Análisis de las principales funciones elementales. Gráficas y propiedades

Análisis de las principales funciones elementales. Gráficas y propiedades

En esta lección vamos a analizar las principales funciones elementales, como las funciones lineal, afín y constante, las funciones cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Veremos cuál es la forma de su gráfica así como las propiedades de cada una de ellas, tales como dominio, imagen, monotonía, extremos y simetría.

Conocer a fondo las funciones elementales te permitirá entender mejor los ejercicios que tengan que ver con funciones: te será más fácil representarlas gráficamente, así como obtener su dominio o imagen.

¡Vamos allá!

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Funciones lineal, afín y constante

Las funciones lineal, afín y constante son tres tipos de funciones cuya representación gráfica corresponde a una recta.

Vamos a ver cada una de ellas más detenidamente.

Función afín

La función afín es aquella cuya gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas:

Su ecuación es:

donde m es la pendiente de la recta y n es el punto donde la recta corta al eje “y”

Función lineal

La función lineal es aquella cuya gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas:

La ecuación de la función lineal es:

Donde en este caso, m es la pendiente. La función lineal es equivalente a la función afín cuando n=0, que es el punto donde corta al eje “y”.

Función constante

La función constante es aquella cuya gráfica es una recta paralela al eje x:

Su ecuación es:

Las rectas que son paralelas al eje “y”, no son funciones, ya que para un único valor de x, le corresponden infinitos valores de “y”:

Tienen por ecuación:

Propiedades de las funciones lineal, afín y constante

Las funciones afín, lineal y constante que acabamos de ver, cuya función son una recta, tienen las siguientes propiedades:

  • Dominio: Todo R
  • Imagen: En la función constante la imagen es Im f=k. En la función afín y en la función lineal, la imagen es todo R
  • Monotonía: Las funciones lineales y las afines son estrictamente crecientes si la pendiente es positiva y estrictamente decrecientes si la pendiente es negativa. La función constante no es creciente ni decreciente.
  • Extremos relativos: No tienen ningún máximo ni mínimo

Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de segundo grado, cuya gráfica es una parábola:

Y cuya ecuación es:

Si el coeficiente “a” es positivo, las ramas de la parábola van hacia arriba (igual que en la imagen anterior). Si “a” es negativo, las ramas de al parábola van hacia abajo:

inecuaciones de segundo grado definicion

En esta lección tienes explicado cómo representar funciones cuadráticas, así como la explicación de cómo obtener las coordenadas del vértice.

Propiedades de las funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas tienen las siguientes propiedades:

  • Dominio: Todo R
  • Imagen: Si “a” es positivo. la imagen va desde el vértice hasta el infinito (vértice incluido). Si “a” es negativo, la imagen va desde menos infinito hasta el vértice (vértice incluido).
  • Monotonía: Si “a” es positivo. la función es estrictamente decreciente desde menos infinito hasta el vértice y estrictamente creciente desde el vértice hasta el infinito. Si “a” es negativo, los intervalos de crecimiento y decrecimiento van al contrario.
  • Extremos relativos: Si “a” es positivo, la función tiene un mínimo en el vértice. Si “a” es negativo, entonces en el vértice hay un máximo
  • Simetría: La función es simétrica con respecto a su propio eje

Función exponencial

La función exponencial es una función cuya ecuación tiene la siguiente forma:

Donde “a”, que corresponde a la base de la potencia, es un número real distinto de 1 y mayor que 0:

Si “a” es mayor que 1 (a>1) la gráfica de la función exponencial tiene esta forma:

Si “a” está entre 0 y 1 (0<a<1) la gráfica de la función exponencial es:

Todas las funciones exponenciales cortan al eje “y” en el punto 1, ya cuando x=0, cualquier número elevado a 0 es igual a 1.

Propiedades de la función exponencial

La función exponencial tiene las siguientes propiedades:

  • Dominio: Todo R
  • Imagen: Desde 0 (sin incluirlo) hasta más infinito
  • Monotonía: Si “a” es mayor que 1, es estrictamente creciente en todo su dominio. Si “a” está entre 0 y 1 es estrictamente decreciente en todo su dominio.
  • Extremos relativos: No tiene extremos relativos
  • Simetría: No es simétrica

Función logarítmica

La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial y tiene la siguiente forma:

Donde “a”, que corresponde a la base del logaritmo, es un número real distinto de 1 y mayor que 0:

Si “a” es mayor que 1 (a>1) la gráfica de la función logarítmica tiene esta forma:

Si “a” está entre 0 y 1 (0<a<1) la gráfica de la función logarítmica es:

Todas las funciones logarítmicas cortan al eje x en el punto 1, ya que cuando y=0, quiere decir el logaritmo en cualquier base de 1 es igual a 0. Para aprender más sobre logaritmos, consulta el Curso de Logaritmos.

Propiedades de la función logarítmica

Las propiedades de la función logarítmica son:

  • Dominio: Desde 0 (sin incluirlo) hasta más infinito
  • Imagen: Todo R
  • Monotonía: Si “a” es mayor que 1, es estrictamente creciente en todo su dominio. Si “a” está entre 0 y 1 es estrictamente decreciente en todo su dominio.
  • Extremos relativos: No tiene extremos relativos
  • Simetría: No es simétrica

Funciones circulares o trigonométricas

 

Las funciones trigonométricas más importantes son la función seno, la función coseno y la función tangente:

Son funciones periódicas.

La gráfica de la función seno entre x=-π y x=π es:

La gráfica de la función coseno entre x=-π y x=π es:

Y la gráfica de la función tangente entre x=-π/2 y x=π/2 es:

Propiedades de la función seno

Las propiedades de la función seno son:

  • Dominio: Todo R
  • Imagen: [-1,1]
  • Monotonía: En el intervalo [-π,π] es estrictamente creciente en (-π/2,π/2) y estrictamente decreciente en los intervalos (-π,-π/2) y (π/2,π).
  • Extremos relativos: En el intervalo [-π,π] tiene un mínimo en (-π/2,-1) y un máximo en (π/2,1).
  • Simetría: Simétrica respecto del origen
  • Periodicidad: Periódica de periodo 2π

Propiedades de la función coseno

Las propiedades de la función coseno son:

  • Dominio: Todo R
  • Imagen: [-1,1]
  • Monotonía: En el intervalo [-π,π] es estrictamente creciente en (-π,0) y estrictamente decreciente en los intervalos (0,π).
  • Extremos relativos: En el intervalo [-π,π] tiene un máximo en (0,1).
  • Simetría: Simétrica respecto del eje “y”
  • Periodicidad: Periódica de periodo 2π

Propiedades de la función tangente

Las propiedades de la función tangente son:

  • Dominio: Todo R menos los valores de x que sean múltiplos de π/2
  • Imagen: Todo R
  • Monotonía: Es estrictamente creciente en todo su dominio
  • Extremos relativos: No tiene
  • Simetría: Simétrica respecto del origen
  • Periodicidad: Periódica de periodo π

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