A con tinuación te voy a explicar cómo calcular la distancia entre dos planos paralelos, con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
Cómo calcular la distancia entre dos planos
Para calcular la distancia entre dos planos, antes debemos conocer su posición relativa:
- Si los planos son coincidentes, la distancia entre ellos es nula, ya que realmente se trata del mismo plano.
- Si los planos son secantes, es decir, se cortan en una recta, la mínima distancia entre los planos también es igual a cero, ya que la mínima distancia corresponde con la recta de corte.
- Si los planos son paralelos, entonces la distancia entre ellos la podemos calcular como la distancia de un punto a un plano, eligiendo un punto pertenciente a cualquiera de ellos y calculando la distancia de ese punto al otro plano.
Fórmula para calcular la distancia entre dos planos paralelos
Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, sólo hay que tomar un punto cualquiera de uno de los dos planos y calcular la distancia de ese punto al plano contrario:
Por tanto, la distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia del punto P (contenido en el plano π1) al plano π2 o lo que es lo mismo, la distancia del punto Q (contenido en el plano π2) al plano π1:
Por tanto, calcular la distancia entre dos planos paralelos se reduce a calcular la distancia de un punto a un plano.
Así que en primer lugar, debemos obtener las coordenadas de un punto que pertenezca a una de los planos:
Y la ecuación implícita del otro plano:
La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia del punto P al plano π y se calcula mediante la siguiente fórmula:
Donde X0, Y0 y Z0 corresponden a las coordenadas del punto perteneciente a uno de los planos y A, B, C y D son los coeficientes de la ecuación del otro plano en su forma implícita.
El resultado de esta fórmula debe ser un positivo, ya que estamos calculando una distancia, por eso está en valor absoluto
Si la ecuación del plano no está en su forma implícita, debemos pasarla antes para poder utilizar esta fórmula.
Ejercicio resuelto de cálculo de la distancia entre dos planos paralelos
Vamos a resolver un ejercicio para que te quede más claro cómo calcular la distancia entre dos planos paralelos.
Calcula la distancia entre los dos planos
Antes de calcular la distancia entre dos planos, hay que comprobar que son paralelos, ya que si no lo son, la distancia es 0. Tienes explicado cómo comprobar si los planos son paralelos en la lección donde explico la posición relativa de dos o tres planos.
En este caso los planos son paralelos, ya que los vectores normales de los planos coinciden:
Ahora vamos a tomar un punto de uno de ellos.
Por ejemplo lo vamos a tomar del plano π1. Para ello, le damos dos valores cualquiera a «x» y a «y» en la ecuación del plano y despejamos la «z».
En este caso, yo le voy a dar a la «x» el valor 1 y a la «y» el valor 0 (pero podría darle cualquier otro valor):
Sustituyo «x» e»y» en la ecuación del plano π1 por sus valores:
Opero, despejo el valor de «z» y me queda:
Por tanto, las coordenadas del punto P que está contenido en el plano π1 son:
Ahora vamos a calcular la distancia del punto P al plano π2:
Para lo que utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:
Sustituimos X0, Y0 y Z0 por las coordenadas del punto y los coeficientes A, B, C y D por sus valores en la ecuación del plano:
Operamos y obtenemos el resultado:
Vamos a comprobar que si tomamos un punto del plano π2 y calculamos la distancia de ese punto al plano π1 el resultado es el mismo.
Tenemos el plano π2:
Tomamos un punto que esté contenido en ese plano y para ello, le damos un valor cualquiera a la «x» y a la «y». En este caso a «x» le doy el valor 0 y a «y» el valor 2:
Sustituyo los «x» e «y» por su valores en la ecuación del plano π2:
Opero, despejo «z» y me queda:
Por tanto, las coordenadas del punto Q contenido en el plano π2 son:
Ahora vamos a calcular la distancia del punto P al plano π1:
Sustituyo X0, Y0 y Z0 por las coordenadas del punto Q y los coeficientes A, B, C y D por sus valores en la ecuación del plano π1:
Y operamos, llegando al resultado final:
Que como no podía ser de otra forma, la distancia es la misma que en el caso anterior.
¿Necesitas ayuda en matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?
Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.
He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.
Con mi método:
- Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
- Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión
Suena bien ¿no?
¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?
Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más: