Ejercicios resueltos de puntos, rectas y planos en el espacio. 2 bachillerato

De la ecuación de la recta obtenemos directamente su vector director:

Como el plano y la recta son perpendiculares, el vector director de la recta es un vector normal al plano:

Por otro lado, sabemos que las coordenadas de un vector normal al plano coinciden con los coeficientes A, B y C de la ecuación implícita del plano:

Así que sustituimos A, B y C por las coordenadas del vector normal en la ecuación del plano:

Sólo nos queda por obtener el coeficiente D, que lo haremos gracias al dato del punto que pertenece al plano. Nos dicen que el punto P pertenece el plano:

Así que, si sustituimos las incógnitas x, y y z por las coordenadas del punto en la ecuación del plano, se sigue cumpliendo la igualdad:

Donde podemos operar y despejar el valor de D:

Por lo que la ecuación del plano que estamos buscando es:

Tenemos el triángulo formado por los puntos A, B y C:

Para poder realizar este ejercicio debemos saber que la mediana de un triángulo es un segmento que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

Vamos a empezar calcular la ecuación de la mediana del vértice A, que pasará por el vértice A y por el punto medio del lado formado por los puntos B y C:

Vamos a obtener las coordenadas del punto A’, que será el punto medio del lado BC:

Tomaremos el punto A como un punto por el que pasa la mediana:

Obtenemos el vector de dirección de la mediana tomando como origen el punto A y  y extremo el punto A’:

Para simplificar cálculos, vamos a eliminar los denominadores de las coordenadas multiplicándolas por 2:

Una vez tenemos el vector director de la recta y un punto por el que pasa, sustituimos sus coordenadas en la fórmula ecuación contínua de la recta:

De la misma forma, hallamos la ecuación de la mediana que pasa por el punto B y por el punto medio del lado formado por los puntos A y C:

Obtenemos las coordenadas del punto B’, punto medio del segmento AC:

Tomamos el punto B como un punto por el que pasa la mediana:

Calculamos el vector de dirección de la mediana tomando como origen el punto B y  y extremo el punto B’:

Para eliminar denominadores, multiplicamos por 2 todas sus coordenadas:

Finalmente, en la fórmula de la ecuación continua:

Sustituimos sustituimos las coordenadas del punto y las del vector de dirección por sus valores:

Por último, vamos a obtener la ecuación de la mediana del vértice C siguiendo el mismo procedimiento:

Las coordenadas del punto C’, son las coordenadas del punto medio del segmento AB:

Consideramos el punto C para el cálculo de la ecuación de la mediana:

Obtenemos el vector de dirección de la mediana tomando como origen el punto C y  y extremo el punto C’:

Sustituimos sustituimos las coordenadas del punto y las del vector de dirección por sus valores en la fórmula de la ecuación contínua:

Tenemos los siguientes puntos:

Para hallar los valores de m y n para que el punto C esté alineado con A y B, calcularemos la ecuación de la recta que para por los puntos A y B y obligaremos al punto C a pertenecer a la recta AB.

La recta AB para por el punto A:

Y tiene como vector director el vector que tiene el origen en el punto A y el extremo en el punto B:

En la fórmula de la ecuación continua de la recta, sustituimos las coordenadas del punto y del vector de dirección por sus valores, obteniendo la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B:

Para que el punto C esté alineado con A y B, debe pertenecer a esta recta. Para que C pertenezca a la recta debe cumplirse la igualdad al sustituir x, y y z por las coordenadas del punto.

Así que sustituimos las coordenadas del punto C en la ecuación:

Y operamos:

Ahora vamos a despejar los valores de m y n para que se cumpla la igualdad.

Igualamos el primer y el segundo miembro y despejamos m. Obtenemos que m=0/0, lo que significa que m puede valer cualquier valor:

ahora igualamos el segundo y el tercer miembro:

Multiplicamos en cruz:

Operamos y despejamos n, obteniendo también que n=0/0, por lo que n también puede tomar cualquier valor:

Por último igualamos el primer y el tercer miembro de la ecuación:

Esta ecuación nos marca la relación que existe entre m y n. Ambas variables pueden tomar cualquier valor pero siguiendo esta relación.

