Circuito RLC en paralelo en corriente alterna. Fórmulas y ejercicios resueltos

A continuación vamos a ver los circuitos en paralelo RLC o dicho de otra forma, los circuitos compuestos por una resistencia, una bobina y un condensador conectados en paralelo a un generador. Analizaremos las fórmulas que necesitamos para resolver circuitos en paralelo RLC así como su diagrama vectorial.

¡Empezamos!

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Circuito en paralelo RLC

Un circuito en paralelo RLC es un circuito en el que están conectados en paralelo una resistencia, una bobina y un condensador a una fuente de tensión.

En este tipo de circuitos, la tensión en bornes de la resistencia, en bornes de la bobina y en bornes del condensador es la misma y las tres tensiones son iguales a la tensión del generador.

Mientras que la intensidad total es igual a la suma vectorial de la intensidad que circula por la resistencia más la intensidad que circula por la bobina más la intensidad que circula por el condensador:

El valor de la intensidad en la resistencia la calculamos dividiendo la tensión entre la resistencia:

La intensidad por la reactancia inductiva es igual a la tensión entre el valor de la reactancia inductiva:

Y la intensidad que circula por el condensador la calculamos dividiendo la tensión entre la reactancia capacitiva:

Al estar los elementos conectados en paralelo, la impedancia total del circuito la calculamos con la siguiente fórmula:

Por lo que el circuito en paralelo RLC queda reducido al siguiente circuito equivalente:

Una vez conocida la impedancia, podemos calcular el valor de la intensidad total, dividiendo la tensión total entre la impedancia:

Admitancia, conductancia y susceptancia

Ya que en el circuito RLC en paralelo, los elementos están conectados en paralelo, vamos a introducir tres términos nuevos que nos ayudarán a realizar los cálculos para resolver circuitos de este tipo.

Admitancia

La admitancia es la inversa de la impedancia y se mide en Siemens:

Cuando tenemos varias impedancias en paralelo, la impedancia total la calcularíamos de esta forma:

Pero, utilizando las admitancias, nos ahorramos el tener que operar con fracciones y con la inversa de la impedancia y podemos sumar las admitancias directamente, por lo que simplificamos los cálculos:

Conductancia

La conductancia es la inversa de la resistencia. Se mide en Siemens:

Susceptancia

Tenemos dos tipos de susceptancias:

La susceptancia inductiva, que es la inversa de la reactancia inductiva:

Y a susceptancia capacitiva, que es la inversa de la reactancia capacitiva:

Ambas susceptancias se miden en Siemens.

Veremos más abajo en los ejercicios resueltos cómo utilizar estas fórmulas y cómo calcular estos conceptos.

Diagrama vectorial de un circuito en paralelo RLC

Vamos a ver ahora cómo se construye el diagrama vectorial de un circuito en paralelo RLC.

En este caso, tomamos como referencia la tensión del generador (común a todos los elementos del circuito), con un ángulo de 0º:

Dibujamos la intensidad en la resistencia, que está en fase con la tensión:

La intensidad en una bobina está retrasada 90º con respecto a la tensión:

por lo que añadiendo la intensidad en la bobina en nuestro diagrama vectorial nos queda:

En el condensador, la intensidad tiene un adelanto de 90º con respecto a la tensión:

Dibujamos la intensidad del condensador en el diagrama:

Hemos supuesto que Ic es menor que IL.

Por otro lado, IL e Ic quedan se encuentran en el eje «y» por lo que ambas intensidades se pueden restar para obtener la intensidad resultante en el eje «y». Además, ambos vectores los colocamos en el extremo de Ir:

Como las dos intensidades se encuentran en el mismo eje, la suma vectorial es igual a la resta aritmética de las intensidades, que tiene el siguiente valor:

La intensidad total la obtenemos sumando gráficamente los vectores Ir y el vector resultante de la diferencia de la intensidad de la bobina menos la intensidad del condensador:

Triángulo de intensidades de un circuito en paralelo RLC

El triángulo de intensidades lo forma la intensidad total, la intensidad en la resistencia y la intensidad resultante en el eje «y» (diferencia entre al intensidad de la bobina y la intensidad del condensador):

Los lados de este triángulo rectángulo están relacionados mediante el teorema de Pitágoras:

De donde podemos despejar la intensidad total, pasando el cuadrado del primer miembro al segundo miembro como raíz:

Mediante las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo, tenemos que el coseno del ángulo φ es igual a la intensidad que circula por la resistencia entre la intensidad total:

De donde podemos despejar el ángulo φ con la inversa del coseno.

También podemos obtener el resto de razones trigonométricas si fuera necesario para resolver algún dato de nuestro circuito.

Triángulo de admitancias de un circuito en paralelo RLC

Igual que para un circuito RLC en serie, tenemos el triángulo de impedancias:

Para un circuito en paralelo RLC tenemos el triángulo de admitancias, que se obtiene dividiendo cada uno de los lados del triángulo de intensidades entre la tensión total. Al tener en cada lado intensidad entre tensión, tenemos las inversas de la resistencia, reactancia e impedancia, es decir, admitancia, conductancia y susceptancia:

A partir del teorema de Pitágoras aplicado a este triángulo tenemos:

De donde podemos despejar la admitancia:

Y también podemos obtener el coseno de φ como la conductancia entre la admitancia:

A partir del cual podemos obtener el valor del ángulo φ, mediante su inversa.

