Cálculo de la recta tangente a una curva en un punto. Ejercicios resueltos.

En esta lección te voy a explicar todo lo necesario para calcular la ecuación de la recta tangente a una curva definida por una función.

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Cómo calcular la recta tangente a una curva en un punto

Para calcular la ecuación de la recta tangente, utilizaremos la ecuación punto-pendiente:

Por lo que necesitamos saber las coordenadas de un punto P que pase por la recta, que será el punto donde la recta es tangente a la curva y además, la pendiente de esa recta:

Para calcular las coordenadas del punto donde la recta es tangente, si nos dan la coordenada x del punto, sólo tenemos que sustituir la x por la coordenada en la función y obtendremos la coordenada “y”, ya que la coordenada y coincide con el valor de la función para ese valor de x.

Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a un punto de una función coincide con el valor de la derivada de la función en ese punto:

Por lo que derivando la función de la curva y sustituyendo por el valor de x del punto donde es tangente la curva, obtendremos el valor de la pendiente m.

Si conocemos la pendiente m, pero no conocemos las coordenadas del punto donde la recta es tangente a la curva, se puede despejar la x a partir de la fórmula anterior.

Otras veces nos piden que la recta tangente debes ser paralela a otra recta dada. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que a partir de la recta dada, podemos obtener la pendiente.

Para que quede más claro, vamos a ver cada uno de estos casos con varios ejercicios resueltos.

Ejercicios resueltos de cálculo de la recta tangente a una curva

Hallar la ecuación de la recta tangente a la cura:

en el punto x=-1.

Como he comentado antes, para el cálculo de la ecuación de la recta tangente, utilizaremos la ecuación punto-pendiente:

Necesitamos obtener las coordenadas del punto P,que será el punto donde la recta es tangente a la curva y la pendiente de la recta tangente:

Vamos a calcular las coordenadas del punto P. Ya tenemos la coordenada x, ya que nos la da el enunciado. Para calcular la coordenada “y” sólo tenemos que sustituir la x por -1 en la función y operar:

La coordenada “y” es y=3.

Por tanto, las coordenadas del punto P, donde la recta es tangente es:

Ahora vamos a calcular la pendiente de la recta tangente, que será igual a la derivada de la función en el punto P, es decir, cuando x=-1:

Por tanto, calculamos la derivada de la función:

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Obtenemos el valor de la derivada de la función para x=-1:

La pendiente de la recta es igual a 2.

Ya tenemos lo que necesitamos para calcular la ecuación de la recta:

Por tanto, en la ecuación punto-pendiente:

Sustituimos las coordenadas del punto y la pendiente por sus valores:

Y operamos:

Llegando a la ecuación de la recta tangente que estábamos buscando.

Vamos con otro ejercicio un poco diferente.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

para que dicha tangente sea paralela a la recta de ecuación:

En este caso no sabemos ninguna coordenada del punto donde la recta es tangente a la curva, pero nos dan el dato de que debe ser paralela a otra recta, por lo que indirectamente nos están dando la pendiente.

Igual que antes, la ecuación de la recta tangente la obtendremos a partir de la ecuación punto-pendiente:

Por lo que necesitamos saber las coordenadas del punto y la pendiente:

La pendiente la obtenemos a partir de la recta que nos da el enunciado. Vamos a calcular la pendiente de esa recta. Para ello despejamos la “y” y el número que quede delante de la x, será la pendiente:

La pendiente de la recta que nos da el enunciado es -3, y como nos dice que es paralela a la recta tangente, la pendiente de la recta tangente también es -3:

Ahora vamos a calcular las coordenadas del punto P.

Sabemos que la pendiente en cualquier punto de la curva es igual al valor de la derivada en ese punto:

Como ya sabemos la pendiente, sólo nos queda calcular la pendiente y obtendremos la coordenada x que cumple que la pendiente de la recta tangente a ese punto sea -3

Calculamos la derivada de la función:

La derivada de la función en un punto cualquiera será:

La igualamos al valor de la pendiente:

Y nos queda una ecuación de primer grado, de la que tenemos que despejar X0, que es la coordenada x del punto que estamos buscando:

Para calcular la coordenada “y”, obtenemos el valor de la función para x=-1, por lo que sustituimos la x por -1 en la función y operamos:

El valor de la función en x=-1 es 0, por lo que la coordenada y=0.

Ya tenemos la coordenadas del punto y el valor de la pendiente:

En la ecuación punto pendiente:

Sustituimos la pendiente y las coordenadas del punto por sus valores:

Operamos:

Y llegamos finalmente a la ecuación de la recta tangente que cumple las condiciones que nos pide el resultado.

Vamos a resolver otro ejercicio de este estilo, un poco más complicado.

Hallar, si existen, las coordenadas “x” e “y” de los puntos sobre la curva definida por la fórmula:

Donde la recta tangente es paralela a la recta “r”, cuya ecuación es:

Este ejercicio es muy similar al anterior, solo que los cálculos son algo más complejos. Además no nos están pidiendo la ecuación de la recta, sino las coordenadas de los puntos donde la recta es tangente.

Empezamos calculando la pendiente de la recta que nos da el enunciado. Para ello debemos despejar la y:

Separamos la fracción en dos términos y el valor de la pendiente es la fracción que queda delante de la x:

Como es paralela a la recta tangente que estamos buscando, la pendiente de la recta tangente es la misma:

Al igual que en el ejercicio anterior, la pendiente de la recta tangente a un punto de la cura, será igual al valor de la derivada en ese punto:

Por lo que a partir de esta igualdad, obtendremos los valores de x para los que la pendiente tiene ese valor.

Vamos a calcular la derivada de la función. En este caso tenemos un cociente dos funciones:

La derivada de un cociente es igual a la siguiente fórmula:

Aplicamos la fórmula:

Y operamos (mucho cuidado el signo menos que separa ambos términos en el denominador):

La derivada de la función en cualquier punto será:

Igualamos esta derivada a la pendiente calculada anteriormente:

Nos queda una ecuación de la que tenemos que despejar X0.

En primer lugar multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores:

Pasamos todos los términos al mismo miembro:

Operamos:

Hemos llegado a una ecuación de segundo grado completa, que pasamos a resolver:

Obtenemos dos solciones de x: x1=5 y x2=1

Para obtener la coordenada “y” de para cada valor x, calculamos el valor de la función:

Primero sustituimos la x por 5 y operamos:

El valor de “y” es -5/2, por lo que el primer punto donde la recta es tangente es:

Hacemos lo mismo con x=1

Por lo que las coordenadas del otro punto son:

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