segmento azul, C’D’ mede 6 cm.

Vamos calcular a sua razão:

theorem of such exercises

O rácio dos segmentos CD e C’D é idêntico ao rácio dos segmentos AB e A’B.

Quando dois pares de segmentos têm a mesma proporção, diz-se que são proporcionais.

Por conseguinte, os segmentos AB e A “B” são proporcionais aos segmentos CD e C “D”:

ejercicios teorema de thales

teorema de thales

Dois pares de segmentos são proporcionais quando sua relação é a mesma.

Teorema das Talas

Uma vez que eu expliquei a razão entre dois segmentos e a proporcionalidade entre dois pares de segmentos, vamos ver o teorema de Thales.

Temos duas linhas de blotting (que não são paralelas). Vamos chamar uma a linha r (cor vermelha) e a outra a linha s (cor azul):

Tais exercícios de teorema resolvido

Cortamos estas duas linhas retas com várias linhas retas paralelas (cor verde), como segue:

theorem of such solved examples

Os pontos onde as linhas cortam paralelamente à linha r, chamar-lhes-ei A, B e C e os pontos onde as linhas cortam paralelamente à linha s, chamar-lhes-ei A’, B’ e C’:

Such theorem exercises

As linhas retas verdes dividiram a linha reta em dois segmentos: o segmento AB e o segmento BC. Também temos um terceiro segmento se considerarmos a primeira e última linha paralela, ou seja, o segmento AC.

Eles também dividiram a linha em dois segmentos A’B’ e B’C’ e se considerarmos a primeira e última linhas paralelas, há um terceiro segmento A’C’.

O teorema de Tales diz-nos o seguinte:

box]Quando duas linhas, r e s, são cortadas por várias linhas paralelas, os segmentos que formam a linha r são proporcionais aos segmentos que formam a linha s.[/box].

O que significa isso?

Bem, se você dividir os comprimentos dos segmentos que estão de frente um para o outro, ou seja, o segmento AB entre o segmento A’B’, eles têm a mesma razão como se você dividisse o segmento BC entre o segmento B’C’:

theorem of such solved exercises

Como têm a mesma razão, AB e A “B” são proporcionais à BC e B “C”.

Se considerarmos o segmento formado pela primeira e última linha paralela, ou seja, o segmento AC, ele também é proporcional ao segmento AB:

ejercicios de thales

E, portanto, todos os segmentos da linha r são proporcionais aos segmentos da linha s:

theorem exercises of such resolved

O Teorema de Thales permite calcular o comprimento de um segmento, conhecendo os valores de todos os outros segmentos de duas linhas rectas que estão na posição de Thales.

Estar na posição de Thales significa que as linhas devem ser como diz o teorema de Thales, ou seja, duas linhas secas cortadas por várias linhas paralelas.

Podemos também dividir um segmento em partes iguais, como veremos abaixo:

Como dividir um segmento em partes iguais com o teorema dos Tales

Vamos ver como dividir qualquer segmento em partes iguais aplicando o teorema de Thales.

Exemplo de divisão de um segmento em partes iguais com o teorema de Tales

Podemos usar o teorema de Tales para dividir qualquer segmento em partes iguais, independentemente do comprimento do segmento.

Como usamos o teorema de Tales para dividir qualquer segmento?

Vamos ver passo a passo.

Temos qualquer segmento:

divide um segmento em partes iguais

Podemos desenhar um raio, que tem qualquer direcção, a partir de uma das extremidades do segmento.

division of segments in equal parts

Esse raio estamos colocando qualquer medida, de um comprimento que conhecemos, por exemplo 1 cm, 2 cm ou o que quisermos, ajudando-nos com uma régua. O número de vezes que nós adicionamos a medida conhecida ao raio deve coincidir com o número de partes em que nós queremos dividir o segmento.

Por exemplo, vou dividir o raio em 4 partes de 1 cm cada. Vou acrescentar um após o outro:

divide segmentos em partes iguais

A última divisão, ligámos à extremidade B do segmento:

Como dividir um segmento em 4 partes iguais

Finalmente, traçamos linhas paralelas à linha 4-B, passando pelas divisões da semi-recta 3, 2 e 1 e cortando o segmento AB:

divide um segmento em 3 partes iguais

O segmento AB é, portanto, dividido em 4 partes iguais e cada uma dessas partes é proporcional às partes do raio. É aí que o teorema de Tales se cumpre e que temos usado para o fazer.

Como podem ver, não precisamos de saber o comprimento do segmento AB para o dividir. Portanto, o teorema dos Tales é muito útil para dividir segmentos cujo comprimento não sabemos ou que não podemos dividir diretamente, já que a divisão entre o comprimento total do segmento e o número de partes não é exata.

Podemos dividir o segmento AB no número de partes que queremos, apenas adicionando mais medidas ao raio. Por outro lado, a semi-recta pode partir do ponto A ou do ponto B do segmento indiferentemente e pode ter qualquer direcção, ou seja, pode mesmo ser perpendicular ao segmento.

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Exercícios resolvidos do teorema de Thales

Vamos resolver vários exercícios para torná-lo muito mais claro.

Exercício 1

As linhas a e b no desenho são paralelas. Utilize o teorema de Tales para verificar se a linha c também é paralela.

such theorem exercises

Como mostramos que a linha C é paralela?

Bem, nós temos que mostrar que as linhas estão na posição de Thales e que o teorema de Thales é cumprido, verificando se os segmentos de ambas as linhas têm a mesma razão e que eles são proporcionais entre eles.

Calculamos o rácio dos primeiros segmentos:

theorem of thales exercises solved 2o that

E a razão para os próximos dois segmentos:

theorem of such problems solved

A razão é a mesma, portanto, ambos os pares de segmentos são proporcionais.

Então o teorema de Tales é cumprido e, como consequência, a linha c é paralela.

Exercício 2

Quão grande é o x-segmento neste desenho?

ejercicios thales

Sabemos o que os dois segmentos de medida r, mas resta saber quanto um dos segmentos de medidas s, por isso chamamos esse segmento de x.

Então, de acordo com o teorema de Tales, as seções que são confrontadas têm a mesma razão, então suas divisões devem dar o mesmo e, portanto, podemos igualá-las:

proportional segments

Ficamos com uma equação de primeiro grau, onde temos de limpar o x.

Para resolver esta equação, passamos os denominadores de cada membro, multiplicando o numerador do membro oposto (multiplicação em cruz).

O 5 que está dividindo o 8 no primeiro membro, passa multiplicando o 6 do segundo membro e o x, que está dividindo o 6 no segundo membro, passa multiplicando o 8 no primeiro membro e nós somos como isto:

theorem of thales exercises solved

Já não temos denominadores. Vamos limpar o x.

Agora, o 8 que está multiplicando o x, passa para o segundo membro dividindo:

theorem tales

E finalmente operamos para calcular o valor de x:

such theorem problems

Que se você verificar, os pares de segmentos serão proporcionais.