Cálculo de probabilidades de sucesos compatibles e incompatibles

En esta lección te voy a explicar cómo calcular la probabilidad de un suceso aislado y también cómo calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos cuando son compatibles y cuando son incompatibles.

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Ley de Laplace

La Ley de Laplace no es nada más que la fórmula para calcular la probabilidad de que ocurra un suceso aislado.

Cuando en experimento aleatorio, todos los sucesos tienen la misma probabilidad de salir, la probabilidad de que ocurra un suceso A es:

En el numerador colocamos el número de casos favorables para que ocurra el suceso A y en el denominador colocamos el número de sucesos posible.

Por ejemplo, en un dado, ¿que probabilidad hay que obtener un 2?

En este caso, el número de casos favorables es 1, ya que el dado sólo tiene un 2. El número de casos posible es 6, que son los números que tiene un dado.

Por tanto, la probabilidad de que salga un 2 la podemos escribir como P(2) y es igual a:

El valor de la probabilidad de que ocurra un suceso A estará comprendido entre 0 y 1:

Siendo 1 la probabilidad del suceso seguro (va a ocurrir siempre) y 0 la probabilidad del suceso imposible (no va a ocurrir nunca).

Cómo calcular la probabilidad de que ocurra A o B, si los sucesos son incompatibles

Si A y B son dos sucesos incompatibles, es decir, que no pueden ocurrir a la vez, la probabilidad de que ocurra A o de que ocurra B será la suma de las probabilidades de que ocurra cada suceso por separado

P(A ∪ B) se lee: la probabilidad de que ocurra A o B.

Por ejemplo, en una bolsa tenemos 4 bolas: una negra, otra blanca, otra azul y otra roja. Tienes que extraer una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca o negra?

El suceso “sacar bola blanca” y el suceso “sacar bola negra” son dos sucesos incompatibles porque no podemos sacar una bola blanca y una negra a la vez, por tanto, la probabilidad de sacar una bola y que ésta sea blanca o negra será la suma de cada probabilidad por separado:

La probabilidad sacar una bola blanca es:

La probabilidad de sacar una bola negra es:

Por tanto, la probabilidad de sacar una bola blanca o negra es:

Cómo calcular la probabilidad de que ocurra A o B, si los sucesos son compatibles

Si A y B son dos sucesos compatibles, es decir, que pueden ocurrir a la vez, entonces la probabilidad de que ocurra A o B será:

P(A ∩ B) se lee: la probabilidad de que ocurra A y B.

Esta vez a la suma de las probabilidades de que ocurran cada suceso por separado hay que restarle la probabilidad de que sucedan los dos sucesos a la vez

Por ejemplo, calcular la probabilidad de que al lanzar un dado, el número obtenido sea par o que sea un 4.

En este caso el suceso “sacar número par” y el suceso “sacar un 4” con compatibles ya que si sacamos un 4 están ocurriendo los dos sucesos a la vez.

Por tanto, la probabilidad de sacar 4 o un número par la calcularemos con la fórmula:

La probabilidad de sacar un número par es:

La probabilidad de sacar un 4 es:

La probabilidad de sacar un número par y un 4 es:

Solo hay una posibilidad entre 6 ya que el 4 es el único número que cumple los dos sucesos a la vez.

Finalmente, la probabilidad de de sacar un número par o 4 es:

Que sustituyendo cada término por su valor nos queda:

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