Circuito en serie RLC en corriente alterna. Fórmulas y diagrama vectorial

A continuación te voy a explicar qué formulas se utilizan para resolver los circuitos RLC en serie, es decir, los circuitos compuestos por una resistencia, una bobina y un condensador conectados en serie. Te enseñaré cómo calcular la intensidad del circuito, así como las tensiones, la impedancia total y las diferentes potencias.

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Qué es un circuito RLC en serie

Un circuito en serie RLC es aquel que tiene conectados en serie una resistencia, una bobina con una reactancia inductiva y un condensador con una reactancia capacitiva a una fuente de tensión:

La corriente I que se forma en el circuito es la misma para los tres receptores, ya que están conectados en serie, cuyo valor depende de la combinación de la resistencia, la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva.

La combinación de la resistencia, la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva se conoce por el nombre de impedancia. Se representa por la letra Z y se mide en Ω:

Suponiendo que la reactancia inductiva es mayor que la reactancia capacitiva, el valor de la impedancia se obtiene con la siguiente fórmula, deducida del triángulo de impedancias como veremos más abajo:

Una vez obtenida la impedancia, la intensidad de corriente eléctrica la podemos calcular aplicando la ley de Ohm:

Por otro lado, sabemos que la tensión en la resistencia es igual a la intensidad multiplicada por la resistencia:

La tensión en la reactancia inductiva es igual a la intensidad por la reactancia inductiva:

Y la tensión en la reactancia capacitiva es igual a la intensidad por la reactancia capacitiva:

La tensión total del circuito es igual a la suma vectorial de las tensiones en cada receptor:

Diagrama vectorial del circuito RLC en serie

Veamos paso a paso cómo construir el diagrama vectorial de un circuito en serie RLC.

Tomamos la intensidad como referencia con un ángulo de 0º y dibujamos la tensión en la resistencia en fase con la intensidad:

Dibujamos la tensión en la bobina, que está adelantada 90º con respecto a la intensidad:

Ahora dibujamos la tensión en el condensador, que está retrasada 90º con respecto a la intensidad:

Vc es más pequeña que VL, porque recuerda que hemos supuesto que la reactancia inductiva es mayor que la reactancia capacitiva.

Además, observamos que VL y Vc quedan en oposición y ambas se encuentran en el eje «y» por lo que ambas tensiones se pueden restar para obtener la tensión resultante en el eje «y», que ahora colocamos en el extremo de Vr:

Al estar ambas tensiones en el mismo eje, la suma vectorial se convierte es una resta aritmética de valor:

Para obtener la tensión total, sumamos gráficamente la tensión en la resistencia y la tensión resultante de realizar VL-VC:

Triángulo de tensiones del circuito en serie RLC

Si representamos el vector resultante de la tensión en el eje «y» de valor VL-Vc (en nuestro caso), nos queda lo que se llama el triángulo de tensiones:

Relacionando cada uno de los lados del triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras tenemos:

De donde podemos despejar la tensión total, pasando el cuadrado del primer miembro al segundo miembro como raíz:

Por otro lado, gracias a las razones trigonométricas, si conocemos el valor de la tensión total y el ángulo que forma, podemos calcular el valor de sus componentes, es decir, de la tensión en la resistencia y de la tensión en la bobina.

En el triángulo de tensiones, el seno del ángulo φ es igual a la tensión en la bobina menos la tensión en el condensador, entre la tensión total:

De donde podemos despejar la resta VL-Vc:

Y también podemos despejar el ángulo φ:

El coseno del ángulo φ es igual a al tensión en la resistencia entre la tensión total:

De donde podemos despejar el valor de la tensión en la resistencia, que depende de la tensión total y del coseno del ángulo φ:

De la fórmula del coseno de φ anterior, también podemos despejar φ:

Por último, la tangente del ángulo φ es igual a:

Y si despejamos el ángulo en la tangente nos queda:

Triángulo de impedancias del circuito en serie RLC

Dividiendo cada uno de los lados del triángulo de tensiones entre la intensidad, obtenemos el triángulo de impedancias:

Al ser XL mayor que Xc, los efectos que pudiera provocar la reactancia capacitiva quedan absorbidos por la reactancia inductiva de la bobina, por lo que el resultado es equivalente a un circuito que sólo tuviera una bobina de valor XL-Xc.

Aplicando el teorema del Pitágoras al triángulo nos queda:

De donde podemos despejar el valor de la impedancia:

El seno del ángulo φ es igual a XL-Xc entre la impedancia:

Podemos despejar el valor de XL-Xc pasando la impedancia que está dividiendo en el segundo miembro, multiplicando al primer miembro:

También podemos obtener el valor del ángulo φ con la función inversa del seno:

El coseno del ángulo φ es igual a la resistencia entre la impedancia:

Si despejamos la resistencia, nos queda que R es igual a Z por el coseno de φ:

Y el ángulo φ lo podemos obtener también a partir de la función inversa del coseno:

Por último, la tangente del ángulo φ es igual a:

Y si despejando el ángulo φ en la tangente nos queda:

Triángulo de potencias del circuito en serie RLC

Multiplicando cada uno de los lados del triángulo de impedancias por la intensidad al cuadrado nos queda el siguiente triángulo, llamado el triángulo de potencias:

Por el teorema de Pitágoras, las tres potencias están relacionadas por la siguiente fórmula:

Que despejando S nos queda:

La potencia aparente la podemos obtener también multiplicando la tensión total del circuito por la intensidad:

Por otro lado, la potencia reactiva total es igual a la potencia reactiva inductiva menos la potencia reactiva capacitiva (en nuestro caso, con XL mayor que Xc):

En este triángulo, el seno de φ es igual a:

De donde podemos despejar la potencia reactiva total:

Y el ángulo φ lo podemos obtener a partir de la función inversa del seno:

El coseno de φ es igual a la potencia activa entre la aparente:

Y despejando la potencia activa nos queda que es igual a la potencia aparente por el coseno de φ:

De la función inversa del coseno también podemos obtener el ángulo φ:

Por último, podemos calcular el ángulo φ conocidas la potencia activa y la reactiva total, con la fórmula de la tangente:

Y si despejamos φ nos queda:

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