Carga equilibrada en triángulo en sistemas trifásicos. Fórmulas y ejercicios resueltos

En un sistema trifásico podemos conectar cargas conectadas en triángulo. En esta lección te explicaré las cargas equilibradas en triángulo. Veremos las fórmulas que se necesitan para calcular la intensidad de línea y de fase que absorbe la carga, así como las fórmulas para calcular las potencias activa, reactiva y aparente.

¡Empezamos!

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Intensidades y tensiones de la carga equilibrada en triángulo

Tenemos un receptor trifásico con tres cargas conectadas en triángulo, es decir, cada uno de los bornes de la carga se conectan entre sí formando un triángulo y de los vértices del triángulo se obtienen los tres terminales de la carga:

En una conexión en triángulo, la tensión de línea es igual a la tensión de fase:

y la intensidad de línea es igual a raíz de 3 veces la intensidad de fase (más abajo demostraremos de dónde viene esta relación):

La carga está equilibrada, por lo que la impedancia en cada una de las fases es la misma:

Aplicando la ley de Ohm en cada fase, obtenemos el valor de la intensidad por fase:

Las tensiones de línea (que son iguales a las de fase) están desfasadas entre sí 120º y tienen el mismo valor eficaz. Tomando como referencia en los 0º la tensión entre los puntos 1 y 0, el diagrama vectorial de las tensiones de fase es el siguiente:

Por otro lado, como las impedancias y las tensiones en cada fase tienen el mismo valor, las intensidades de fase también serán iguales en módulo:

Como las tensiones de fase están desfasadas entre sí 120º, las corrientes de fase también quedan desfasadas entre sí otros 120º con un ángulo de desfase φ respecto a su respectiva tensión de fase:

Además, en la línea trifásica que alimenta las cargas aparecen otras tres corrientes, que corresponden a las corrientes de línea I1, I2 y I3.

Las corrientes de línea se generan a partir de la composición de las intensidades de fase, aplicando la primera ley de Kirchhoff en cada uno de los vértices del triángulo:

Dibujamos el diagrama vectorial, en el que se puede comprobar que las intensidades de línea se obtienen realizando las operaciones de suma vectorial de sus respectivas intensidades de fase y que a su vez están desfasadas entre ellas 120º:

Diagrama vectorial de tensiones e intensidades de una conexión en triángulo

El diagrama vectorial de tensiones e intensidades en una conexión en triángulo queda de la siguiente manera:

En el que las tensiones de línea (iguales a las de fase) están desfasadas unas de otras 120º y las corrientes de línea están retrasadas un ángulo φ con respecto a cada una de sus tensiones de línea correspondientes.

Como se ha conectado a una carga equilibrada, las corrientes son iguales en módulo y también están desfasadas entre sí 120º.

Tal y como hemos comentado antes, las intensidades de línea se obtienen a partir de la suma vectorial de las intensidades de fase.

Relación entre la intensidad de fase y de línea en una conexión en triángulo

Al principio de la lección hemos comentado que en una conexión en triángulo, la intensidad de línea es igual a raíz de 3 veces la intensidad de fase:

Veamos de dónde se obtiene esta relación.

Tenemos el siguiente diagrama vectorial, donde hemos representado las intensidades de fase y las de línea:

Las intensidades de fase están desfasadas entre sí 120º, por lo que si nos quedamos con el triángulo formado por I3, I31 y -I23, el ángulo entre las intensidades de fase I31 y -I23 es de 120º.

Se forma un triángulo isósceles, en el que los otros dos ángulos α son iguales:

Como los ángulos de un triángulo forman 180º, podemos despejar cuál es el valor del ángulo α:

Por lo que el triángulo nos queda así:

Si dividimos el triángulo en dos desde el vértice de I31, obtenemos dos triángulos rectángulos iguales.

Nos quedamos con el triángulo rectángulo de la izquierda y lo reorientamos para que la intensidad I3 quede abajo en horizontal, que al ser la mitad, tiene un valor de la mitad de I3. En la hipotenusa nos queda la intensidad de fase I31:

 

En este triángulo, el coseno del ángulo es igual a la mitad de la intensidad I3, dividida entre I31:

Despejamos I3 y nos queda:

Por otro lado, sabemos que el coseno de 30º es igual  a raíz de 3 entre 2:

En la expresión anterior sustituimos coseno de 30º por su valor:

Operamos y nos queda:

Como I3 es una intensidad de línea e I31 es una intensidad de fase y esto se repite para cada una de las fases, nos queda que la intensidad de línea es igual a raíz de 3 veces la intensidad de fase:

Y esta es la relación entre la  intensidad de línea y la intensidad de fase de una carga conectada en triángulo a un sistema trifásico.

Potencias de una carga equilibrada en triángulo

Vamos a ver ahora cómo calcular las potencias que se desarrollan en una carga equilibrada en triángulo conectada a un sistema trifásico.

Veremos cómo calcular la potencia activa, la potencia activa y la potencia aparente.

