Binomio de Newton, números combinatorios y el triángulo de Pascal. Ejercicios resueltos.

A continuación vamos a ver cómo podemos desarrollar una potencia de un binomio, mediante la fórmula del binomio de Newton. Lo veremos todo con ejercicios resueltos paso por paso.

¡Empezamos!

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Binomio de Newton

El binomio de Newton es una fórmula que sirve para calcular cualquier potencia de un binomio (a+b).

Sabemos que para calcular la potencia de un binomio al cuadrado utilizamos las fórmulas de los productos notables, pero si tenemos que calcular por ejemplo un binomio elevado a 5, la cosa ya se complica.

Tendríamos que factorizar la potencia previamente en potencias de 2, luego ir desarrollando los cuadrados e ir multiplicando los polinomios resultantes dos a dos:

Se puede resolver así, pero hay que realizar muchas operaciones, con el tiempo que conlleva y el riesgo a cometer algún fallo. Y cuanto mayor sea el exponente al que está elevado el binomio, todavía hay que hacer más operaciones, siendo una tarea casi imposible si el exponente es demasiado elevado.

Por tanto, las potencias de un binomio las vamos a calcular mediante la fórmula del binomio de Newton, que es lo que veremos a continuación.

Fórmula del binomio de Newton

Con la fórmula del binomio de Newton podemos calcular la potencia de un binomio elevado a cualquier exponente y es la siguiente:

Cuando los términos del binomio se están restando, en el desarrollo se van alternando signos más y signos menos:

La fórmula a priori parece difícil, pero vamos a ver un ejemplo, que analizaremos más despacio para que la puedas entender mejor.

Vamos a calcular la potencia de un binomio (a+b) elevado a 5:

Aplicamos la fórmula sustituyendo n por 5 en este caso y operando en los exponentes y nos queda la siguiente expresión:

El desarrollo de la potencia no está terminada, pero antes de seguir, vamos a analizar esta expresión detenidamente.

  • El número de términos del desarrollo es n+1. En nuestro caso, como estamos elevando el binomio a 5, y por tanto n=5, tenemos 5+1=6 término.
  • Los coeficientes de cada término del desarrollo son números combinatorios (que veremos en el siguiente apartado qué son y cómo se resuelven), donde el número de arriba es igual al exponente del binomio (en nuestro caso 5) y el número de abajo va aumentando de 1 en 1 desde 0 hasta el valor del exponente n (en nuestro caso desde 0 hasta 5):

  • Los exponentes del primer término (en nuestro caso a) van disminuyendo desde n hasta 0 (en nuestro caso, desde “a” elevado a 5, hasta el último término que no aparece “a” porque “a” elevado a 0 es 1):

  • Los exponentes del segundo término (en nuestro caso b) van aumentando desde 0 hasta hasta (en nuestro caso, desde “b” elevado a 0, que es 1 y no aparece, hasta “b” elevado a 5):

  • La suma de los exponentes en cada término es igual a n. En nuestro caso, en cada término los exponentes siempre suman 5.

Visto esto vamos a ver cómo podemos calcular el valor de los números combinatorios

Números combinatorios

El número de combinaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r también se llama número combinatorio y se calcula mediante la siguiente fórmula:

Se lee n sobre r y se representa uno sobre otro entre paréntesis, quedando la n arriba y la r abajo.

Por ejemplo, vamos a aplicar la fórmula anterior para resolver 5 sobre 2:

Desarrollamos el factorial del numerador hasta llegar al mayor factorial del denominador, que en este caso es 3!, y los anulamos:

Desarrollamos el factorial que nos queda en el denominador y operamos:

Aplicando la fórmula de los números combinatorios, puede ser una forma de resolverlos en el desarrollo del binomio de Newton, pero vamos a ver otra forma todavía más sencilla en el siguiente apartado.

El triángulo de Pascal

Un matemático llamado Pascal (aunque hay libros que se lo atribuyen a Tartaglia) construyó un triángulo de números combinatorios, colocando por filas los números combinatorios, de manera que en cada fila, el número superior de los números combinatorios coincide con el número de la fila y el número inferior de los números combinatorios va aumentando desde 0 hasta el número de fila.

