▷ Sistema de generadores y base vectorial. Ejemplos y ejercicios resueltos

Sistema de generadores y base vectorial. Ejemplos y ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar qué es un sistema generador de vectores y una base vectorial. Veremos también un concepto fundamental como son los vectores linealmente independientes. Todo ello con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

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Vectores linealmente independientes

Decimos que n vectores son linealmente independientes si cuando al multiplicarlos por un coeficiente, su suma es igual a cero:

Por tanto, cuando los vectores son linealmente independientes, para que se cumpla la condición anterior, todos los coeficientes deben ser iguales a cero:

Si alguno de esos coeficientes es distinto de cero, los vectores serán linealmente dependientes:

Si los vectores son linealmente dependientes significa que algún vector se puede expresar como combinación lineal de otros vectores que forman el sistema.

Ejemplo de vectores linealmente independientes

Vamos a comprobar si los siguientes vectores son linealmente independientes o no:

En primer lugar, aplicamos la condición de multiplicar cada vector por un coeficiente, sumarlos e igualar la suma a cero:

Sustituimos cada vector por sus coordenadas, así como el 0, que lo ponemos también en forma de vector:

Ahora multiplicamos cada coeficiente por las coordenadas del vector:

En el primer miembro, sumamos cada una de las coordenadas y las expresamos en un solo vector:

Finalmente igualamos cada coordenada del primer miembro, con la misma coordenada del segundo miembro, que en este caso es igual a cero:

Nos queda un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que debemos resolver, cuyas incógnitas son los coeficientes que multiplican a los vectores.

Para que los vectores sean linealmente independientes, el sistema debe tener una única solución, es decir, debe ser un sistema compatible determinado, con los coeficientes igual a cero como solución.

En este caso, la matriz de los coeficientes queda:

Cuyo determinante es igual a cero:

Al ser el determinante igual a cero, el rango es menor que 3. En este caso, tanto el rango de la matriz de los coeficientes como el rango de la matriz ampliada es igual a 2, lo que significa que el sistema es compatible indeterminado:

Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones, luego no tiene una única solución como estamos buscando, lo que significa que los vectores son linealmente dependientes.

Sistema de generadores

Diremos que un conjunto de vectores es un sistema generador del espacio vectorial V, si se puede expresar cualquier vector como la suma del producto de un coeficiente por cada uno de los vectores que forman el sistema de generadores, es decir:

Los coeficientes α1, α2, α3, …, αn son las coordenadas del vector V respecto del sistema de generadores

Ejemplo de sistema de generadores

Tenemos el siguiente conjunto de vectores, los cuales forman un sistema de generadores:

Por tanto, podemos expresar cualquier vector como combinación lineal de esos vectores. Vamos a obtener las coordenadas de un vector genérico respecto del sistema generadores, cuyas coordenadas iniciales son x, y y z:

Tenemos que expresar este vector como combinación lineal de los vectores del sistema de generadores:

En primer lugar sustituimos cada vector por sus coordenadas:

Multiplicamos los vectores del segundo miembro por sus coeficientes:

Sumamos cada una de las coordenadas y las expresamos en un solo vector:

Igualamos cada coordenada del primer miembro con la misma coordenada del segundo miembro, quedándonos el siguiente sistema de ecuaciones, que debemos resolver y hallar el valor de los coeficientes α1, α2 y α3 en función de x, y y z:

La matriz de los coeficientes es:

Cuyo determinante es igual a 2:

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, luego su rango es igual a 3, igual al rango de la matriz ampliada, por lo que el sistema es compatible determinado:

Al ser el sistema compatible determinado, el sistema tiene solución y pasamos a resolverlo mediante la regla de Cramer y nos queda:

Por tanto, para expresar cualquier vector respecto de este sistema de generadores, tan solo tenemos que sustituir x, y y z por las coordenadas del vector en estas expresiones, que es lo mismo que repetir todo el proceso con unas coordenadas concretas del vector v.

Base vectorial

Una base vectorial es un sistema de generadores cuyos vectores son linealmente independientes. Por tanto, cualquier vector se puede expresar respecto a una base como combinación lineal de sus vectores:

Los coeficientes α1, α2, α3, …, αn son las coordenadas del vector V respecto de la base.

