A continuación vamos a ver cómo calcular los aumentos y disminuciones porcentuales, así como los encadenamientos de varios aumentos y disminuciones porcentuales consecutivos, con ejercicios resueltos paso a paso.
Veremos también cómo calcular el porcentaje de descuento.
Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver y necesitas clases de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
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Cómo calcular aumentos porcentuales
Vamos a empezar explicando cómo calcular los aumentos porcentuales.
¿Cómo se calcula la cantidad final de un aumento porcentual?
Para calcular el aumento porcentual de una cantidad se puede calcular el porcentaje de aumento de esa cantidad y después sumarlo a la cantidad inicial.
Por ejemplo:
Un libro de 20 € aumenta su precio en un 15%, ¿cuánto vale ahora?
Primero calculamos el 15% de 20 €:
Que lo voy a hacer multiplicando el 20 por el porcentaje en forma decimal:
El aumento porcentual corresponde a 3 euros.
Ahora sumamos la cantidad que acabamos de calcular a la cantidad inicial:
Por tanto, el precio final del libro es de 23 euros.
También podemos calcular la cantidad final directamente, multiplicándolo por el índice de variación.
El índice de variación en un aumento porcentual es igual a 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.
Por tanto, en el problema anterior, un 15% corresponde a 0,15 en forma decimal:
Calculamos el índice de variación sumando a 1 el aumento porcentual en forma decimal:
Y multiplicamos directamente el valor inicial por el índice de variación:
Observa que si sube un 15%, quiere decir que su valor final es un 115% del total y un 115% corresponde a 1,15 en forma decimal.
Por tanto, podemos calcular el aumento porcentual paso a paso como hemos visto o directamente multiplicando por 1 más el aumento porcentual en forma decimal.
Vamos a ver otro ejemplo de cómo calcular la cantidad final de un aumento porcentual directamente, multiplicando por el índice de variación:
El precio de un artículo sin IVA es de 38,5 euros. ¿Cuál es el precio final sabiendo que se le aplica un 21% de IVA?
En este caso, el índice de variación es:
Obtenemos el precio final calculando directamente el precio inicial por el índice de variación:
El precio final es de 46,58 euros.
Cómo calcular la cantidad inicial conocidos el aumento porcentual y la cantidad final
Se puede dar el caso de que conozcamos el porcentaje de aumento y la cantidad final y nos pregunten la cantidad inicial.
Por ejemplo:
Un artículo tiene un precio de 250 euros después de subir su precio un 20%. ¿Cuál era el precio inicial?
Sabemos que si a una cantidad inicial la multiplicamos por el índice de variación, obtenemos como resultado la cantidad final:
En este caso, la cantidad inicial, es x, ya que no la sabemos, el índice de variación es 1,20 (1 más el 20% en forma decimal) y la cantidad final es 250:
Sólo tenemos que despejar la x para calcular la cantidad inicial:
El precio inicial del artículo era de 208,33 €.
Cómo calcular el aumento porcentual conocidas la cantidad inicial y la cantidad final
Podemos conocer la cantidad inicial y la cantidad final y que nos pregunten cuál ha sido el aumento porcentual.
Por ejemplo:
Se ha aumentado el precio de un artículo de 125 € a 175 € ¿Qué tanto por ciento ha subido?
Volvemos a partir de que si a una cantidad inicial la multiplicamos por el índice de variación, da como resultado la cantidad final:
En este caso el índice de variación es x, ya que no lo conocemos, la cantidad inicial es 125 y la cantidad final es 175:
Despejamos la x y nos queda:
El índice de variación es de 1,4, pero lo que nos piden es el aumento porcentual.
Sabemos que el índice de variación es igual a 1 más el aumento porcentual en forma decimal:
Así que en la fórmula anterior, sustituimos el índice de variación por su valor:
Y ahora despeja el aumento porcentual en forma decimal (la fracción r/100) pasando el 1 al otro miembro restando:
Operamos en el segundo miembro:
Y despejamos r, que es el aumento porcentual en tanto por ciento, pasando el 100 multiplicando al otro miembro:
El precio ha subido un 40%.
Cómo calcular el porcentaje de descuento. Disminuciones porcentuales.
Un porcentaje de descuento en un precio es lo mismo que una disminución porcentual.
¿Cómo se calcula el porcentaje de descuento? ¿Cómo se calcula la cantidad final de una disminución porcentual?
Para calcular la disminución porcentual de una cantidad se puede calcular el porcentaje de disminución de esa cantidad y después restarlo a la cantidad inicial.
Por ejemplo:
Un portátil de 300 € desciende su precio en un 20%, ¿cuánto vale ahora?
Primero calculamos el 20% de 300 €:
Que lo voy a hacer multiplicando el 300 por el porcentaje en forma decimal:
La disminución porcentual corresponde a 60 euros.
