En esta lección te voy a explicar qué es una función inversa y cómo la podemos calcular, con ejercicios resueltos paso a paso. Veremos también qué propiedades tiene la función inversa de una función.
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Qué es la función inversa
La función inversa de una función, representada por f -1, es aquella que cumple la siguiente condición:
Es decir, que si en una función, para x=a, el valor de la función es «b», entonces en la función inversa, para x=b, el valor de la función inversa es «a».
Por ejemplo, tenemos la siguiente función:
Si calculamos el valor de la función cuando x=1 nos da:
Por definición, entonces el valor de la función inversa cuando x=3 será de 1:
Vamos a comprobarlo.
La función inversa de la función anterior es (más abajo te enseño cómo calcular la función inversa no te preocupes):
Calculamos el valor de la función inversa cuando x=3:
Que es igual a 1, luego la condición se cumple
¿Todas las funciones tienen función inversa?
Sólo las funciones inyectivas tienen función inversa.
¿Y qué es una función inyectiva (que no te asuste el nombre)?
Pues son las funciones que a cada valor de «y», le corresponde un único valor de «x», como por ejemplo éstas:
Sabemos que una función es inyectiva cuando al trazar una línea horizontal en cualquier parte de la gráfica, la línea solamente corta una vez con la función.
Las funciones que no son inyectivas, para un valor de «y» le corresponde más de un valor de «x», es decir, que al trazar una línea horizontal, la línea corta más de una vez a la función, como por ejemplo:
¿Cómo podemos saber si una función es inyectiva sin ver su gráfica?
Generalmente, sabemos que una función es inyectiva, cuando el grado de la incógnita es 1. En estos casos, la funciones serán inyectivas y por tanto tendrán funciones inversas, ya sean funciones polinómicas, funciones racionales, irracionales exponenciales o logarítmicas.
Ninguna función periódica son funciones inyectivas, como son las funciones trigonométricas.
Por otro lado, por ejemplo las funciones cuadráticas, aunque no sean inyectivas en todo su dominio, si son inyectivas en parte del dominio y por tanto se puede obtener la función inversa para esa parte del dominio. Veremos cómo hacerlo más abajo.
Cómo calcular la función inversa
Vamos a ver ahora cómo calcular la función inversa paso a paso. Todas las funciones a las que calcularemos su función inversa, ya que como verás el grado de la incógnita es 1.
Pasos para calcular la función inversa
Los pasos para calcular al función inversa son los siguientes:
- A f(x) le llamamos «y»
- Despejamos x
- Intercambiamos la x por la «y»
- A «y» le llamamos f -1(x)
Por ejemplo, tenemos la siguiente función:
Primero a f(x) le llamamos «y»:
Despejamos x. Para ello primero pasamos el 1 restando al miembro contrario:
Y después pasamos el 2 dividiendo:
Intercambiamos la x por la «y»:
Y finalmente a «y» le llamamos f -1(x):
La dificultad de obtener la función inversa está en la forma de despejar la x. Dependiendo del tipo de función, la x se despeja con un procedimiento diferente.
Vamos a ver las mas importantes.
Función inversa de una función racional
Vamos a ver ahora cómo calcular la inversa de una función racional, como por ejemplo:
En primer lugar cambiamos f(x) por «y»:
Ahora despejamos x. En primer lugar pasamos 1+x multiplicando al primer miembro y la «y» dividiendo al segundo miembro:
Ahora pasamos el 1 restando al segundo miembro:
Intercambiamos la x por la «y»:
Y finalmente a «y» le llamamos f -1(x):
Vamos a ver otro ejemplo algo más complejo:
A f(x) le llamamos «y»:
Para despejar la x, en primer lugar pasamos el denominador multiplicando al primer miembro:
Multiplicamos para eliminar el paréntesis:
Pasamos los términos con x al primer miembro y el resto de términos al segundo miembro:
Ahora, en el primer miembro, sacamos factor común a la x:
Y por último, pasamos el paréntesis dividiendo al segundo miembro:
Una vez despejada la x, intercambiamos la x por la «y»:
Y a «y» le llamamos f -1(x):
Función inversa de una función irracional
Ahora te voy a explicar cómo calcular la función inversa de una función irracional, como por ejemplo:
Le llamamos «y» a f(x):
Pasamos la raíz como cuadrado al miembro contrario:
Y finalmente despejamos la x:
Intercambiamos la x y la «y»:
Y llamamos f -1(x) a la «y»:
Función inversa de una función exponencial
Seguimos con el cálculo de la función inversa de una función exponencial.
Por ejemplo:
A f(x) le llamamos «y»:
Para despejar la x, tomamos logaritmos en ambos miembros. La base de estos logaritmos debe ser la misma que la base de la función exponencial. En este caso, los logaritmos son de base 2:
Según las propiedades de los logaritmos, el logaritmo del segundo miembro es igual a x:
Una vez despejada la x, intercambiamos la x por la «y»:
Y llamamos f -1(x) a la «y»:
Función inversa de una función logarítmica
Vamos a ver ahora cómo calcular la función inversa de una función logarítmica.