Triángulo de potencias de un circuito en paralelo RLC

Si multiplicamos los lados del triángulo de intensidades por la tensión, obtenemos el triángulo de potencias:

Por el teorema de Pitágoras, las tres potencias están relacionadas por la siguiente fórmula:

Que despejando S nos queda:

La potencia aparente la podemos obtener también multiplicando la tensión total del circuito por la intensidad:

Por otro lado, la potencia reactiva total es igual a la potencia reactiva inductiva menos la potencia reactiva capacitiva (en nuestro caso, con XL mayor que Xc):

En este triángulo, el seno de φ es igual a:

De donde podemos despejar la potencia reactiva total:

Y el ángulo φ lo podemos obtener a partir de la función inversa del seno:

El coseno de φ es igual a la potencia activa entre la aparente:

Y despejando la potencia activa nos queda que es igual a la potencia aparente por el coseno de φ:

De la función inversa del coseno también podemos obtener el ángulo φ:

Por último, podemos calcular el ángulo φ conocidas la potencia activa y la reactiva total, con la fórmula de la tangente:

Y si despejamos φ nos queda:

Ejercicios resueltos de circuitos en paralelo RLC

Ejercicio 1

En un circuito RL en paralelo se han medido los siguientes datos: V= 200 V, I=2 A e Ir=1,6 A.

a) El ángulo de desfase entre tensión e intensidad

b) Determinar la parte óhmica y la parte reactiva de la impedancia

c) Potencia activa, reactiva y aparente

Vamos a empezar calculando el ángulo de desfase entre tensión e intensidad.

Tenemos los valores de la intensidad total y de la intensidad en la resistencia, por lo que podemos obtener el coseno de φ:

Sustituimos valores y operamos:

Mediante la inversa del coseno, obtenemos el valor del ángulo φ:

Ahora vamos a determinar la parte óhmica y la parte reactiva de la impedancia. Esto lo podemos hacer de dos formas.

La primera forma es a partir  del triángulo de intensidades:

En primer lugar calculamos la resistencia (parte óhmica de la impedancia) dividiendo la tensión entre la intensidad de la resistencia:

Ahora, del triángulo de intensidades, tenemos que la intensidad de la bobina es:

Sustituimos la intensidad total y el ángulo por sus valores y operamos:

Una vez obtenemos el valor de la intensidad en la bobina, podemos calcular la reactancia inductiva (parte reactiva de la impedancia), dividiendo la tensión entre la intensidad en la bobina:

Sustituimos valores y operamos:

Otra forma de hacerlo es a partir del triángulo de admitancias:

Empezamos calculando la impedancia:

Y una vez conocida la impedancia, obtenemos la admitancia:

Calculamos la resistencia dividiendo la tensión entre la intensidad en la resistencia:

Ya tenemos la parte óhmica de la resistencia.

Calculamos la conductancia realizando la inversa de la resistencia:

Ya conocemos la admitancia Y y la conductancia G.

Por el teorema de Pitágoras podemos despejar la susceptancia:

Sustituimos los valores de Y y G y operamos:

La susceptancia es la inversa de la reactancia, por lo que podemos calcular la reactancia como la inversa de la susceptancia:

Sustituimos valores y operamos para obtener el valor de la reactancia (parte reactiva de la impedancia):

Finalmente, gracias al triángulo de potencias:

Podemos calcular la potencia activa, reactiva y aparente.

Calculamos la potencia activa:

Calculamos la potencia reactiva:

Y calculamos la potencia aparente:

Ejercicio 2

Una resistencia de 1 kΩ, una bobina de 6 H y un condensador de 10 μF están conectados en paralelo a una tensión de 230 V y 50 Hz.

a) ¿Cuál es el valor de las intensidades parciales y de la intensidad total?

b) ¿Cuál es el ángulo de desfase entre la intensidad total y la tensión?

c) Calcula los valores de la admitancia, la conductancia y la susceptancia

Tenemos el valor de la resistencia:

Calculamos el valor de la reactancia inductiva con la siguiente fórmula:

Sustituimos valores y operamos:

Calculamos el valor de la reactancia capacitiva con la siguiente fórmula:

Sustituimos valores y operamos:

Una vez conocidos los valores de la resistencia, reactancia inductiva y reactancia capacitiva, podemos calcular la impedancia con la siguiente fórmula:

Sustituimos valores:

Operamos con la calculadora:

Y finalmente despejamos Z:

Una vez tenemos el valor de la impedancia, podemos calcular el valor de la intensidad total, dividiendo la tensión entre la impedancia:

La intensidad en la resistencia es igual a la tensión entre la resistencia:

Calculamos la intensidad en la bobina dividiendo la tensión entre la reactancia inductiva:

Finalmente calculamos la intensidad que circula por el condensador:

Calculamos el ángulo de desfase mediante el coseno del ángulo, que es igual a la intensidad en la resistencia entre la intensidad total:

Obtenemos el ángulo de desfase realizando la inversa del coseno:

Calculamos el valor de la admitancia:

El valor de la conductancia es:

Y obtenemos los valores de la susceptancia reactiva y la susceptancia capacitiva:

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