Cálculo de la recta tangente a una curva en un punto. Ejercicios resueltos.

Cálculo de la recta tangente a una curva en un punto. Ejercicios resueltos.

En esta lección te voy a explicar todo lo necesario para calcular la ecuación de la recta tangente a una curva definida por una función.

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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Cómo calcular la recta tangente a una curva en un punto

Para calcular la ecuación de la recta tangente, utilizaremos la ecuación punto-pendiente:

recta tangente a una curva

Por lo que necesitamos saber las coordenadas de un punto P que pase por la recta, que será el punto donde la recta es tangente a la curva y además, la pendiente de esa recta:

ecuacion dela recta tangente ejercicios resueltos

ejercicios recta tangente

Para calcular las coordenadas del punto donde la recta es tangente, si nos dan la coordenada x del punto, sólo tenemos que sustituir la x por la coordenada en la función y obtendremos la coordenada “y”, ya que la coordenada y coincide con el valor de la función para ese valor de x.

Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a un punto de una función coincide con el valor de la derivada de la función en ese punto:

recta tangente

Por lo que derivando la función de la curva y sustituyendo por el valor de x del punto donde es tangente la curva, obtendremos el valor de la pendiente m.

Si conocemos la pendiente m, pero no conocemos las coordenadas del punto donde la recta es tangente a la curva, se puede despejar la x a partir de la fórmula anterior.

Otras veces nos piden que la recta tangente debes ser paralela a otra recta dada. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que a partir de la recta dada, podemos obtener la pendiente.

Para que quede más claro, vamos a ver cada uno de estos casos con varios ejercicios resueltos.

Ejercicios resueltos de cálculo de la recta tangente a una curva

Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la recta tangente a la cura:

recta tangente ejercicios

en el punto x=-1.

Como he comentado antes, para el cálculo de la ecuación de la recta tangente, utilizaremos la ecuación punto-pendiente:

ejercicios de recta tangente

Necesitamos obtener las coordenadas del punto P,que será el punto donde la recta es tangente a la curva y la pendiente de la recta tangente:

ecuacion recta tangente ejercicios resueltos

recta tangente a una curva en un punto ejercicios resueltos

Vamos a calcular las coordenadas del punto P. Ya tenemos la coordenada x, ya que nos la da el enunciado. Para calcular la coordenada “y” sólo tenemos que sustituir la x por -1 en la función y operar:

ecuacion de la recta tangente

recta tangente y normal ejercicios resueltos

La coordenada “y” es y=3.

Por tanto, las coordenadas del punto P, donde la recta es tangente es:

ejercicios de tangente

Ahora vamos a calcular la pendiente de la recta tangente, que será igual a la derivada de la función en el punto P, es decir, cuando x=-1:

recta tangente a una curva en un punto

Por tanto, calculamos la derivada de la función:

ejercicios de la recta tangente

Si necesitas aprender a derivar o reforzar conceptos, te recomiendo el Curso de Derivadas, en el que aprenderás a derivar, paso a paso, desde el principio.

Obtenemos el valor de la derivada de la función para x=-1:

ecuacion de la recta tangente a la curva

ecuacion dela recta tangente en un punto dado

La pendiente de la recta es igual a 2.

Ya tenemos lo que necesitamos para calcular la ecuación de la recta:

pendiente dela recta tangente ejemplos

ecuacion recta tangente

Por tanto, en la ecuación punto-pendiente:

tangente ejercicios resueltos

Sustituimos las coordenadas del punto y la pendiente por sus valores:

recta tangente y recta normal a una curva en un punto ejemplos

Y operamos:

ejercicios de tangente resueltos

tangente a una curva

recta tangente ejercicios resueltos

Llegando a la ecuación de la recta tangente que estábamos buscando.

Vamos con otro ejercicio un poco diferente.

Ejercicio 2

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

ejemplos de tangente resueltos

para que dicha tangente sea paralela a la recta de ecuación:

recta tangente derivada ejercicios resueltos

En este caso no sabemos ninguna coordenada del punto donde la recta es tangente a la curva, pero nos dan el dato de que debe ser paralela a otra recta, por lo que indirectamente nos están dando la pendiente.