Como m y n pueden tomar cualquier valor, le damos a n el valor de n=-2, para que el numerador quede igual a 0 y calculamos el valor de m:

Podríamos darle a n cualquier otro valor, obteniendo otro valor de m, que también serían válidos

Por tanto, para que C pertenezca a la recta AB y por tanto, esté alineado con los otros dos puntos, una solución válida sería:

Que si sustituimos en la recta, podemos comprobar que se cumple la igualdad:

En primer lugar despejamos los parámetros t y s como incógnitas, tratando x, y y z como si se trataran términos independientes:

El rango de la matriz de los coeficientes es igual a 2, ya que podemos encontrar una submatriz cuadrada cuyo determinante es distinto de cero:

Para que el sistema sea compatible determinado y por tanto tenga solución, el rango de la matriz ampliada también debe ser igual a 2:

El rango de la matriz ampliada será igual a 2 cuando su determinante sea igual a cero:

Así que, igualamos el determinante de A* a cero:

Y lo desarrollamos por la regla de Sarrus obteniendo la siguiente ecuación, que corresponde a la ecuación implícita del plano:

Nos piden hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A:

y que sea paralelo a las dos rectas dadas, es decir, que los vectores de dirección del plano sean los vectores de dirección de cada recta.

El vector de dirección de la recta r lo obtenemos directamente de la ecuación continua de la recta:

El vector de dirección de la recta s lo obtenemos realizando el producto vectorial de los vectores normales de las ecuaciones implícitas de los planos que forman el sistema de ecuaciones de la recta.

Los vectores normales de los planos que forman la recta son:

Realizamos el producto vectorial:

Por tanto, el vector director de la recta s es:

Ahora ya tenemos un punto que pertenece al plano y sus dos vectores de dirección:

La ecuación implícita del plano la obtenemos a partir de las ecuaciones paramétricas, expresadas directamente a partir del punto y de los vectores de dirección:

Resolvemos el sistema considerando t y s como las incógnitas, y x, y, z como términos independientes:

Queremos que el sistema sea compatible determinado y por tanto tenga solución, por lo que igualamos el determinante de A* a cero:

Desarrollando el determinante llegamos a la ecuación implícita del plano buscada:

Tenemos los siguientes puntos:

Para calcular la ecuación del plano que nos pide el ejercicio, necesitamos un punto que pertenezca al plano y dos vectores de dirección.

Como el enunciado nos dice que el plano contiene a la recta que pasa por los puntos A y B, estos dos puntos pertenecen al plano. Así que, por ejemplo nos quedamos con el punto A para calcular el plano:

Calculamos el vector director de la recta AB, que será uno de los vectores de dirección del plano, al contener a esta recta:

También sabemos que es paralelo a la recta que pasa por CD, luego calculamos el vector CD, que será el otro vector de dirección del plano:

Una vez tenemos el punto que pertenece al plano y los dos vectores de dirección, podemos expresar las ecuaciones paramétricas del plano:

Y a partir de las ecuaciones paramétricas, vamos a obtener la ecuación implícita del plano.

Resolvemos el sistema considerando t y s como las incógnitas, y x, y, z como términos independientes:

Buscamos que el sistema sea compatible determinado y por tanto tenga solución, por lo que igualamos el determinante de A* a cero:

Finalmente, llegamos a la ecuación implícita del plano buscada, desarrollando el determinante y operando:

Tenemos las siguientes ecuaciones de plano y recta:

Para determinar la posición relativa de la recta y el plano, tenemos que resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones implícitas de la recta y la ecuación implícita del plano.

Ya tenemos la ecuación implícita del plano, así que nos queda obtener las ecuaciones implícitas de la recta.

Para ello, igualamos el primer y el segundo miembro de la ecuación continua de la recta:

Multiplicamos en cruz para eliminar denominadores y operamos para dejar las incógnitas en el primer miembro y los números en el segundo:

Ahora igualamos el segundo y el tercer miembro:

Y hacemos lo mismo, obteniendo la siguiente ecuación:

Las ecuaciones implícitas de la recta son:

Las dos ecuaciones implícitas de la recta junto con la ecuación implícita del plano forman el siguiente sistema:

Vamos a estudiar su posición relativa, obteniendo el rango de A y A*.

La matriz de los coeficientes es:

Calculamos el valor de su determinante:

Es distinto de cero, luego el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 3:

Como la matriz de los coeficientes está contenida en la matriz ampliada, el rango de la matriz ampliada también es igual a 3:

Así que el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada son iguales a 3, por lo que el sistema es compatible determinado y tiene una única solución. Por tanto, la recta y el plano se cortan en un punto:

El punto donde la recta corta al plano es la solución del sistema.

Tenemos las siguientes ecuaciones:

Para determinar la posición relativa de dos rectas en el espacio, hay que resolver el sistema formado por las ecuaciones implícitas de cada recta. Tenemos que expresar la recta r en sus ecuaciones implícitas:

Igualamos primer y segundo miembro y operamos para dejar las incógnitas en el primer miembro:

Igualamos segundo y tercer miembro y operamos:

Las ecuaciones implícitas de la recta r son:

La recta s ya está expresada en ecuaciones implícitas:

Las ecuaciones de ambas rectas forman el siguiente sistema:

A partir del rango de A y A*, obtendremos la posición relativa de las rectas r y s.