Por ejemplo:
En primer lugar llamamos f(x) a «y»:
En este caso, para despejar la x, tenemos que aplicar de la definición de logaritmo: la base del logaritmo pasa al miembro contrario como base de una función exponencial, con la «y» como exponente. En el otro miembro se queda el contenido del logaritmo:
Ahora ya podemos despejar la x:
Intercambiamos la x por la «y»:
Y por último, a la «y» la llamamos f -1(x):
Calculo de la función inversa en funciones cuadráticas
Al principio de la lección dijimos que para una función tenga función inversa, la función debe ser inyectiva. Una función cuadrática no es inyectiva, porque para un mismo valor de «y» tenemos dos valore de x (menos en el vértice):
Por lo tanto, una función cuadrática no tiene función inversa, si consideramos todo su dominio. Sin embargo, si sólo tomamos la mitad de la función a partir del vértice, en esa parte del dominio, sí es inyectiva y por tanto sí tiene función inversa.
Por tanto, podemos calcular la función inversa de una función cuadrática en la parte del dominio donde la función es inyectiva. Así que, siempre hay que indicar para qué parte del dominio se calcula esa función inversa.
Vamos a ver cómo.
Por ejemplo:
Cambiamos f(x) por «y»:
Ahora empezamos a despejar la x. Para ello, dejamos sólo el término con x²:
Y después pasamos el cuadrado al término contrario como raíz:
Intercambiamos la x por la «y»:
Y por último, a la «y» la llamamos f -1(x):
Esta es la función inversa de la función cuadrática anterior, pero sólo para la parte que se queda a la derecha del vértice.
El vértice de una función cuadrática es:
Que en este caso sería:
Por lo que esta función inversa es válida para los valores de x mayores o iguales que 0. Para valores menores que 0, no se cumple la condición:
ya que quedaría una raíz negativa.
En este caso, la función inversa existe para valores mayores o iguales a 3, ya que f(0)=3.
Para obtener la otra parte de la función, la que queda a la izquierda del vértice, la función inversa sería la correspondiente a la parte negativa de la raíz cuadrada:
Vamos a ver ahora cómo calcular al función inversa de una función cuadrática completa:
Empezamos cambiando f(x) por «y»:
Ahora tenemos que obtener un producto notable con los dos primeros términos de la función cuadrática.
El primer término corresponde al cuadrado del primero, donde sabemos que el primero es x.
El segundo término debe ser el resultado de multiplicar el doble del primero por el segundo. Para ello, dividimos el número entre 2 (en este caso 6/2=3) y el resultado lo dejamos multiplicado por 2 para no variar el resultado:
Es decir, seguimos teniendo 6x, pero expresado como el doble del primero por el segundo, de donde deducimos que el segundo es 3, ya que ya sabíamos que el primero es x.
Por tanto, le añadimos el cuadrado del segundo y como se lo añadimos nosotros, también se lo restamos, para no variar la función. Nos queda:
Ahora, los 3 primeros términos corresponden a un producto notable, en este caso concretamente, al cuadrado de una resta, luego lo expresamos así y operamos los dos términos restantes:
Hemos hecho todo esto para que nos quede sólo una x que podremos despejar con facilidad. Empezamos dejando sólo el paréntesis:
Pasamos el cuadrado al miembro contrario como raíz:
Y finalmente despejamos la x pasando el 3 sumando al otro miembro:
Intercambiamos la x por al «y»:
Y a la «y» la llamamos f -1(x):
Igual que en el ejemplo anterior, esta función inversa es válida para la parte de la función que queda a la derecha del vértice.
En este caso el vértice es:
Por lo que la función inversa es válida para los valores de x mayores o iguales que 3. Para valores menores que 3 no existe la función inversa.
Para obtener la otra parte de la función, la que queda a la izquierda del vértice, la función inversa sería la correspondiente a la parte negativa de la raíz cuadrada:
Propiedades de la función inversa
Ahora que ya sabes cómo calcular al función inversa de una función, vamos a ver qué propiedades tiene.
El dominio de la función inversa es igual a la imagen de la función original:
Esta propiedad nos sirve para calcular la imagen de una función.
De igual forma, el dominio de la función original, será igual a la imagen de la función inversa:
La función compuesta por su función original es igual a x:
Vamos a ver un ejemplo. Tenemos la siguiente función:
Cuya función inversa es:
La función compuesta de ambas funciones es:
Que operando nos da x como resultado:
La última propiedad es que las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero.
Por ejemplo, vamos a representar en azul la función:
Y en rojo su función inversa:
Nos queda:
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