Igual que antes, la ecuación de la recta tangente la obtendremos a partir de la ecuación punto-pendiente:

calcular recta tangente

Por lo que necesitamos saber las coordenadas del punto y la pendiente:

problemas de tangente resueltos

calculadora de recta tangente

La pendiente la obtenemos a partir de la recta que nos da el enunciado. Vamos a calcular la pendiente de esa recta. Para ello despejamos la “y” y el número que quede delante de la x, será la pendiente:

recta tangente y recta normal a una curva en un punto

La pendiente de la recta que nos da el enunciado es -3, y como nos dice que es paralela a la recta tangente, la pendiente de la recta tangente también es -3:

ejercicio recta tangente

Ahora vamos a calcular las coordenadas del punto P.

Sabemos que la pendiente en cualquier punto de la curva es igual al valor de la derivada en ese punto:

ejercicios resueltos de recta tangente

Como ya sabemos la pendiente, sólo nos queda calcular la pendiente y obtendremos la coordenada x que cumple que la pendiente de la recta tangente a ese punto sea -3

Calculamos la derivada de la función:

recta tangente a la curva

La derivada de la función en un punto cualquiera será:

calcular recta tangente en un punto

La igualamos al valor de la pendiente:

recta tangente en un punto

Y nos queda una ecuación de primer grado, de la que tenemos que despejar X0, que es la coordenada x del punto que estamos buscando:

tangente de una curva

ejercicios recta tangente 2 bachillerato

Para calcular la coordenada “y”, obtenemos el valor de la función para x=-1, por lo que sustituimos la x por -1 en la función y operamos:

recta tangente a una curva ejercicios

ejercicios de recta tangente y normal

El valor de la función en x=-1 es 0, por lo que la coordenada y=0.

Ya tenemos la coordenadas del punto y el valor de la pendiente:

ejercicios de recta tangente a una curva

ejercicios de ecuacion de la recta tangente

En la ecuación punto pendiente:

recta tangente a una circunferencia ejercicios resueltos

Sustituimos la pendiente y las coordenadas del punto por sus valores:

problemas de recta tangente

Operamos:

ejercicios de rectas tangentes

recta tangente que pasa por un punto

Y llegamos finalmente a la ecuación de la recta tangente que cumple las condiciones que nos pide el resultado.

Vamos a resolver otro ejercicio de este estilo, un poco más complicado.

Ejercicio 3

Hallar, si existen, las coordenadas “x” e “y” de los puntos sobre la curva definida por la fórmula:

ejercicios resueltos recta tangente

Donde la recta tangente es paralela a la recta “r”, cuya ecuación es:

la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación x2−3x en el punto (-2, 1), es:

Este ejercicio es muy similar al anterior, solo que los cálculos son algo más complejos. Además no nos están pidiendo la ecuación de la recta, sino las coordenadas de los puntos donde la recta es tangente.

Empezamos calculando la pendiente de la recta que nos da el enunciado. Para ello debemos despejar la y:

pendiente de la recta tangente a una curva

pendiente de una recta tangente ejercicios resueltos

Separamos la fracción en dos términos y el valor de la pendiente es la fracción que queda delante de la x:

ecuación recta tangente

Como es paralela a la recta tangente que estamos buscando, la pendiente de la recta tangente es la misma:

ecuacion dela recta tangente derivada

Al igual que en el ejercicio anterior, la pendiente de la recta tangente a un punto de la cura, será igual al valor de la derivada en ese punto:

recta tangente formula

Por lo que a partir de esta igualdad, obtendremos los valores de x para los que la pendiente tiene ese valor.

