A continuación te voy a explicar qué es el coeficiente de correlación lineal también llamado coeficiente de Pearson. Aprenderemos a calcularlo y a interpretar sus resultados, con un ejercicio resuelto.
¡Empezamos!
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Fórmula del coeficiente de correlación lineal
El coeficiente de correlación de Pearson permite analizar cómo de cerca está la nube de puntos a aproximarse a una línea recta. Su fórmula es la siguiente:
Donde σxy es la covarianza o varianza conjunta de las variables X e Y, cuya fórmula es:
σx es la desviación típica de la variable X, que tiene como fórmula:
Y σy es la desviación típica de la variable Y, cuya fórmula es:
Valores posibles del coeficiente de correlación lineal
El valor del coeficiente de correlación lineal de Pearson, r, siempre estará comprendido entre -1 y 1:
Si 0 < r < 1, existe una correlación lineal positiva y será más fuerte cuanto más se aproxime a 1, es decir, los puntos se aproximarán más a una recta con pendiente positiva cuanto más se aproxime r a 1:
Si -1 < r < 0, existe una correlación lineal negativa y será más fuerte cuanto más se aproxime a -1, es decir, los puntos se aproximarán más a una recta con pendiente negativa cuanto más se aproxime r a -1:
Si r=1, tienen una correlación funcional, es decir, los puntos forman una recta con pendiente positiva:
Si r=-1, tienen una correlación funcional, es decir, los puntos forman una recta con pendiente negativa:
Si r=0, no existe ninguna clase de correlación lineal entre las variables, aunque sí puede existir una correlación curvilínea:
Cómo calcular el coeficiente de correlación lineal. Ejercicio resuelto
Vamos a ver cómo calcular el coeficiente de correlación lineal mientras resolvemos el siguiente ejercicio:
Se sabe que el número de clientes diarios de un núcleo de población que acuden a un centro comercial depende de la distancia entre ambos. Los datos de seis centros comerciales y sus distancias a un núcleo de población son los siguientes:
a) Hallar la media de cada variable
b) Hallar el coeficiente de correlación lineal
Apartado a:
Vamos a calcular la media de cada variable:
En primer lugar, colocamos ambos valores en una tabla, donde en la última fila realizamos la suma total:
La media de x, será igual a la suma de los valores de x, entre el número total de datos de x:
El número total de datos es igual a 6:
Y la suma de todos los valores x lo obtengo de la última fila de la primera columna de la tabla. Por tanto, la media de x es:
La media de «y», será igual a la suma de los valores de «y», entre el número total de datos de «y»:
El número total de datos es igual a 6 y la suma de los valores «y» lo obtengo de la última fila de la segunda columna de la tabla. La media de «y» es:
Ahora vamos a calcular la des
Apartado b:
Vamos a calcular el coeficiente de correlación lineal y para ello aplicamos su fórmula correspondiente:
En este caso, los valores se repiten sólo una vez, por lo que f es igual a 1, tanto en la covarianza como en las desviaciones típicas de cada variable:
Por tanto, la f desaparece de las fórmulas (porque multiplicamos por 1) y me quedan así:
Para calcular la covarianza tengo que calcular la suma de la multiplicación de cada valor de x por su valor de «y» correspondiente. Eso lo hago añadiendo una tercera columna a la tabla, donde en cada fila multiplico x por «y» y en la última fila sumo el valor de todas las multiplicaciones:
Ese dato, lo sustituyo en la fórmula, junto con el de N, que es 6 y el de la media de cada variable, que las he calculado en el apartado anterior y opero:
Ahora voy a calcular las desviaciones típicas de x y de «y». Para ello necesito la suma de todos los valores de x y de «y» elevados al cuadrado y eso lo calculo añadiendo dos columnas más a la tabla, una donde elevo al cuadrado cada valor de x de la fila y otro donde elevo al cuadrado cada valor de «y» de la fila. En la última fila de cada columna sumo todos los valores de la columna:
La suma de todos los valores de x al cuadrado la obtengo de la última fila de la cuarta columna. Sustituyo ese valor en la formula, junto con el de N y la media de x y opero:
La suma de todos los valores de «y» al cuadrado la obtengo de la última fila de la quinta columna. Sustituyo ese valor en la formula, junto con el de N y la media de «y» y opero:
Una vez tengo los valores de la covarianza y de ambas desviaciones típicas, procedo a calcular el coeficiente de correlación lineal:
Vemos que r es muy próximo a -1, lo que quiere decir, que los puntos se ajustan bastante a una recta con pendiente negativa.
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