A continuación te voy a explicar cómo aplicar el teorema de la altura en un triángulo rectángulo, con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Teorema de la altura
El teorema de la altura relaciona la altura de un triángulo rectángulo con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, por lo que permite calcular la altura de un triángulo rectángulo conocidas estas proyecciones.
La fórmula del teorema de la altura es la siguiente:
Pero más que aprender esta fórmula, te recomiendo que aprendas el procedimiento de cómo llegar hasta ella, ya que te resultará más fácil también para resolver los problemas.
Vamos a ver cómo es el procedimiento para llegar a esta fórmula:.
Para entender el teorema de la altura, primero, debes entender bien qué son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
Partimos del siguiente triángulo rectángulo, colocado de forma que la hipotenusa queda en la parte de abajo:
Donde:
- El lado a es el cateto mayor
- El lado b es el cateto menor
- El lado c es la hipotenusa
Si pusiéramos un foco de luz justo encima del triángulo, la sombra que proyecta el lado b sobre la hipotenusa corresponde a la proyección del cateto menor en la hipotenusa y sería el segmento de color verde en la hipotenusa, «n».
De la misma forma, la sombra que proyecta el lado «a» sobre la hipotenusa corresponde a la proyección del cateto mayor en la hipotenusa y sería el segmento de color azul en la hipotenusa «m».
Por tanto, «n» es la proyección del cateto «b» en la hipotenusa y «m» es la proyección del cateto «a» en la hipotenusa. Ambas proyecciones están separadas por una línea vertical, que corresponde con la altura del triángulo rectángulo.
La altura separa al triángulo en otros dos triángulos rectángulos:
En ambos triángulos, que son semejantes, comparamos su relación entre el cateto menor y el cateto mayor:
En el triángulo de la izquierda, el cateto menor es «n» y el cateto mayor es «h»:
En el triángulo de la derecha, el cateto menor es «h» y el cateto mayor es «m» (giro el triángulo 90º hacia la izquierda para que se vea más claro):
Comparamos ambas relaciones y nos queda:
De donde podemos despejar «h», que corresponde a la altura del triángulo rectángulo original.
Para ello, multiplicamos en cruz ambas fracciones, pasando cada denominador multiplicando al miembro contrario:
Operamos en ambos miembros, quedando h² en uno de ellos:
Y finalmente despejamos la altura, pasando el cuadrado como raíz al miembro contrario:
Donde llegamos por fin a la fórmula que relaciona la altura con las proyecciones de los catetos en la hipotenusa.
Lo que te debe quedar claro de este teorema es que para llegar a su fórmula, comparamos la relación entre el cateto menor y el cateto mayor de los dos triángulos en los que queda dividido por la altura el triángulo original.
Ejercicios resueltos sobre el teorema de la altura
Vamos a resolver unos ejercicios de aplicación del teorema de la altura, que como verás, los resolveré no sólo aplicando la fórmula sino aplicando el procedimiento de cómo llegar hasta ella.
Ejercicio 1
Aplica el teorema de la altura y calcula el área del siguiente triángulo:
En este caso conocemos la altura y la proyección del cateto mayor en la hipotenusa.
Comparamos la relación entre el cateto menor y el cateto mayor de los dos triángulos que quedan al dividir el triángulo original por la altura:
En el triángulo de la izquierda:
- Cateto menor=x
- Cateto mayor=2
En el triángulo de la derecha:
- Cateto menor=2
- Cateto mayor=3
Por tanto, la comparación de la relación cateto menor/cateto mayor queda:
Despejamos la x pasando el denominador multiplicando al miembro contrario y operamos:
El área de un triángulo es:
La base es la suma de las dos proyecciones de los catetos:
Como ya sabemos el valor de x, lo sustituimos por su valor y operamos:
Por último pasamos a calcular su área:
Ejercicio 2
Aplica el teorema de la altura y calcula el área del siguiente triángulo:
En este caso conocemos la altura y la proyección del cateto menor en la hipotenusa.
Comparamos la relación entre el cateto menor y el cateto mayor de los dos triángulos que quedan al dividir el triángulo original por la altura y nos queda:
En el triángulo de la izquierda:
- Cateto menor=2
- Cateto mayor=4
En el triángulo de la derecha:
- Cateto menor=4
- Cateto mayor=x
Por tanto, la comparación de la relación cateto menor/cateto mayor queda:
Para despejar x, en primer lugar pasamos los denominadores de las fracciones multiplicando al miembro contrario:
Y ahora despejamos x pasando el 2 dividiendo al otro miembro y operando:
Pasamos ahora a calcular su área, que es:
La base es la suma de las dos proyecciones:
Sustituimos x por su valor y operamos:
Y finalmente calculamos el área del triángulo:
Ejercicio 3
Aplica el teorema de la altura y calcula el área del siguiente triángulo:
En este caso conocemos las proyecciones de los catetos en la hipotenusa y falta por calcular la altura.
Comparamos la relación entre el cateto menor y el cateto mayor de los dos triángulos que quedan al dividir el triángulo original por la altura y nos queda:
En el triángulo de la izquierda:
- Cateto menor=3
- Cateto mayor=x
En el triángulo de la derecha:
- Cateto menor=x
- Cateto mayor=6
Por tanto, la comparación de la relación cateto menor/cateto mayor queda:
Pasamos los denominadores de las fracciones multiplicando al miembro contrario:
Operamos en ambos miembros:
Y despejamos la x pasando el cuadrado al miembro contrario como raíz:
Pasamos a calcular el área:
La base es la suma de las dos proyecciones:
Y la altura la acabamos de calcular, por lo que ya podemos obtener el área:
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