Combinaciones sin repetición y combinaciones con repetición. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar qué son las combinaciones ordinarias (sin repetición) y las combinaciones con repetición. Veremos cómo calcular cada una de ellas con ejemplos y ejercicios resueltos.

¡Vamos allá!

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Combinaciones ordinarias o combinaciones sin repetición

Las combinaciones ordinarias o combinaciones sin repetición son grupos de n elementos, tomados de r en r, que se pueden formar con esos elementos, de tal forma que:

  • NO intervienen todos los elementos
  • NO importa el orden de los elementos
  • NO se pueden repetir los elementos

Por ejemplo, tenemos una muestra con los siguientes dígitos:

Las combinaciones sin repetición de dos elementos de esta muestra serían:

teniendo en cuenta que no importa el orden, por lo que 12 es igual a 21:

Si las combinaciones fueran de 3 elementos, hay que tener en cuenta que todas las opciones resultantes de combinar 3 dígitos es la misma combinación:

Fórmula de las combinaciones sin repetición

La fórmula para calcular las combinaciones sin repetición es:

Que sería igual a dividir una variación ordinaria de n elementos tomados de r en r, dividido entre una permutación de r elementos:

El número de combinaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r también se llama número combinatorio:

El número combinatorio de una combinación sin repetición, de n elementos tomados de r en r, se lee n sobre r y se representa uno sobre otro entre paréntesis, quedando la n arriba y la r abajo.

Por ejemplo, de la muestra anterior de 5 dígitos, vamos a calcular la combinación sin repetición de 5 elementos tomados de 2 en 2:

Aplicando la fórmula nos queda:

Operamos para obtener el resultado:

El número combinatorio de la combinación sin repetición de 5 elementos tomados de 2 en 2, se lee 5 sobre 2.

Vamos a ver otro ejemplo: En una clase de 15 alumnos queremos formar grupos de 5. ¿Cuántos grupos distintos podemos formar?

Este es un caso de combinación sin repetición, ya que no tomamos todos los alumnos, el orden dentro de los grupos no importa y los alumnos no se pueden repetir.

Por tanto, vamos a calcular la combinación sin repetición de 15 elementos tomados de 5 en 5 o el número combinatorio 15 sobre 5 aplicando su fórmula correspondiente:

Operamos y nos queda:

Tenemos 3003 combinaciones.

Número de combinaciones de la primitiva

Un ejemplo de combinaciones sin repetición son las combinaciones de la lotería primitiva.

Cada apuesta de la lotería primitiva consiste en elegir seis números del 1 al 49. Cada combinación de 6 números corresponde a una apuesta. Si aciertas los 6 números ganas el máximo premio.

¿Cuál es el número de combinaciones de la primitiva?

No influye el orden en el que elijas los números. Sólo intervienen 6 números de los 49, por lo que no intervienen todos los elementos y los números no pueden repetirse.

Por tanto, el número de apuestas posibles coincide con el número de combinaciones sin repetición de 49 elementos tomados de 6 en 6:

Operamos y nos queda:

Es decir, hay casi 14 millones de combinaciones posibles.

La probabilidad de acertar la combinación ganadora con una sola apuesta es:

Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición son grupos de n elementos, tomados de r en r, que se pueden formar con esos elementos, teniendo en cuenta que en este caso los elementos sí pueden repetirse, de tal forma que:

  • NO intervienen todos los elementos
  • NO importa el orden de los elementos
  • SÍ se pueden repetir los elementos

La fórmula para calcular las combinaciones con repetición es la siguiente:

Es decir, una combinación con repetición de n elementos tomados de r en r, es igual a una combinación sin repetición de “n+r-1” elementos tomados de r en r.

Vamos a ver un ejemplo.

¿De cuántas formas podemos sacar 4 cartas de una baraja de 40 cartas, devolviendo cada vez la carta, si no importa el orden en el que las sacamos?

En este caso, no importa el orden de las cartas, no intervienen todas las cartas y sí se pueden repetir, por lo que es una  combinación con repetición.

La combinación con repetición de 40 cartas, tomadas de 4 en 4, es igual a la combinación sin repetición de 43 cartas (n+r-1=40+4-1=43) tomadas de 4 en 4:

Operamos y nos queda:

Tenemos 123410 combinaciones distintas.

Esquema para identificar las variaciones, permutaciones y combinaciones

Como norma general, para saber si se trata de variaciones, permutaciones o combinaciones, te debes hacer las siguientes preguntas:

  • ¿Importa el orden?
  • ¿Intervienen todos los elementos?
  • ¿Se repiten todos los elementos?

En función de la respuesta estaremos en un caso u en otro. Te dejo aquí el esquema con el que podrás identificar fácilmente si se trata de una variación, una permutación o una combinación:

Ejercicios resueltos con combinaciones ordinarias y con repetición

Ejercicio 1

Para aprobar un examen de 5 preguntas hay que contestar bien 2 de ellas. ¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir las dos preguntas?

No importa el orden en el que se acierten las preguntas, para aprobar solo intervienen 2 de las 5 preguntas y además no se pueden repetir, por lo que se trata de combinaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 2 en 2.

Aplicamos la fórmula y queda:

Y después operamos:

Se puede aprobar de 10 formas distintas.

Ejercicio 2

Entre 11 alumnos hay que elegir un grupo de 5 alumnos para hacer un trabajo

a) ¿Cuántos grupos diferentes de se pueden formar?

En la formación de los grupos no influye el orden de los alumnos, no se eligen todos los alumnos para hacer los grupos y no se pueden repetir. Son por tanto combinaciones sin repetición de 11 elementos tomados de 5 en 5.

Calculamos el número de combinaciones con su fórmula y queda:

Operamos:

Se pueden formar 462 grupos diferentes.

b) Sergio es uno de esos 11 alumnos, ¿en cuántos grupos entraría Sergio?

Para saber los grupos en los que entra Sergio, formamos con los 10 alumnos restantes todas las combinaciones posibles de 4 elementos, teniendo en cuenta que Sergio ya pertenece a ellos y es el que forma el quinto integrante del grupo.

Entonces hay que calcular las combinaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 4 en 4, que aplicando la fórmula y operando queda:

Ejercicio 3

En un bar hay cervezas de 8 marcas. ¿De cuántas formas se pueden elegir 5 cervezas?

En este caso, dentro de cada marca hay varias cervezas, luego las cervezas pueden repetirse. Por ejemplo, podría elegir  5 cervezas de la misma marca. No importa el orden de cómo las elija y no intervienen todas las marcas.

Por tanto, se trata de una combinación con repetición de 8 elementos tomados de 5 en 5.

Aplicamos su fórmula y operamos:

Sería el equivalente a calcular combinaciones sin repetición de 12 elementos tomados de 4 en 4:

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