La matriz de los coeficientes es:

La mayor submatriz cuadrada contenida en la matriz anterior es de orden 3. Elegimos, por ejemplo la que forman las tres primeras columnas y las tres primeras filas. Su determinante es:

El determinante es distinto de cero, así que el rango de la matriz de los coeficientes es 3:

La matriz ampliada es la siguiente:

Cuyo determinante es el siguiente, el cual es de orden 4:

Para resolverlo, voy a realizar operaciones internas en el determinante, con el objetivo de que en el cuarto elemento de la cuarta columna se quede un 2 y el resto de elementos de esa columna sean ceros (puedes consultar la lección donde explico cómo calcular determinantes de orden 4 para entender mejor los pasos):

Para ello, a la fila 3 le resto la fila 4 y el resultado lo coloco en la fila 3:

El determinante queda:

Elijo la cuarta columna para multiplicar el cuarto elemento por su adjunto:

Resuelvo el determinante de orden 3 y opero:

El determinante de A* es distinto cero, lo que significa que el rango es igual a 4:

El rango de A es igual a 3 y el rango de A* es igual a 4, por lo que el sistema es incompatible y no tiene solución, lo que significa que las rectas no tienen ningún punto en común. Así que las rectas se cruzan en el espacio:

Tenemos las siguientes ecuaciones:

Para saber la posición relativa de dos rectas en el espacio, tenemos que resolver el sistema formado por las ecuaciones implícitas de cada recta. Así que el primer paso es que expresar la recta s en sus ecuaciones implícitas.

Para ello igualamos el primer y el segundo miembro de la ecuación continua y operamos para dejar las incógnitas en el primer miembro y los números en el segundo sin denominadores:

Hacemos lo mismo con el segundo y tercer miembro de la ecuación:

Las ecuaciones implícitas de la recta s son:

Unimos las ecuaciones implícitas de ambas rectas para formar el siguiente sistema:

Para que las rectas se corten, tanto el rango de A como el rango de A* tiene que ser igual a 3. Por tanto, calcularemos el valor de m para que esto se cumpla.

La matriz de los coeficientes es:

Elegimos una submatriz cuadrada de orden 3 contenida en A, formada por las tres primeras columnas y las tres primeras filas, cuyo determinante es:

El determinante es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz de los coeficientes es 3:

La matriz ampliada es la siguiente:

Tenemos que calcula el valor de m para que el rango de A* sea 3, igual que el rango de A y por tanto que las rectas se corten en un punto:

Para que el rango de A* sea 3, el determinante de A* tiene que ser igual a cero:

Así que, vamos a calcular el determinante de A*, cuyo resultado lo obtendremos en función del parámetro m y después igualaremos este resultado a cero para despejar el valor de m.

El determinante de A* es:

Realizaremos operaciones internas entre las filas del determinante, para que en el primer elemento de la tercera columna se quede un 1 y el resto de elementos de esa columna sean ceros.

Para ello, a la fila 2 le sumo la fila 1, dejando el resultado en la fila 2:

Y a la fila 4 le sumo dos veces la fila 1, dejando el resultado en la fila 4:

El determinante queda:

Elijo la tercera columna para multiplicar el primer elemento por su adjunto:

Opero y me queda:

Tal y como hemos dicho antes, queremos que el determinante de A* sea 0:

Así que igualo el resultado del determinante a 0:

Y despejo el valor de m:

Cuando m=25/4 las dos rectas se cortarán en un punto.

Apartado a:

Para obtener la ecuación del plano, necesitamos un punto y dos vectores de dirección. El plano que nos están pidiendo, pasará por el punto A y tendrá como vectores directores el vector director de la recta r y el vector normal al plano α.

Así que, lo primero que vamos a hacer es calcular el vector de la recta a partir de sus ecuaciones implícitas y para ello, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que forman la recta:

El vector director de la recta r es:

El vector normal al plano es:

Ya tenemos el punto por donde pasa el plano y sus dos vectores de dirección:

A partir del punto y de los vectores de dirección, obtenemos  las ecuaciones paramétricas del plano:

A partir de estas ecuaciones, hallaremos la ecuación implícita del plano. Para ello, consideramos t y s las incógnitas, y x, y, z como términos independientes:

Para que el sistema sea compatible determinado y tenga solución, el determinante de A* tiene que ser igual a cero:

Desarrollamos el determinante, obteniendo la ecuación implícita del plano:

Apartado b:

La recta que nos piden pasa por el punto de corte entre la recta y el plano y tiene como vector de dirección el vector normal al plano.

Para hallar el putno de corte entre la recta y el plano resolvemos el sistema formado por la ecuación del plano y las ecuaciones de la recta, reordenando términos previamente:

La solución de este sistema es:

Por lo que el punto de corte tiene las siguientes coordenadas:

El vector normal al plano es:

Por tanto, la ecuación continua de la recta que nos piden es: