Circuito en serie RL en corriente alterna. Análisis y diagrama vectorial

A continuación te voy a explicar los circuitos en serie RL, es decir, los que se componen de una resistencia y una bobina en serie. Veremos cómo calcular la intensidad, tensiones, impedancia y potencias en estos tipos de circuitos.

¡Empezamos!

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Qué es un circuito en serie RL

Un circuito RL en serie es un circuito donde tenemos conectados en serie una resistencia y una bobina (reactancia inductiva) a una fuente de tensión:

Al estar conectados en serie, aparece una única corriente I, común para los dos elementos, cuyo valor dependerá del efecto combinado de la resistencia y de la reactancia inductiva.

La combinación de los efectos limitadores de la corriente producidos por la resistencia y la bobina se conoce por el nombre de impedancia. Se representa por la letra Z y se mide en Ω.

El valor de la impedancia se calcula con la siguiente fórmula (veremos más abajo de dónde se obtiene):

La impedancia es igual a la raíz cuadrada de la resistencia al cuadrado más la reactancia inductiva al cuadrado.

Conocido el valor de la impedancia, podemos calcular el valor de la corriente del circuito aplicando la ley de Ohm:

Vamos a ver ahora cómo calcular la tensión total del circuito RL.

Para ello, por un lado vamos a calcular la caída de tensión en la resistencia, multiplicando la intensidad por la resistencia:

y por otro lado, la caída de tensión en la reactancia inductiva, multiplicando la intensidad por la reactancia inductiva:

Al tratarse de un circuito en serie, se puede pensar que la tensión total es la suma de la tensión en la resistencia más la tensión reactancia inductiva, pero eso es incorrecto.

La tensión total es igual a la suma vectorial de la tensión en la resistencia más la la tensión reactancia inductiva:

Diagrama vectorial del circuito en serie RL

Vamos a ver paso a paso como sería el diagrama vectorial.

Empezamos colocando la intensidad como referencia un ángulo de 0º:

La tensión de la resistencia Vr, queda en fase con la intensidad:

En una bobina, la intensidad está retrasada 90º con respecto a la tensión:

Como ahora la intensidad la tenemos en el eje x, la tensión en la bobina Vl, queda adelantada a la intensidad 90º. Que la intensidad quede 90º retrasada con respecto a la tensión es lo mismo que la tensión esté adelantada 90º con respecto a la intensidad. Es como si el diagrama anterior, lo giramos 90º hacia la izquierda, quedando la intensidad en el eje x  y la tensión en la bobina en el eje «y».

Por tanto, la tensión en al bobina en nuestro diagrama queda así:

Ahora realizamos la suma gráfica de los vectores Vr y Vl, danto como resultado el vector de la tensión total, Vt, que queda adelantado un ángulo φ con respecto a la corriente:

Triángulo de tensiones del circuito en serie RL

Si nos llevamos el origen del vector Vl al extremo de Vr, nos queda lo que se llama el triángulo de tensiones:

Es decir, tenemos un triángulo rectángulo, en el que la hipotenusa corresponde a la tensión total, la tensión en la resistencia corresponde al cateto mayor y la tensión en la bobina al cateto menor.

Por tanto, al ser un triángulo rectángulo, las tensiones están relacionadas por la teorema de Pitágoras, que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado:

De donde podemos despejar la tensión total, pasando el cuadrado del primer miembro al segundo miembro como raíz:

Y tenemos el valor de al tensión total, como la raíz cuadrada de la tensión de la resistencia al cuadrado más la tensión en la bobina al cuadrado.

Por otro lado, gracias a las razones trigonométricas, si conocemos el valor de la tensión total y el ángulo que forma, podemos calcular el valor de sus componentes, es decir, de la tensión en la resistencia y de la tensión en la bobina.

En el triángulo de tensiones, el seno del ángulo φ es igual a la tensión en la bobina entre la tensión total:

Pasando la tensión total, que está dividiendo en el segundo miembro, multiplicando al primer miembro, nos queda despejada la tensión en la bobina, que es igual a la tensión total por el seno de φ:

El coseno del ángulo φ es igual a al tensión en la resistencia entre la tensión total:

Pasando la tensión total, que está dividiendo en el segundo miembro, multiplicando al primer miembro, nos queda despejada la tensión en la resistencia, que es igual a la tensión total por el coseno de φ:

Si queremos calcular el ángulo de la tensión total, conocidas las tensiones en la resistencia y en la bobina, lo realizaremos por medio de la tangente del ángulo φ, que es igual a la tensión en la bobina entre la tensión en la resistencia:

Despejamos el ángulo φ con el arco tangente (función inversa de la tangente) y nos queda:

Con las funciones inversas del seno y el coseno también podemos calcular el ángulo φ:

Triángulo de impedancias del circuito en serie RL

A partir del triángulo de tensiones podemos llegar al triángulo de impedancias.

Sabemos que la tensión total es igual a la intensidad por la impedancia:

La tensión en la resistencia es igual a la intensidad por el valor de la resistencia:

Y la tensión en la bobina es igual a la intensidad por el valor de la reactancia inductiva:

Que en en triángulo de tensiones queda:

Si dividimos cada tensión entre la intensidad nos queda el triángulo de impedancias:

Donde ahora, la hipotenusa es Z, el cateto mayor es R y el cateto menor es XL.

