Cómo dibujar rectas y circunferencias tangentes. Ejercicios resueltos

A continuación vamos a aprender cómo dibujar rectas y circunferencias tangentes entre sí. Veremos qué condiciones se deben cumplir para que una recta y una circunferencia sean tangentes y cómo aplicarlo para resolver ejercicios.

¡Empezamos!

Tangencia entre recta y circunferencia

Para poder dibujar rectas y circunferencias tangentes, lo primero que tenemos que saber es cuándo son tangentes una recta y una circunferencia.

¿Cuándo son tangentes una recta y una circunferencia?

Una recta y una circunferencia son tangentes cuando se tocan en un punto, llamado punto de tangencia (punto T):

Cuando una circunferencia es tangente a una recta, el radio  de la circunferencia (que pasa por el punto de tangencia) es perpendicular a la recta tangente:

Vemos en la figura anterior como el radio r de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente t.

Basándonos en esta premisa, podemos dibujar circunferencias y rectas tangentes entre sí.

¿Cómo se hace una recta tangente a una circunferencia en un punto de ella?

Vamos a empezar por el caso más simple, en el cuál, tenemos una circunferencia y nos piden dibujar una recta tangente a la circunferencia por un punto de ella.

Tenemos la siguiente circunferencia y un punto que pertenece a ella:

Vamos a dibujar la recta tangente a la circunferencia en el punto P.

En primer lugar, dibujamos el radio de la circunferencia, uniendo el centro de la circunferencia, con el punto P:

Tal y como hemos visto antes, sabemos que una circunferencia y una recta son tangentes cuando el radio de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente, por lo que ahora, trazamos una recta que sea perpendicular al radio, y tendremos la recta tangente:

Cómo dibujar una circunferencia tangente a una recta

Vamos a ver ahora cómo dibujar una circunferencia que sea tangente a una recta dada, en un punto de la misma, conociendo el radio de la circunferencia.

Por ejemplo, tenemos la recta r y un punto P que pertenece a ella y nos piden dibujar una circunferencia de radio igual a 15 mm y que sea tangente a la recta en el punto P:

En primer lugar, por el punto P, trazamos una recta perpendicular a la recta r:

En la recta que acabos de dibujar, se encuentra el radio de nuestra circunferencia, que para que sea tangente a la recta, debe ser perpendicular a la recta dada.

Como el radio dado es igual a 15 mm, medimos esta distancia en la recta perpendicular desde el punto P, dando lugar al punto A:

El punto A, es por tanto el centro de la circunferencia de radio 15 mm, tangente a la recta en el punto P:

Sin embargo, el ejercicio no acaba aquí, ya que al otro lado de la recta perpendicular, también tenemos otro punto que dista 15 mm con el punto P, que es el punto B:

El punto B, es el centro de la otra circunferencia de radio 15 mm, que es tangente a la recta en el punto P, teniendo este ejercicio dos soluciones:

Circunferencias de radio dado tangentes a una misma recta

Ya sabemos cómo dibujar una circunferencia tangente a una recta por un punto.

Existen infinitas circunferencias de mismo radio que son tangentes a una misma recta en los infinitos puntos de la recta.

Por ejemplo, tenemos la siguiente recta:

En un punto cualquiera de la recta, podemos dibujar una circunferencia de radio igual a 10 mm (por ejemplo), que sea tangente a la recta. Para ello, dibujamos una recta perpendicular a la recta t, cuya longitud sea igual a 10 mm, obteniendo el punto O1:

Este punto O1, es el centro de la circunferencia de radio 10 mm, tangente a la recta en ese punto:

Siguiendo el mismo procedimiento, podemos dibujar tantas circunferencia de radio igual a 10 mm, que sean tangentes a la recta en diferentes puntos de la misma. Por ejemplo, dibujamos dos circunferencias tangentes más, en otros dos puntos distintos de la recta:

Además, también podemos dibujar circunferencias tangentes al otro lado de la recta, en tantos puntos como queramos:

Por tanto, podemos llegar a la conclusión de que cualquier punto que esté a una distancia a la recta igual al radio de la circunferencia, será el centro de una circunferencia tangente a la recta. En nuestro caso, cualquier punto que se encuentre a 10 mm de la recta, es centro de una circunferencia de radio 10 mm, tangente a la recta (te recuerdo que las distancias se miden perpendicularmente a la recta).