Vamos a calcular la derivada de la función. En este caso tenemos un cociente dos funciones:

ecuacion de la recta tangente ejercicios

La derivada de un cociente es igual a la siguiente fórmula:

ecuacion dela recta tangente

Aplicamos la fórmula:

ecuacion de la recta tangente en un punto

Y operamos (mucho cuidado el signo menos que separa ambos términos en el denominador):

ecuacion recta tangente a una curva

ejercicios ecuacion recta tangente

La derivada de la función en cualquier punto será:

ejercicios de tangentes

Igualamos esta derivada a la pendiente calculada anteriormente:

calculo de la recta tangente

Nos queda una ecuación de la que tenemos que despejar X0.

En primer lugar multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores:

recta tangente ejemplos

Pasamos todos los términos al mismo miembro:

pendiente de una curva ejemplos

Operamos:

ejercicios de tangente resueltos faciles

Hemos llegado a una ecuación de segundo grado completa, que pasamos a resolver:

ejercicios resueltos de tangente

calcular la recta tangente

ejercicio de tangente

ejercicios recta tangente resueltos

Obtenemos dos solciones de x: x1=5 y x2=1

Para obtener la coordenada “y” de para cada valor x, calculamos el valor de la función:

hallar la recta tangente a una curva

Primero sustituimos la x por 5 y operamos:

hallar la ecuacion de la recta tangente

El valor de “y” es -5/2, por lo que el primer punto donde la recta es tangente es:

calculadora recta tangente

Hacemos lo mismo con x=1

ejercicios recta tangente 1 bachillerato

Por lo que las coordenadas del otro punto son:

ecuación de la recta tangente a la curva

Ejercicio 4

Calcula los valores de a, b y c en la función f(x)=ax²+bx+c, sabiendo que pasa por el punto (0,1) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (2,-1) es igual a 0.

Tenemos la siguiente función:

recta tangente a una funcion

Si pasa por el punto (0,1) quiere decir que el valor de la función en x=0 es 1:

ejemplos de recta tangente

Para obtener el valor de la función en x=o, sustituimos la x por 0 y la igualamos a 1:

ejercicios tangente

De donde obtenemos el valor de c:

la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación x2−3x en el punto (0, 1), es:

Por otro lado, el enunciado también nos habla de la pendiente en el punto (2,-1), lo que quiere decir que la función también pasa por ese punto, por lo que la función en x=2 es igual a -1:

ecuacion dela recta tangente en un punto dado ejercicios resueltos

Para obtener el valor de la función en x=2, sustituimos la x por 2 y la igualamos a -1:

ejercicios recta tangente y normal

Operamos y sustituimos c por su valor. Nos queda:

calcular la recta tangente en un punto

Dejamos los términos con a y b en el primer miembro y pasamos los números al segundo miembro:

ejercicios con tangente

Tenemos una ecuación que depende de a y b. Necesitamos otra ecuación para formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y poder hallar sus valores.

La pendiente de la recta tangente a la función en un punto es igual al valor de la derivada en ese punto. En primer lugar, obtenemos la derivada de f(x):

ecuacion recta tangente en un punto

El enunciado nos dice que la pendiente en x=2, es igual a 0, o lo que es lo mismo:

ecuacion dela recta tangente y normal derivadas ejercicios resueltos

Para obtener el valor de la derivada en x=2, sustituimos la x por 2 y la igualamos a 0:

formula recta tangente

Operamos y nos queda:

ejercicios resueltos recta tangente 2 bachillerato

Ya tenemos la segunda ecuación que nos faltaba, que junto con la anterior, forma el siguiente sistema, que pasamos a resolver:

tangentes a una curva

De la segunda ecuación despejamos b:

la ecuación de la recta tangente a la gráfica f(x)=x2 en el punto (1,2) es:

Sustituimos la expresión de b en la primera ecuación:

recta tangente a una funcion en un punto

Operamos para eliminar el paréntesis:

ecuacion de la recta tangente a la curva en un punto

Operamos en el primer miembro:

como calcular la recta tangente

Despejamos “a” y resolvemos:

ecuacion de la recta tangente a una curva

Este valor de “a” lo sustituimos en la expresión donde despejamos b:

ecuación de la recta tangente

Sustituimos y operamos, llegando al valor de b:

tangente ejercicios

Por tanto los valores de a, b y c son:

pendiente de la recta tangente

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