Razones de cambio. Ejercicios resueltos paso a paso

Los problemas de razones de cambio consisten en calcular cómo variará con respecto al tiempo una determinada magnitud, conocida la variación de otra magnitud relacionada con ella y el valor de esas magnitudes en un determinado instante.

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¿Cuánto aumenta o disminuye en el tiempo una magnitud A si sabemos la variación con respecto al tiempo de otra magnitud B?

Las derivadas y nos permiten calcular la variación de magnitudes con respecto al tiempo.

Una de las dificultades de estos problemas está en encontrar la fórmula que relaciones las magnitudes implicadas.

Por otro lado, hay que tener en cuenta que las magnitudes que cambian ya no son valores fijos, sino que son funciones que dependen del tiempo, ya que para cada instante de tiempo tienen un valor distinto

Vamos a verlo con varios ejemplos.

Problemas de razones de cambio resueltos

Ejercicio 1

En una circunferencia, sabemos que su radio aumenta a razón de 1 cm/s ¿Cuál es la razón de cambio del área de la circunferencia cuando el radio sea igual a 5 cm?

En este problema nos están diciendo que la razón de cambio del radio es de 1 cm/s. La razón de cambio de una magnitud es su derivada con respecto al tiempo, por tanto:

Nos están preguntando la razón de cambio del área de la circunferencia cuando r=5 cm, es decir, la derivada del área con respecto al tiempo:

En otras palabras, nos preguntan cuánto estará creciendo el área cuando el radio sea igual a 5 cm.

Ahora tenemos que encontrar una fórmula que relacione el área con el radio de la circunferencia, que la tenemos en la fórmula del área de una circunferencia:

Como te he comentado antes, tanto el área como el radio no son valores constantes, sino que son funciones que dependen del tiempo.

Para hallar las variaciones de cada magnitud con el tiempo, derivamos en ambos miembros de la ecuación con respecto a al tiempo y nos queda:

En el primer miembro, hemos derivado A con respecto a t, cuya derivada es dA/dt.

En el segundo, para derivar r con respecto a t, utilizamos la regla de la cadena (de fuera hacia adentro): la derivada de r² es 2r y la multiplicamos por la derivada de r que es dr/dt.

Una vez hemos derivado, sustituimos los datos que nos da el enunciado:

r=5 cm

dr/dt=1 cm/s

En esta expresión ya podemos calcular dA/dt.

El radio está en cm y y la razón de cambio del radio está en cm/s. Operamos teniendo en cuenta las unidades:

Y el resultado lo tendremos en cm²/s

 Ejercicio 2

El volumen de un cubo está cambiando a razón de 75 cm³/minuto.

a) Hallar la razón de cambio de su lado cuando mide 5 cm

b) Hallar la razón de cambio del área superficial cuando ésta es de 24 cm²

Apartado a:

Sabemos que el volumen cambia a razón de 75 cm cúbicos por minuto:

Y nos piden la razón de cambio de su lado cuando mide 5 cm:

La fórmula que relaciona el volumen con el lado “a” del cubo es:

Derivamos en ambos miembros de la ecuación:

Y sustituimos dV/dt y a por sus valores:

De donde podemos despejar da/dt:

Y queda:

Apartado b:

Al igual que en el apartado anterior, el volumen cambia a razón de 75 cm cúbicos por minuto:

Y esta vez nos preguntan la razón de cambio del área superficial cuando ésta es de 24 cm²:

La fórmula que relaciona el área del cubo con el lado “a” del cubo es:

Derivando con respecto al tiempo a ambos lados de la ecuación, nos queda:

En esta ocasión no tenemos datos directamente ni de a ni de da/dt.

Sabemos que en el instante que queremos calcular da/dt, el área es igual a 24, por tanto, en la ecuación anterior, sustituyendo A por 24, podemos obtener el valor de a:

Aún nos queda obtener el valor de da/dt, como tenemos el valor de a, lo vamos a calcular igual que en el apartado anterior, a partir de la fórmula del volomen:

Derivamos con respecto al tiempo en ambos miembros de la igualdad:

Y sustituimos dV/dt y a por sus valores:

Despejamos da/dt:

Y calculamos su valor:

Ahora ya tenemos todos los datos para calcular dA/dt, por lo que podemos sustituirlos en la ecuación donde derivamos el área y el lado del cubo:

Al sustituir nos queda:

Por lo que dA/dt será:

Ejercicio 3

Un obrero sostiene una cuerda de 36 m de longitud y al otro extremo hay un peso. La cuerda pasa por una polea situada a 20 metros de altura. Si éste se aleja de la polea a razón de 5 m/s, ¿a qué velocidad se eleva el peso cuando está a 10 metros por encima de la posición original?

Al inicio, el esquema del problema sería el siguiente:

El obrero se aleja de la polea a razón de 5 m/s, cuando z=10 m por tanto:

Por un lado, el enunciado nos dice que la longitud de la cuerda es de 36 m. La cuerda corresponde a los lados z e y del triángulo, por tanto:

Por otro lado, por Pitágoras, relacionanos los tres lados:

Como queremos relacionar la magnitud z (que es la distancia que se desplaza el peso) con la magnitud x, que es la distancia que se desplaza el obrero, de la primera ecuación, podemos despejar la y en función de z:

Y sustituir esta expresión de y en la expresión de Pitágoras:

Ahora derivamos a ambos lados del igual con respecto al tiempo:

Tenemos todos los datos, menos el valor de x.

De la expresión obtenida a partir de Pitágoras, sustituimos la z por 10 y nos quedará una expresión que sólo depende de x, de donde podemos obtener su valor:

Y ahora sí ya tenemos todos los valores para poder despejar dz/dt:

La despejamos:

Y finalmente lo calculamos:

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