Ahora restamos la cantidad que acabamos de calcular a la cantidad inicial:
Por tanto, el precio final del portátil es de 240 euros.
Para calcular el porcentaje de descuento, también podemos calcular la cantidad final directamente, multiplicándolo por el índice de variación.
El índice de variación en una disminución porcentual es igual a 1 menos el aumento porcentual expresado en forma decimal. 
Por tanto, en el problema anterior, un 20% corresponde a 0,2 en forma decimal:
Calculamos el índice de variación restando a 1 la disminución porcentual en forma decimal:
Y multiplicamos directamente el valor inicial por el índice de variación:
Observa que si desciende un 20%, quiere decir que su valor final es un 80% del total y un 80% corresponde a 0,8 en forma decimal.
Por tanto, podemos calcular la disminución porcentual paso a paso como hemos visto o directamente multiplicando por 1 más el aumento porcentual en forma decimal.
Vamos a ver otro ejemplo de cómo calcular la cantidad final de una disminución porcentual multiplicando directamente por el índice de variación:
Un artículo tiene un precio de 55 €. Se le quiere hacer una rebaja del 17%. ¿Cuál será el precio final del artículo?
En este caso, el índice de variación es:
Obtenemos el precio final calculando directamente el precio inicial por el índice de variación:
El precio final es de 45,65 euros.
Cómo calcular la cantidad inicial conocidos la disminución porcentual y la cantidad final
Se puede dar el caso de que conozcamos el porcentaje de disminución y la cantidad final y nos pregunten la cantidad inicial.
Por ejemplo:
Un artículo tiene un precio de 150 euros después de rebajar su precio un 25%. ¿Cuál era el precio inicial?
Sabemos que si a una cantidad inicial la multiplicamos por el índice de variación, obtenemos como resultado la cantidad final:
En este caso, la cantidad inicial, es x, ya que no la sabemos, el índice de variación es 0,75 (1 menos el 25% en forma decimal) y la cantidad final es 150:
Sólo tenemos que despejar la x para calcular la cantidad inicial:
El precio inicial del artículo era de 200 €.
Cómo calcular la disminución porcentual conocidas la cantidad inicial y la cantidad final
Podemos conocer la cantidad inicial y la cantidad final y que nos pregunten cuál ha sido la disminución porcentual.
Por ejemplo:
Se ha disminuido el precio de un artículo de 300 € a 216 € ¿Qué tanto por ciento ha bajado?
Volvemos a partir de que si a una cantidad inicial la multiplicamos por el índice de variación, da como resultado la cantidad final:
En este caso el índice de variación es x, ya que no lo conocemos, la cantidad inicial es 300 y la cantidad final es 216:
Despejamos la x y nos queda:
El índice de variación es de 0,72, pero lo que nos piden es la disminución porcentual.
Sabemos que el índice de variación es igual a 1 menos el aumento porcentual en forma decimal:
Así que en la fórmula anterior, sustituimos el índice de variación por su valor:
Y ahora despejamos la disminución porcentual en forma decimal (la fracción r/100):
Operamos en el segundo miembro:
Y despejamos r, que es la disminución porcentual en tanto por ciento, pasando el 100 multiplicando al otro miembro:
El precio ha bajado un 28%.
Aumentos y disminuciones porcentuales encadenados
Por último, vamos a ver cómo proceder cuando tenemos dos o más aumentos o disminuciones porcentuales encadenados de una cantidad, es decir, cuando tenemos una cantidad y se le van aplicando aumentos o disminuciones porcentuales de forma consecutiva.
En este caso, lo que debemos hacer es multiplicar por el índice de variación correspondiente a cada variación porcentual, obteniendo así la cantidad final directamente.
Vamos a verlo con un ejemplo:
A María, en su factura del agua le aplican un recargo del 5% por exceso de consumo, un descuento del 15% por ser empleada y luego tiene que pagar un 10% de IVA. ¿Cuánto tendrá que pagar si su importe inicial era de 60 €? ¿Cuál es el índice de variación global?
Vamos a calcular la cantidad resultante al aumento del 5%, multiplicando los 60 euros por el primer índice de variación, que es 1,05:
A la cantidad resultante, le aplicamos una reducción del 15% multiplicando por su índice de variación que es 0,85:
Y a esta cantidad le volvemos a aplicar un aumento porcentual del 10% multiplicando por 1,1:
Al final tendrá que pagar 58,905 €.
Podemos calcular directamente la cantidad final, multiplicando la cantidad inicial por cada uno de los índices de variación:
En este caso, los índice de variación son:
Por lo que aplicado la fórmula nos queda:
El índice de variación global es el índice de variación que resulta de multiplicar todos los índices de variación:
Que en nuestro caso es:
Que evidentemente, si multiplicas este índice de variación global por la cantidad inicial, se obtiene la misma cantidad final.
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