Ejemplo de base vectorial

Vamos a comprobar si el conjunto de vectores del sistema de generadores anterior forman una base:

Para ello, debemos comprobar si esos vectores son linealmente independientes, que lo hacemos igualando a cero la suma de las coordenadas α1, α2 y α3 por cada uno de los vectores:

De donde obtendremos el siguiente sistema de ecuaciones:

Que podemos resolverlo tal y como hemos hecho anteriormente. Yo directamente voy a sustituir x, y y z por cero en las expresiones anteriores para α1, α2 y α3 y nos queda:

Todas las coordenadas son iguales a cero, por lo que los vectores son linealmente independientes y por tanto el sistema de generadores es una base:

Cómo calcular las coordenadas de un vector respecto de una base

Vamos a calcular las coordenadas del vector U=(1,2,3) respecto de la siguiente base:

Vamos a expresar las coordenadas del vector u como combinación lineal de los vectores de la base:

En este caso, lo que nos están preguntando son las coordenadas α1, α2 y α3:

Empezamos sustituyendo las coordenadas de cada vector en la expresión:

Multiplicamos cada vector por su coeficiente:

Sumamos cada una de las coordenadas y las expresamos en un solo vector:

Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

Para hallar la solución de las coordenadas, debemos resolver el sistema, comprobando previamente que se trata de un sistema compatible determinado.

Como ya lo tenemos resuelto de antes, con el vector (x,y,z), tan sólo tenemos que sustituir x, y y z por las coordenadas de nuestro vector:

Por lo que esas son las coordenadas del vector u con respecto de la base:

Base canónica

La bases canónica está formada por vectores unitarios con distinta dirección. Cada uno de los vectores tiene la dirección de uno de los ejes cartesianos.

En R² está formada por los siguientes vectores, uno en dirección del eje x y otro en dirección del eje y:

Cualquier vector perteneciente a R² puede expresarse como composición lineal de los vectores de la base canónica:

En R³, la base canónica está formada por los siguientes vectores, uno en dirección del eje x y otro en dirección del eje y:

Cualquier vector perteneciente a R³ puede expresarse como composición lineal de los vectores de la base canónica:

Ejercicios resueltos sobre base de un espacio vectorial

Comprueba que los siguientes vectores son una base:

Calcula las coordenadas de los siguientes vectores respecto de la base anterior:

En primer lugar, vamos a expresar un vector genérico de coordenadas (x,y,z) con respecto de la base:

Este vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base:

Sustituimos cada vector por sus coordenadas:

Multiplicamos los vectores por los coeficientes:

Y sumamos cada una de las coordenadas expresándolas en un solo vector:

De esta expresión obtengo un sistema de ecuaciones, de donde hay que resolver los coeficientes α1, α2 y α3 en función de x, y y z:

La matriz de los coeficientes es:

Cuyo determinante es igual a -11:

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, luego su rango es igual a 3, igual al rango de la matriz ampliada, por lo que el sistema es compatible determinado:

Lo resolvemos por la regla de Cramer y queda:

Ya tenemos expresado un vector cualquiera con respecto a la base dada. Ahora, para determinar las coordenadas de cualquier vector, tan sólo tenemos que sustituir x, y y z por las coordenadas del vector en cuestión.

Vamos a comprobar si realmente se trata de una base. Para ello, los vectores deben ser linealmente independientes, por lo que la combinación lineal de los vectores debe ser igual a cero:

Sustituimos los vectores por sus coordenadas:

De donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Es el mismo sistema que teníamos antes, solo que igualado a cero. Por tanto, para resolverlo, sustituyo x, y y z por 0 y opero:

La solución de los 3 coeficientes es igual a cero, luego los vectores son linealmente independientes:

Al ser los vectores linealmente independientes, efectivamente, el sistema de generadores se trata de una base.

Vamos a expresar el vector x con respecto a la base:

Se tiene que cumplir:

Sustituimos los vectores por sus coordenadas:

Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

Para resolverlo, sustituyo x, y y z por 1 y opero:

Las coordenadas del vector x con respecto de la base son:

Por último hacemos lo mismo con el vector y:

La combinación lineal de los vectores de la base debe ser igual a este vector:

Sustituimos los vectores por sus coordenadas:

Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

Para resolverlo, sustituyo x, y y z por 1, 2 y 3 respectivamente y opero:

Las coordenadas del vector y con respecto de la base son:

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