A continuación te voy a explicar cómo calcular la distancia de un punto a un plano en el espacio. Con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Cómo calcular la distancia de un punto a un plano
La distancia de un punto a un plano es la distancia más corta que existe entre el punto y otro punto cualquiera del plano, es decir, es la distancia de un segmento trazado desde el punto y que es perpendicular al plano.
Si tenemos un punto de coordenadas X0, Y0 y Z0:
Y un plano expresado en su ecuación implícita:
La distancia del punto P al plano π se calcula mediante la siguiente fórmula:
Donde X0, Y0 y Z0 corresponden a las coordenadas del punto y A, B, C y D son los coeficientes de la ecuación del plano en su forma implícita.
La fórmula está en valor absoluto, ya que el resultado siempre debe ser positivo al ser una distancia.
Si la ecuación del plano no está en su forma implícita, el paso previo antes de utilizar la fórmula es pasar la ecuación del plano a su forma implícita.
Ejercicio resuelto de cálculo de la distancia de un punto a un plano
Vamos a resolver un ejercicio sobre cómo calcular la distancia de un punto a un plano.
Calcular la distancia del punto P(1,2,3) al siguiente plano:
Tenemos el punto:
Y ell plano:
Ya tenemos el plano expresado en su ecuación implícita, luego podemos aplicar la fórmula de la distancia de un punto a un plano directamente:
Sustituimos X0, Y0 y Z0 por las coordenadas del punto, que son 1, 2 y 3 respectivamente y los coeficientes A, B, C y D por sus valores en la ecuación del plano, que son, 3, 4, 0 y -6 respectivamente:
Operamos y finalmente llegamos al resultado, que está dado en unidades al ser una distancia:
Ejercicios propuestos sobre distancia de un punto al plano en el espacio
Ejercicio 1
Sea el punto A y el plano α:
Hallar el punto del plano de mínima distancia al punto A y hallar dicha distancia
La mínima distancia del punto A al plano se trata de la distancia medida perpendicularmente desde el punto A al plano. Por tanto, para hallar el punto del plano de mínima distancia, primero vamos a obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto A y es perpendicular al plano y después calcularemos el punto de corte entre la recta y el plano. Ese punto de corte será el punto del plano de mínima distancia.
La recta que pasa por el punto A y es perpendicular al plano, además de pasar por el punto A, tiene como vector director el vector normal al plano:
La ecuación de la recta en forma continua queda:
Para hallar el punto de corte entre recta y plano, debemos pasar la ecuación continua a las ecuaciones implícitas de la recta y luego resolver el sistema que forman las dos ecuaciones de la recta junto con la ecuación del plano.
Para hallar las ecuaciones implícitas de la recta, igualamos dos a dos los miembros de la ecuación continua:
Operamos y simplificamos las ecuaciones:
Ahora vamos a resolver el sistema que forman las dos ecuaciones de la recta junto con la ecuación del plano:
Cuya solución es (la puedes obtener por Cramer por ejemplo):
Así que, el punto de corte de recta y plano, que corresponde al del plano de mínima distancia es:
Ahora vamos a calcular la distancia del punto A al plano, con la fórmula de la distancia de un punto a un plano:
Sustituimos en la fórmula las coordenadas del punto A y los coeficientes de la ecuación del plano:
Operamos y nos queda:
Así que la distancia del punto A al plano es de 5,38 unidades.
Al tener las coordenadas del punto de mínima distancia P, también podríamos haber calculado la distancia del punto al plano, como la distancia entre el punto A y el punto P con la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio.
Ejercicio 2
Sea la recta r y el plano α:
Halla los puntos de la recta cuya distancia al plano sea igual a 1.
En este ejercicio nos piden los puntos de la recta cuya distancia al plano sea igual a 1:
La distancia de una recta a un plano es igual a la distancia de un punto de la recta al plano:
Así que lo primero que tenemos que hacer es hallar un punto genérico del plano.
Para ello, a partir de la ecuación continua de la recta:
Obtenemos el punto por donde pasa y su vector de dirección:
Y con el punto y el vector escribimos las ecuaciones paramétricas:
El punto genérico de la recta R, tiene de coordendadas las mismas que las ecuaciones paranmétricas:
La distancia de un punto a un plano, se calcular con la siguiente fórmula:
En esta fórmula, sabemos que la distancia es igual a 1 y utilizaremos las coordenadas del punto genérico R, además de sustituir los coeficientes del plano α:
Al utilizar el punto genérico, estamos calcularemos el valor de t para que que cumple la condición de que la distancia sea igual a 1. Así que operamos:
Y despejamos t:
Tenemos dos soluciones, una para la raíz positiva y otra para la raíz negativa:
Para la primera solución:
En el punto genérico:
Sustituimos t por su valor:
Y operamos, obteniendo las coordenadas de R, uno de los puntos de r que está a 1 unidad de distancia del plano:
Para el otro valor de t:
Sustituimos t por su valor en las coordenadas del punto genérico:
Operamos y obtenemos el otro punto de r a 1 unidad de distancia del plano:
Tenemos dos puntos que distan 1 unidad del plano, R y R’, uno a cada lado del plano.
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