Por tanto, en la primera fila hay 2 números combinatorios (número inferior desde 0 hasta 1), en la segunda fila hay 3 números combinatorios (número inferior desde 0 hasta 2) y así sucesivamente:

Si calculamos cada uno de los números combinatorios, el triángulo de Pascal nos queda de la siguiente manera:

Donde se puede observar las siguientes propiedades:

Propiedades del triángulo de Pascal

  1. Todas las filas empiezan y terminan por 1
  2. Todas las filas son simétricas
  3. Cada número se obtiene sumando los dos números que tiene encima, excepto los extremos que siempre son 1.

Por tanto, para construir el triángulo de Pascal, no es necesario ir calculando cada número combinatorio, sino que se colocan los 1 de los extremos y luego se van añadiendo los números de arriba a abajo, resultado de sumar los dos números que quedan por encima.

Volviendo al binomio de Newton, si te das cuenta, los números combinatorios que queda, corresponden a los números combinatorios de una de las filas de triángulo de Pascal, en nuestro caso a la fila de n=5:

Por tanto, para obtener el valor de los números combinatorios, sólo tenemos que sustituir cada número combinatorio por su valor, que lo encontramos en la fila 5:

Ejercicios resueltos sobre el binomio de Newton

Vamos a resolver unos ejercicios para poner en práctica lo que acabamos de aprender sobre el binomio de Newton.

Ejercicio 1

Desarrolla la siguiente potencia:

Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

Y queda:

Los números combinatorios los sustituimos por su valor, obtenidos de la quinta fila del triángulo de Pascal:

Resolvemos las potencias:

Y finalmente, operamos en cada término para simplificar:

Ejercicio 2

Desarrolla la siguiente potencia:

Aplicamos la fórmula de Newton para un binomio con signo negativo, donde los signos más y los signos menos se van alternando:

Nos queda:

El valor de los números combinatorios es el correspondiente a la cuarta fila del triángulo de Pascal:

Resolvemos las potencias:

Y operamos en cada término:

Calcular un término en el binomio de Newton

Podemos calcular cualquier término del desarrollo de la potencia de un binomio.

Si queremos calcular el término con la posición k del desarrollo de la potencia de un binomio tipo (a+b), utilizaremos la siguiente fórmula:

Para calcular el término con la posición k del desarrollo de la potencia de un binomio tipo (a-b), lo haremos con la siguiente fórmula:

Donde k es la posición del término, n es el exponente, “a” es el primer término y “b” es el segundo término.

Por ejemplo, vamos a calcular el tercer término del desarrollo de la potencia del siguiente binomio:

Utilizamos esta fórmula al ser un binomio del tipo (a+b):

Sustituimos k, n, a y b por sus valores:

Operamos en los exponentes:

Sustituimos el número combinatorio por su valor, resolvemos las potencias y operamos:

Como puedes observar, coincide con el desarrollo completo, realizado en el ejercicio anterior.

Vamos ahora a calcular el tercer término del siguiente polinomio del tipo (a-b):

Utilizamos la siguiente fórmula:

Sustituimos k, n, a y b por sus valores:

Operamos en los exponentes:

Sustituimos el número combinatorio por su valor, resolvemos las potencias y operamos:

Cálculo del coeficiente de un término del binomio de Newton

Con estas fórmulas también podemos calcular el coeficiente de un término en concreto.

Por ejemplo, nos piden calcular el coeficiente del término con x elevado a 16 del siguiente desarrollo:

Como es el binomio del tipo (a-b) utilizamos la siguiente fórmula:

Sustituimos n, a y b por sus valores, dejando la variable k sin sustituir ya que no sabemos la posición que ocupa el término:

Operamos en los exponentes:

Multiplicamos las potencias de x, manteniendo la base y sumando los exponentes:

Tanto la potencia del -1 como el número combinatorio formarán parte del coeficiente del término. Lo que sabemos es que el exponente de la x es igual a 16, luego nos queda la siguiente ecuación de donde podemos despejar el valor de k:

Una vez sabemos el valor de k, los sustituimos en la fórmula:

Obtenemos el valor del número combinatorio, ya sea calculándolo o mediante el triángulo de Pascal. En este caso lo he calculado:

Una vez tenemos el valor del número combinatorio. terminamos de calcular el coeficiente:

Por tanto, el coeficiente de ese término es igual a 70.

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