▷ Variaciones ordinarias y variaciones con repetición. Ejercicios resueltos

Variaciones ordinarias y variaciones con repetición. Ejemplos y ejercicios resueltos

A continuación vamos a ver qué son las variaciones ordinarias, qué son las variaciones con repetición, así como también veremos cómo calcular cada una de ellas, con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

QUIERO APRENDER MATEMÁTICAS

Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.

Variaciones ordinarias

Las variaciones ordinarias de n elementos de orden r, son los diferentes grupos que se pueden formar con n elementos tomados de r en r.

En las variaciones ordinarias:

  • NO intervienen todos los elementos
  • SÍ IMPORTA el orden de los elementos
  • NO se pueden repetir los elementos

La fórmula para calcular las variaciones ordinarias es:

Por ejemplo, tenemos los siguientes dígitos:

¿Cuántos números distintos de una cifra se pueden formar con estos 4 dígitos?

Las variaciones de una cifra distintos corresponden a variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 1 en 1, que son los siguientes:

Tenemos 4 variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 1 en 1

Si aplicamos la fórmula para calcular el número de variaciones tenemos:

Y operando nos queda:

¿Cuántos números distintos de dos cifras se pueden formar con estos 4 dígitos?

Si cada dígito lo combinamos con el resto de dígitos para formas números de dos cifras, obtenemos todas las variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 2 en 2, es decir, el 1 con el 2, el 1 con el 3, el 1 con el 4 y lo mismo con el resto de dígitos. En total tendremos 12 números distintos de 2 cifras:

Importa el orden de los dígitos ya que no es el mismo número 23 que 32 por ejemplo.

Podemos calcular el número de variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 2 en 2 aplicando la fórmula:

Y operando:

¿Cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar con estos 4 dígitos?

Si cada número de 2 cifras lo vamos combinando con el resto de dígitos que aún no se ha repetido, vamos números de tres cifras distintos, que son las variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 3 en 3, que tendremos 24 números de 3 cifras (no las pongo todas):

Para calcular el número de variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 3 en 3 aplicamos la fórmula:

Y operamos:

¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con estos 4 dígitos?

Este ya no sería un caso de variación ordinaria, sino de una permutación, ya que se utilizan todos los elementos y en las variaciones ordinarias no se utilizan todos los elementos.

Así que, en todos los casos donde se formen grupos, donde no se utilicen todos los elementos, que importe el orden y que los elementos no se repitan, se trata de variaciones ordinarias.

Variaciones con repetición

Las variaciones con repetición son variaciones en las que sí se pueden repetir los elementos, es decir, son los diferentes grupos que se pueden formar con n elementos tomados de r en r.

En las variaciones con repetición:

  • NO intervienen todos los elementos
  • SÍ IMPORTA el orden de los elementos
  • SÍ se pueden repetir los elementos

La fórmula para calcular las variaciones con repetición es:

Por ejemplo, con los dígitos del ejemplo anterior:

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar si se pueden repetir dígitos?

Los números de dos cifras se corresponden con variaciones con repetición de 4 elementos tomados de 2 en 2. Tendremos 16 variaciones con repetición:

Ya que esta vez, podemos formar números repitiendo dígitos, cosa que con las variaciones ordinarias no podíamos. Los 16 números que resultan son:

Esquema para identificar las variaciones

Como norma general, para saber si se trata de variaciones, permutaciones o combinaciones, te debes hacer las siguientes preguntas:

  • ¿Importa el orden?
  • ¿Intervienen todos los elementos?
  • ¿Se repiten todos los elementos?

En función de la respuesta estaremos en un caso u en otro. Te dejo aquí el esquema para llegar  a las variaciones:

Tienes es esquema completo junto con la explicación de permutaciones y combinaciones en el Curso de Combinatoria.

Ejercicios resueltos sobre variaciones y variaciones con repetición

Vamos a resolver ahora algunos ejercicios sobre variaciones y variaciones con repetición para que te quede todo mucho más claro.

Ejercicio 1

¿De cuántas formas se pueden sentar 3 niñas en un banco de 2 asientos?

Estamos ante una variación ordinaria de 3 elementos tomados de 2 en 2, ya que importa el orden, los elementos no se puede repetir y no se utilizan todos los elementos.

Aplicamos su fórmula correspondiente:

Y operamos:

Se pueden sentar de 6 formas distintas.

Ejercicio 2

¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?

El enunciado no dice nada de que los dígitos no se puedan repetir, por lo que estamos ante variaciones con repetición de 9 elementos tomados de 4 en 4, ya que los elementos se pueden repetir, el orden importa y no se utilizan todos los elementos.

Al aplicar su fórmula y operar nos queda:

¿Necesitas ayuda en matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?

Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.

He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.

Con mi método:

  • Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
  • Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión

Suena bien ¿no?

¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?

Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más:

ENSÉÑAME MATEMÁTICAS

Uso de cookies

Usamos cookies propias y de terceros (Google) para que usted tenga la mejor experiencia de usuario, por lo que los terceros reciben información sobre tu uso de este sitio web.

Si continúas navegando, consideramos que aceptas el uso de las cookies. Puedes obtener más info o saber cómo cambiar la configuración en nuestra Política de Cookies.

ACEPTAR
Aviso de cookies