Si trazamos dos rectas paralelas a la recta dada, a una distancia de 10 mm, cualquier punto que pertenezca a una de las rectas paralelas (t1 y t2), se encontrará a una distancia de 10 mm de la recta dada y por tanto, será un centro de la circunferencia tangente a la recta de radio 10 mm:

Y en general, el lugar geométrico de los centros de la circunferencia de radio dado, tangentes a una recta, son las rectas paralelas a esa recta, trazadas a una distancia igual al radio de circunferencia:

Ejercicio resuelto

Vamos a resolver un ejercicio donde se aplica el concepto que te acabo de enseñar.

Hallar las circunferencias de radio igual a 10 mm, que sean tangentes a dos rectas que se cortan, como las que se muestran a continuación:

Como el radio de las circunferencias que nos piden es 10 mm, empezamos trazando dos rectas paralelas a la recta s (rectas s1 y s2), a una distancia de 10 mm:

Como acabamos de ver, cualquier punto que pertenezca a las rectas s1 o s2, será un centro de una circunferencia de radio igual a 10 mm, tangente a la recta s, pero no será tangente a la recta t.

Así que, lo siguiente es trazar dos rectas paralelas a la recta t (rectas t1 y t2), también a una distancia de 10 mm:

Igual que para la recta s, cualquier punto que pertenezca a las rectas t1 o t2, será un centro de una circunferencia de radio igual a 10 mm, tangente a la recta t, pero esta vez, no será tangente a la recta s.

Así que, tenemos que buscar los puntos donde se cumpla que la circunferencia de radio 10 mm, sea tangente a la recta s y a la recta t.

¿Y cuál son los puntos donde se cumplen ambas condiciones?

Pues son los puntos donde se cortan las rectas paralelas s1 y s2 con las rectas paralelas t1 y t2, marcados en el dibujo como los puntos O1, O2, O3 y O4:

Los puntos O1, O2, O3 y O4 son los centros de las circunferencias de radio 10 mm, que son tangentes a la recta s y a la recta t al mismo tiempo:

Circunferencia tangente a una recta que pasa por un punto

Vamos a ver cómo dibujar una circunferencia tangente a una recta, de radio dado y que pase por un punto exterior a la recta, con el siguiente ejercicio:

Trazar una circunferencia de radio igual a 15 mm, que sea tangente a la recta r y que pase por un punto P exterior a la recta:

En primer lugar, dibujamos una recta paralela a la recta dada, a una distancia de 15 mm, que es el radio de la circunferencia tangente dado. Como sabemos, cualquier punto que pertenezca a esta recta paralela será el centro de una circunferencia de radio igual a 15 mm, tangente a la recta t:

Además de que la circunferencia sea tangente a la recta t, necesitamos que también pase por el punto P.

Para ello, necesitamos entender el concepto de circunferencia como el lugar geométrico cuyos puntos tienen la misma distancia R, a un punto fijo, O, donde O es el centro de la circunferencia y R es el radio:

Es decir, que cualquier punto que pertenezca a la circunferencia está a la misma distancia del centro O, concretamente a una distancia R y por tanto, cualquier punto de la circunferencia es el centro de la circunferencia de radio R, que pasa por el punto O:

Por tanto, trazamos una circunferencia de radio 15 mm y con centro en P. Cualquier punto que pertenezca a esta circunferencia, dista 15 mm del punto P, lo que quiere decir, que si dibujo una circunferencia de radio 15 mm en un punto cualquiera que pertenezca a la circunferencia que acabamos de dibujar, pasará por el punto P. Los puntos de corte de la circunferencia con la recta paralela t1, O1 y O2, cumplirán las dos condiciones que estamos buscando: ser centro de la circunferencia tangente a la recta t, de radio 15 mm y estar a una distancia de 15 mm del punto P:

Así que, con centro en O1 y O2, trazamos dos circunferencias de radio 15 mm, que son tangentes a la recta t y pasan por el punto P: