En esta lección te voy a explicar cómo realizar el producto mixto de tres vectores en el espacio. Veremos qué fórmula utilizar, así como sus propiedades más importantes. Con ejercicios resueltos paso a paso.
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Producto mixto de vectores en el espacio
El producto mixto de tres vectores en el espacio, expresado con los tres vectores entre corchetes [u,v,w] es el resultado de realizar el producto escalar del primer vector por el resultado del producto vectorial del segundo y del tercer vector:
El resultado del producto mixto es un escalar, ya que al final realizamos el producto escalar de dos vectores (el vector u y el vector resultante del producto vectorial).
El producto mixto de tres vectores también se puede realizar obteniendo el determinante de la matriz formada por los tres vectores. Si tenemos tres vectores:
siendo las componentes de cada vector:
Ejercicio resuelto de producto mixto
Vamos a resolver un ejercicio de producto mixto para aplicar lo aprendido más arriba.
Tenemos los siguientes tres vectores:
Se pide realizar el producto mixto de los tres vectores:
Primero realizaremos el producto mixto, realizando el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos vectores:
Por tanto, empezamos realizando el producto vectorial de v por w:
Ahora realizamos el producto escalar de u por el vector resultante del producto vectorial:
El resultado del producto mixto de los vectores u, v y w es 1.
Ahora vamos a realizar el producto mixto de nuevo, pero calculando el determinante de la matriz formado por los tres vectores:
Sustituimos los elementos de la matriz por las componentes de los vectores y resolvemos:
Propiedades más importantes del producto mixto
Vamos a ver las propiedades más importantes del producto mixto.
Propiedad 1
Si se permutan circularmente los vectores, el producto mixto tiene el mismo valor:
Propiedad 2
Si se transponen dos vectores en el producto mixto, su valor cambia de signo:
Propiedad 3
El producto mixto de tres vectores es igual a cero si los vectores son linealmente dependientes:
Ejercicios propuestos de producto mixto
Ejercicio 1
Sean los vectores:
Realizar los siguientes productos mixtos:
Ambos productos mixtos los vamos a realizar calculando el determinante de la matriz formado por los vectores.
Apartado a:
Apartado b:
Como se puede observar, como en el segundo apartado hemos transpuesto el segundo y el tercer vector, el resultado cambia de signo con respecto al primer apartado.
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