Por el teorema de Pitágoras, tenemos que la impedancia al cuadrado es igual a la resistencia al cuadrado más la reactancia inductiva al cuadrado:

Despejamos la impedancia Z pasando el cuadrado del primer miembro al segundo miembro como raíz:

El seno del ángulo φ es igual a la reactancia inductiva entre la impedancia:

Podemos despejar la reactancia inductiva pasando la impedancia que está dividiendo en el segundo miembro, multiplicando al primer miembro, quedando que la reactancia inductiva es igual a la impedancia por el seno de φ:

El coseno del ángulo φ es igual a la resistencia entre la impedancia

Si despejamos la resistencia, nos queda que R es igual a Z por el coseno de φ:

La tangente de φ es igual a la reactancia inductiva entre la resistencia:

De donde podemos obtener el valor de φ, despejada como el arco tangente de la reactancia inductiva entre la resistencia:

Con las funciones inversas del seno y el coseno también podemos calcular el ángulo φ:

El ángulo obtenido es el mismo que el ángulo de desfase entre tensión e intensidad ya que este triángulo lo hemos construido dividiendo los lados del triángulo de tensiones entre la intensidad y el ángulo no ha variado.

Potencia en un circuito RL

En un circuito con una resistencia y una bobina en serie existe un consumo de energía eléctrica que se transforma en calor debido a la resistencia R. Por otro lado, en la bobina, existen cargas y descargas constantes de energía en forma de campo magnético, que dan lugar a que en el mismo circuito coexistan diferentes tipos de potencias.

Vamos a ver cómo calcular cada una de estas potencias

Potencia activa

Este tipo de potencia es la que se transforma en calor en la resistencia. Es la única potencia que se consume en el circuito y por tanto es la que debe aportar el generador. Es la que miden los vatímetros.

Se representa con la letra P y se mide en vatios (W).

Se puede calcular multiplicando el valor de la resistencia por la intensidad al cuadrado:

Por la ley de Ohm, la resistencia es igual a la tensión entre sus bornes dividida entre la intensidad:

Si sustituimos esta expresión de la resistencia en la fórmula de la potencia, nos queda que la potencia activa es igual a la tensión de la resistencia por la intensidad:

Potencia reactiva

Es la potencia con la que se carga y se descarga constantemente la bobina. No se consume, únicamente se intercambia entre el generador y la bobina.

Se representa con la letra Q y el subíndice L y se mide en volti-amperios-reactivos (VAR).

Se puede calcular mediante la siguiente fórmula, en la que se multiplica la reactancia inductiva por la intensidad al cuadrado:

Por la ley de Ohm, la reactancia inductiva es igual a la tensión entre sus bornes dividida entre la intensidad:

Sustituyendo esta expresión la reactancia inductiva en la fórmula de la potencia, nos queda que podemos calcular la potencia reactiva multiplicando la tensión en la bobina por la intensidad.

Potencia aparente

La potencia aparente es la potencia total que transportan los conductores que alimentan el circuito. Dado que en un circuito RL existe potencia activa y reactiva, por los conductores que alimentan dicho circuito se transportan ambas potencias.

La potencia activa se obtiene sumando vectorialmente la potencia activa y la potencia aparente (como veremos más abajo en el triángulo de potencias).

Se representa por la letra S y se mide en volti-amperios (VA).

Se calcula multiplicando la impedancia total del circuito por la intensidad al cuadrado:

Como la impedancia total es igual a la tensión total entre la intensidad, según la ley de Ohm:

Sustituyendo Z por esta expresión en la fórmula de la potencia, nos queda que la potencia aparente es igual a la tensión total por la intensidad:

Triángulo de potencias del circuito en serie RL

De la misma forma que hemos hecho para las tensiones y las impedancias, podemos construir un triángulo que relacione las tres potencias que se dan en un circuito en serie RL, llamado triángulo de potencias.

Si multiplicamos el triángulo de impedancias por la intensidad al cuadrado nos queda el siguiente triángulo:

El cual corresponde con las tres potencias del circuito:

donde la hipotenusa es la potencia aparente S, el cateto menor es la potenciar reactiva Q y el cateto mayor es la potencia activa P.

Por el teorema de Pitágoras, las tres potencias están relacionadas, ya que la potencia aparente al cuadrado es igual a la potencia activa al cuadrado más la potencia reactiva al cuadrado:

Que despejando S nos queda:

En este triángulo, el seno de φ es igual a la potencia reactiva entre la aparente:

De donde podemos despejar la potencia reactiva, que se calcula multiplicando la potencia aparente por el seno de φ:

El coseno de φ es igual a la potencia activa entre la aparente:

Y despejando la potencia activa nos queda que es igual a la potencia aparente por el coseno de φ:

Por último, podemos calcular el ángulo φ conocidas la potencia activa y la reactiva, ya que la tangente de φ es igual a la potencia reactiva entre la potencia activa:

De donde podemos obtener el valor de φ:

Con las funciones inversas del seno y el coseno también podemos calcular el ángulo φ:

El ángulo obtenido es el mismo que el ángulo de desfase entre tensión e intensidad ya que este triángulo lo hemos construido multiplicando los lados del triángulo de impedancias por la intensidad al cuadrado y el ángulo no ha variado.

Factor de potencia

El factor de potencia nos indica la relación que existe entre la potencia activa y la aparente. Se calcula como el cociente entre la potencia activa y la potencia aparente:

El factor de potencia es igual al coseno de φ. De hecho, se le llama factor de potencia o coseno de φ indistintamente.

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