Potencia activa de una carga equilibrada en triángulo

La potencia activa de una carga equilibrada conectada en triángulo la podemos calcular sumando la potencia activa en cada una de las cargas conectadas a cada fase, que se calcula multiplicando la tensión de fase por la intensidad de fase y por el coseno del ángulo de desfase de cada fase:

Como el sistema está equilibrado, las tensiones de fase, las corrientes de fase y los factores de potencia de cada fase son iguales, por lo que la potencia activa la podemos poner como 3 veces la tensión de fase, por la intensidad de fase por el factor de potencia:

En una conexión en triángulo, la tensión de fase es igual a la tensión de línea:

Y la intensidad de fase es igual a la intensidad de línea entre raíz de 3:

Si sustituimos la intensidad y la tensión de fase por sus equivalencias con la intensidad y la tensión de línea nos queda:

Racionalizamos multiplicando y dividiendo por raíz de 3, para evitar tener una raíz en el denominador y operamos:

Nos queda la potencia activa en función de la intensidad y la tensión de línea del sistema trifásico.

Potencia reactiva de una carga equilibrada en triángulo

Siguiendo el mismo procedimiento que para la potencia activa, la potencia reactiva de una carga conectada en triángulo es:

Potencia aparente de una carga equilibrada en triángulo

Finalmente, la potencia aparente de una carga equilibrada en triángulo la podemos calcular con la siguiente fórmula:

Como ves, las fórmulas de las potencias son las mismas que se utilizan para las cargas conectadas en estrella, solo que hay que tener cuidado ya que varían los valores de tensiones e intensidades.

Ejercicios resueltos sobre cargas equilibradas en triángulo

Ejercicio 1

Un motor trifásico tiene sus bobinas conectadas en triángulo. Calcula qué corriente absorberá de la línea trifásica de 400 V, si al conectarlo desarrolla una potencia de 15 kW y un factor de potencia de 0,7, así como la tensión y la corriente que aparece en cada una de las fases. Calcula también la potencia reactiva y aparente del motor.

Sabemos la potencia activa que consume el motor, la tensión de línea y el factor de potencia, por lo que de la fórmula de la potencia:

Despejamos la intensidad de línea:

Sustituimos la potencia, la intensidad de línea y el factor de potencia por sus valores y operamos (la potencia debe estar en W para que la intensidad sea en A):

Calculamos el ángulo de desfase a partir de la fórmula inversa del coseno:

Una vez tenemos la intensidad de línea y el ángulo de desfase, podemos calcular la intensidad reactiva con la siguiente fórmula:

Sustituimos valores y operamos:

Utilizamos la siguiente fórmula para calcular la potencia aparente:

Sustituimos valores y operamos:

Al estar las bobinas del motor conectadas en triángulo, la tensión de línea es igual a la tensión de fase:

Y la intensidad de línea es igual a raíz de 3 veces la intensidad de fase:

Por lo que despejamos la intensidad de fase y operamos para obtener su valor:

Ejercicio 2

Se conectan en triángulo tres bobinas iguales a una red trifásica con una tensión de línea de 400 V y 50 Hz. Cada una de las bobinas posee 10 Ω de resistencia óhmica y 30 Ω de reactancia inductiva. Calcular la intensidad de línea, el factor de potencia y las potencias activa, reactiva y aparente.

Para calcular la intensidad de línea, vamos a calcular que circula por cada una de las fases, ya que tienen el mismo valor.

Empezamos calculando la impedancia de cada una de las fases, que la calculamos como:

Sustituimos los valores de la resistencia y la reactancia por sus valores y operamos:

Aprovechamos para calcular el ángulo de desfase con la función inversa de la tangente, deducida a partir del triángulo de impedancias de cada fase:

Sustituimos valores y operamos:

Por otro lado, la tensión de línea es igual a la tensión de fase:

Con los datos que tenemos, ya podemos calcular la intensidad de fase, aplicando la ley de Ohm, dividiendo la tensión de fase entre la impedancia:

Sustituimos valores, operamos y nos queda:

Al ser una carga conectada en triángulo, la intensidad de línea es igual a raíz de 3 veces la intensidad de fase:

Pasamos ahora a calcular las potencias.

La potencia activa la calculamos con la siguiente fórmula:

Sustituimos valores y operamos:

Calculamos la potencia reactiva:

Y finalmente la potencia aparente:

El factor de potencia es igual al coseno de φ:

Ejercicio 3

Se desea conectar a una red trifásica, con neutro y con una tensión de línea de 230 V, 60 lámparas incandescentes de 100 W y 230 V. Realizar la conexión de las lámparas para conseguir que la carga esté equilibrada y calcular la corriente absorbida por la línea que las alimenta, así como la potencia del conjunto y por fase.

Como las lámparas funcionan a 230 V, que es igual a la tensión de línea, podemos conectarlas sin problema a la red trifásica.

Para que la carga sea equilibrada, las repartimos en 3 grupos de 20 lámparas entre cada dos fases.

La potencia consumida en cada fase será igual a 20 lamparas por la potencia unitaria de cada lámpara:

La potencia total de la carga es igual a la potencia de las 60 lámparas:

Una vez obtenida la potencia, como también conocemos la tensión de línea y el coseno de φ en las lámparas de incandescencia es igual a 1:

podemos despejar la intensidad de línea en la fórmula de la potencia:

Sustituimos valores y operamos:

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