Cálculo de una integral definida por las sumas de Riemann

En esta lección te voy a explicar cómo obtener la expresión para calcular una integral definida utilizando las sumas de Riemann.

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Interpretación geométrica de las sumas de Riemann

Una integral definida en un intervalo [a,b] nos da el valor del área encerrada entre una función f(x) y el eje x en un intervalo [a,b], siempre que la función sea continua.

Otra forma de calcular el área encerrada debajo de una curva, sería dividiendo el área en rectángulos iguales y sumando el área de cada uno de los rectángulos, aunque este cálculo sería aproximado:

sumas de Riemann

Si cogemos uno de esos rectángulos:

sumas de Riemann

La base sería la diferencia de dos valores de x y la altura sería el valor de la función para X=Xi

sumas de Riemann

El área de cada rectángulo la obtendríamos multiplicando la base por la altura y quedaría:

sumas de Riemann

Si los rectángulos los hacemos cada vez más pequeños, el cálculo del área se hace cada vez más exacto

sumas de Riemann

Y si los rectángulos los hacemos infinitamente pequeños y tenemos infinitos rectángulos, la suma infinita de esos rectángulos sería el área exacta del área encerrada debajo de esa función y sería igual a la integral definida de esa función para un intervalo [a,b]:

sumas de Riemann

De donde obtenemos la expresión utilizada para resolver integrales definidas por sumas de Riemann, en la que, como hemos visto antes, el área de cada rectángulo sería igual a:

sumas de Riemann

Donde el valor del incremento de x para un intervalo [a,b] lo definiremos como:

sumas de Riemann

Y el valor de Xi como:

sumas de Riemann

Todo esto se entiende mucho más claro con un ejemplo, que es lo que vamos a ver a continuación

Ejemplo de cómo obtener la expresión para calcular una integral por las sumas de Riemann

Obtener la expresión de las sumas de Riemann de la siguiente integral:

sumas de Riemann

La función en este caso es:

sumas de Riemann

Para un intervalo [0,3], por tanto a=0 y b=3.

Definimos el incremento de x para ese intervalo:

sumas de Riemann

Y con esta expresión de incremento de x, calculamos Xi:

sumas de RiemannAhora obtenemos la función para X=Xi, sustituyendo la x por Xi en la función original:

sumas de Riemann

Calculamos el área de cada rectángulo, multiplicando las expresiones obtenidas de  f(Xi) y del incremento de x:

Y nos queda:

Por lo que el valor de la integral por sumas de Riemann es:

Y para obtener el resultado del área, tendríamos que resolver el límite del sumatorio, que lo veremos en el siguiente apartado.

Cómo resolver una integral por las sumas de Riemann

Vamos a resolver la expresión que nos quedó en el apartado anterior y por tanto resolveremos la integral por sumas de Riemann.

Partimos de la expresión anterior:

Resolvemos el paréntesis elevando al cubo:

Y multiplicamos ambas fracciones:

Lo sea constante lo podemos sacar fuera del sumatorio. Todo lo que no lleve i, se considera constante, por lo que sacamos los términos que no llevan i fuera del sumatorio:

Llegados a este punto el sumatorio de i elevado al curo desde i=0 hasta n es igual a esta fórmula:

Se puede demostrar pero no es el objetivo de esta lección.

Sustituimos el sumatorio por su expresión, según la fórmula anterior:

Multiplicamos el paréntesis:

Y simplificamos términos:

Y al resolver el límite nos queda:

El resultado está en unidades cuadradas porque estamos calculando un área.

Para demostrar que el resultado es correcto, voy a resolver la integral definida por la regla de Barrow:

Y como no podía ser de otra forma, el resultado es el mismo.

Fórmula de sumatorios para resolver sumas de Riemann

Por último, te dejo aquí las fórmulas de los sumatorios desde le sumatorio de 1 hasta el sumatorio de i al cubo (que hemos utilizado en el ejemplo), desde 1=0 hasta n, que vas a necesitar para resolver integrales con las sumas de Riemann:

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