Aprende cómo calcular la distancia de un punto a una recta en el espacio. Veremos qué fórmula se utiliza y cómo aplicarla paso a paso. Con ejercicios resueltos.
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Cómo calcular la distancia de un punto a una recta en el espacio (R3)
La distancia de un punto a una recta es la mínima longitud existente entre el punto P y cualquier punto de la recta, o dicho de otra forma, es la longitud de un segmento que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta r:
La fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta en el espacio es la siguiente:
donde P0 es un punto perteneciente a la recta r, P es el punto al que queremos calcular la distancia y v es el vector de dirección de la recta. En el numerador de la fórmula tenemos el módulo del producto vectorial entre los vectores P0P y v y en el denominador el módulo del vector v.
El punto de corte del segmento perpendicular y la recta corresponde al punto proyección de P sobre la recta (punto Q), así que, la distancia de un punto a una recta se podría calcular como la distancia entre el punto P y el punto Q si previamente se obtiene el punto Q:
Ejercicio resuelto de cálculo de la distancia de un punto a una recta en el espacio (R3)
Vamos a resolver un ejercicio sobre el cálculo de la distancia de un punto a una recta en el espacio, en el que veremos cómo aplicar la fórmula paso a paso. El ejercicio dice así:
Calcula la distancia del punto P (1,2,3) a la siguiente recta:
En primer lugar, de la ecuación de la recta:
obtenemos el punto perteneciente a la recta y su vector de dirección, que al estar en su forma continua, lo tenemos directamente:
Las coordenadas del punto P que nos da el enunciado son:
Ya tenemos todo para aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta en el espacio:
Primero obtenemos el vector P0P, restando a las coordenadas del punto P, las coordenadas del punto P0:
Después realizamos el producto vectorial de los vectores P0P y v:
El resultado en coordenadas es:
Hallamos el módulo del producto vectorial que acabamos de calcular:
Calculamos también el módulo del vector de dirección de la recta:
Sustituimos ambos módulos por su valor en la fórmula y operamos:
siendo la distancia del punto P a la recta de 3 unidades.
A modo de comprobación, vamos a calcular la distancia del punto a la recta como la distancia entre el punto P y el punto Q, proyección del punto P en la recta:
Para ello, obtenemos un punto genérico de la recta, definido a partir de sus ecuaciones paramétricas:
La recta PQ y la recta r son prependiculares, por lo que el producto escalar del vector PQ y el vector v es igual a 0:
Calculamos el vector PQ:
Sustituimos cada vector por sus coordenadas en el producto escalar:
En el primer miembro realizamos el producto escalar, quedándonos la siguiente ecuación:
de donde despejamos t:
Este valor de t, lo sustituimos en las coordendas del punto Q que teníamos en función de t:
Y operando, hallamos las coordenadas del punto Q, proyección de P en la recta:
Finalmente obtenemos la distancia entre P y Q:
Y podemos comprobar que coincide con el valor obtenido con la fórmula.
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