▷ Vectores: Qué son y cómo calcular sus componentes y su módulo

Vectores: Qué son y cómo calcular sus componentes y su módulo

A continuación te voy a explicar qué son los vectores y conceptos relacionados con los vectores que necesitarás para calcular y operar con ellos, como las componentes de un vector, el módulo de un vector, su dirección y sentido.

También veremos los tipos de vectores que existen y con qué tipo de vectores conviene operar en matemáticas.

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¿Qué son los vectores?

Los vectores son segmentos orientados, que se inician en punto que corresponde al origen del vector y terminan en otro punto, que es el extremo del vector:

componentes de un vector

Se definen mediante dos componentes: la componente x y la componente y, también llamadas coordenadas del vector. Son magnitudes de dos dimensiones.

Para expresarlos analíticamente, comúnmente se expresan mediante una letra minúscula con una flecha encima, con sus dos componentes entre paréntesis (igual que unas coordenadas):

vectores matematicas

Se suelen utilizar las letras u, v, w y z, aunque no es obligatorio y se puede utilizar cualquier letra.

Éstos son algunos ejemplos de vectores:

como se calculan los componentes de un vector

vectores matematica

modulo de un vector

También se puede expresar mediante dos letras mayúsculas con una flecha encima, en las que la primera letra es el punto de origen y la segunda letra el es punto donde se sitúa el extremo:

calcular vectores

Así, el vector AB, tendrá su origen en el punto A y su extremo en el punto B:

componentes de vectores

Además de las componentes del vector, otras características que definen a los vectores son el módulo, la dirección y el sentido.

Vamos a ir viendo cada uno de ellos.

Componentes de un vector

¿Qué son las componentes de un vector?

Pues son los elementos que definen a un vector, ya que sabiendo sus coordenadas, lo sabemos todo sobre él: módulo (que habrá que calcularlo), dirección y sentido.

Hablar de componentes del vector y de coordenadas del vector es lo mismo.

¿Cómo calcular las componentes de un vector?

Para calcular las componentes de un vector, necesitamos conocer previamente las coordenadas de su origen y de las coordenadas de su extremo, ya que se calcularan a partir de éstas.

Si las coordenadas del punto de origen de un vector son:

calcular componentes de un vector

Y las coordenadas del punto de extremo de un vector son:

como calcular los componentes de un vector matematica

Calculamos las coordenadas del vector, restando las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen:

como calcular vectores

Para calcular la componente x del vector, realizamos la resta de la coordenada x del extremo, menos la coordenada x del origen. De la misma forma, para calcular la componente “y” del vector, realizamos la resta de la coordenada “y” del extremo menos la coordenada “y” del origen.

Acuérdate, siempre extremo menos origen y cada componente se resta con la suya: las x con las x y las “y” con las “0”y.

Vamos a ver un ejemplo:

Tenemos el punto de origen:

que es un vector en matematica

Y el punto correspondiente al extremo del vector:

calculo de vectores

Las coordenadas del vector AB, corresponderán por un lado, la coordenadas x del extremo menos la coordenada x del origen y por otro lado la coordenada “y” del extremo, menos la coordenada “y” del origen:

componente de un vector

Ahora operamos dentro de cada componente y nos queda:

como hallar las componentes de un vector

Módulo de un vector

¿Qué es el módulo de un vector?

El módulo de un vector es la distancia desde el origen hasta el extremo, por lo que corresponde a la longitud del vector.

Se representa encerrado a la letra del vector (o las letras) entre dos barras:

como calcular las componentes de un vector

El módulo de un vector, al ser una longitud, es siempre positivo.

¿Cómo se calcula el módulo?

El módulo de un vector se calcular a partir de las coordenadas del vector mediante esta fórmula:

componentes de los vectores

El módulo de un vector es la raíz cuadrada de la coordenada x al cuadrado más la coordenada “y” al cuadrado.

¿Te suena de algo esa fórmula?

Es la misma que para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ya que para obtenerla, se aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo que se forma entre el vector y sus componentes, donde el vector sería la hipotenusa:

No es necesario que te aprendas de dónde se obtiene la fórmula, aunque sí es importante que lo sepas.

Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular el módulo de un vector. Tenemos el siguiente vector:

calcular las componentes de un vector

¿Cuál es su módulo?

Aplicamos la fórmula y nos queda:

vectores componentes

Ahora operamos y resolvemos, obteniendo el valor del módulo:

como calcular los componentes de un vector

Lo dejamos en forma de raíz, ya que la raíz de 13 no es exacta.

Cómo calcular el módulo de un vector con las coordenadas de su origen y de su extremo

Como hemos visto antes, las componentes de un vector se calculan a partir de las coordenadas de los puntos de su origen y de su extremo.

como calcular un vector

Por tanto, podemos calcular el módulo de un vector directamente si conocemos las coordenadas de los puntos de su origen y de su extremo, sólo con sustituir en la fórmula anterior de cálculo del módulo, las componentes x e “y” por la resta de las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen:

que son vectores

Vamos a verlo con un ejemplo.

Tenemos un vector cuyo origen está en el punto A y su extremo está en el punto B:

que son los componentes de un vector

como hallar los componentes de un vector

Vamos a calcular el módulo del vector AB, que será la raíz del cuadrado de la resta de las coordenadas x, menos el cuadrado de la resta de las coordenadas “y”, restando siempre extremo menos origen:

hallar componentes de un vector

Ten mucho cuidado con las coordenadas negativas. Eliminamos el paréntesis del -4 en el segundo término del interior de la raíz:

como calcular el modulo de un vector

Ahora operamos dentro de cada paréntesis:

calcular los componentes de un vector

Elevamos al cuadrado y resolvemos:

vector y sus componentes

También es posible hacer la operación a la inversa, es decir, conociendo el módulo del vector, calcular sus componentes. Eso lo tienes explicado con todo detalle en el Curso de Geometría Analítica en el Plano.

Dirección y sentido de un vector

Como hemos dicho antes, un vector, es un segmento orientado, entonces, la dirección de un vector, es la recta a la que pertenece ese vector.

componentes del vector

Todos los vectores paralelos, tienen la misma dirección.

El sentido de un vector es hacia donde va ese vector, hacia dónde apunta la flecha.

El sentido del vector AB irá desde el punto A hasta el punto B, mientras que el sentido del vector BA irá desde el punto B hasta el punto A:

que son las componentes de un vector

Ambos vectores tienen la misma dirección, pero sentidos contrarios

Para que te quede más claro, vamos a comparar el vector con una carretera recta. La carretera en sí, sería la dirección del vector y dentro de la carretera, se puede ir en ambos sentidos, que corresponderían con los sentidos del vector.

Tipos de vectores

Los vectores pueden ser fijos, cuando su punto su origen y su extremo no pueden moverse y libres cuando su origen puede estar en cualquier punto del espacio.

Vector fijo

Para definir un vector fijo, necesitas saber las coordenadas de su origen y las de su extremo. Al ser fijo, no se puede mover de ninguna manera.

Dos vectores paralelos, de igual módulo, pero de distinto punto de origen, son vectores distintos.

A los vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, pero que tienen su origen en distinto punto se les llaman vectores equipolentes.

Vector libre

Los vectores libres son aquellos vectores cuyo origen se puede situar en cualquier punto y son con los que se trabajan en matemáticas, ya que tienen una característica que los hace especiales.

¿Y qué hace tan especial a un vector libre?

Pues que como podemos mover el origen de un vector libre al punto que queramos, podemos suponer siempre que su origen en está en el origen de coordenadas (0,0) y por tanto el vector quedará definido sólo conociendo las coordenadas del extremo.

Ya no será necesario restar las coordenadas del origen a las coordenadas del extremo para calcular las componentes del vector.

Así, cuando decimos que el vector:

que es un vector en matematicas

Estamos queriendo decir que su origen es (0,0) y su extremo (1,-4)

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