Cálculo de límites de funciones definidas a trozos. Ejercicios resueltos

Cálculo de límites de funciones definidas a trozos. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar cómo resolver límites de funciones definidas a trozos.

Te explicaré cómo resolver los límites cuando la x tiende al punto donde la función cambia de tramo y también cuando la x tiende a cualquier valor.

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Límites de funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son aquellas que están definidas en varios tramos, dependiendo del valor que tome la x. Al valor de la x donde la función cambia de tramo se le llama punto de ruptura y puede haber más de uno.

Pueden tener por ejemplo esta forma:

donde en este caso, el punto de ruptura sería el punto a.

En general, para resolver los límites de funciones, tenemos que sustituir la x por el valor al que tiende y después aplicar un método de cálculo u otro, dependiendo si resulta una indeterminación o no, como hemos visto en lecciones anteriores.

Sin embargo, en las funciones definidas a trozos, al tener varios tramos ¿en qué tramo debemos sustituir la x para resolver el límite? ¿Y cómo se resuelve el límite cuando la x tiende al punto de ruptura?

Vamos a ir respondiendo a estas preguntas al mismo tiempo que vamos resolviendo algunos ejercicios.

Cómo calcular límites de funciones definidas a trozos cuando la x tiende a cualquier valor

Vamos a ver ahora cómo resolver límites de funciones definidas a trozos cuando la x tiende a cualquier valor que pertenezca a uno de los tramos

Por ejemplo, tenemos la siguiente función definida a trozos:

La función está definida de la siguiente manera:

  • En el primer tramo para valores menores de 1, o en otras palabras, para que están a la izquierda de 1.
  • En el segundo tramo para valores de x mayores o iguales que 1 y menores que 2, o para valores que están a la derecha de 1 y a la izquierda de 2.
  • En el tercer tramo para valores de x mayores o iguales que 2, es decir, para valores que están a la derecha de 2.

La función cambia de tramo en x=1 y también en x=2.

Vamos a calcula por ejemplo el límite de la función cuando x tiende a cero:

Para resolver este límite tenemos que sustituir la x por cero, pero ¿en cuál de los tres tramos?

Pues tenemos que elegir el tramo en el cual está definida la función para x=0, es decir, el primer tramo, que está definido para valores menores que 1:

Ahora sustituimos la x por cero y obtenemos el valor del límite cuando x tiende a cero:

Vamos  a calcular ahora el límite de la función cuando x tiende a 4:

La función está definida para mayores iguales o mayores que 2 en el tercer tramo, por tanto, es ese tramo el que tenemos que elegir en este caso para calcular el límite:

Ahora sólo nos queda sustituir la x por 4 y obtenemos la solución del límite:

Como ves, para resolver el límite de una función definida a a trozos cuando x tiende a un punto en concreto, tan sólo tenemos que elegir el tramo para el cual está definida la función en ese punto, para después sustituir la x por el valor al que tienda y obtendremos la solución.

Cómo calcular límites de funciones definidas a trozos cuando la x tiende al punto de ruptura

El límite de una función es el valor al que se va aproximando esa función cuando x tiende a un determinado punto, tanto por la izquierda como por la derecha.

Los puntos de ruptura de una función definida a trozos son los puntos donde la función cambia de tramo, es decir, cuando x tiende un punto de ruptura por la izquierda lo hace desde un tramo y cuando x tiende a un punto de ruptura por la derecha lo hace desde otro tramo.

Entonces, ¿cómo se calcula el límite de la función cuando x tiende a los puntos de ruptura? ¿Qué tramo hay que elegir en ese caso?

Pues no queda más remedio que utilizar los límites laterales.

Habrá que calcular el límite cuando x tiende al punto por la izquierda, eligiendo el tramo en el que esté definido para esos valores y hacer lo mismo para calcular el límite cuando x tiende al punto por la derecha. Si coinciden en un valor, ese será el valor del límite en ese punto, pero si los límites laterales no coinciden, entones el límite de la función en ese punto no existe.

Vamos a ver todo esto más despacio siguiendo con la función definida a trozos del ejemplo anterior:

Vamos a calcular el límite de la función cuando x tiende a 1, que es uno de los puntos de ruptura:

Como acabamos de decir, necesitamos calcular este límite por medio de los límites laterales. Empezamos con el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda:

La función está definida para valores menores que 1 en el primer tramo, por lo que cuando x se aproxima a -1 por la izquierda lo hace a través del primer tramo, por tanto, es éste el que hay que elegir para calcular el límite de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda:

Seguimos con el límite de la función cuando x tiende a 1 por al derecha:

La función está definida para valores mayores o iguales que 1 en el segundo tramo, por lo que cuando x se aproxima a -1 por la derecha lo hace a través del segundo tramo. Elegimos este tramo para calcular el límite de la función cuando x tiende a 1 por la derecha:

Los resultados de los límites laterales no coinciden, por tanto, no existe el límite de la función cuando x tiende a 1:

Vamos a calcular ahora el límite de cuando x tiende a 2, que es el otro punto de ruptura:

Igual que antes, utilizamos los límites laterales. Empezamos con el límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda:

La función se aproxima a 2 por la izquierda con el segundo tramo, ya que este tramo está definido para los valores que son menores que 2:

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha:

El tramo en el que la función está definida para los valores que quedan a la derecha de 2 es el tercero, por lo que utilizamos este tramo para calcular el límite cuando x tiende a 2 por la derecha:

El resultado de los límites laterales coincide y es igual a 3, por lo que el límite de la función cuando x tiende a 2 es igual a 3:

Ejercicios propuestos

1- Calcular el límite de la siguiente función cuando x tiende a 2 y cuando x tiende a 4:

2- Calcular el límite de la siguiente función cuando x tiende a 0 y cuando x tiende a 3:

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