Cómo calcular el determinante de una matriz de orden 3 y de orden 4 (o superior). Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada utilizando sus elementos.

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¡Vamos a verlo!

Cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 3

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila cualquiera o de una columna cualquiera, por sus respectivos adjuntos. (te explico lo que es el adjunto de un elemento en la segunda lección del Curso de Determinantes):

Para una matriz A de orden 3:

determinante de orden 3

Su determinante, eligiendo por ejemplo la fila 2 sería:

matriz cuadrada de orden 3

Vamos a verlo con un ejemplo. Vamos a calcular el determinante de la siguiente matriz:

matriz de orden 3

El determinante de la matriz es:

calculo de determinante

Elegimos la fila 1 y realizamos la suma de cada elemento de esa fila por su adjunto:

calcular el determinante de una matriz

calculo de determinante de orden 4

Operamos las potencias y resolvemos los determinantes de orden 2 que tenemos:

como se calcula el determinante de una matriz

Y operamos:

determinante de una matriz de orden 3

determinantes de cuarto orden

Para calcular el determinante de una matriz, se puede elegir cualquier fila o cualquier columna. Para demostrarlo, vamos a calcular la misma matriz A, pero ahora eligiendo la fila 3:

como calcular determinantes

Realizamos la suma de los productos de cada elemento de la fila 3 por su adjunto:

calculo del determinante de una matriz

calculo del determinante

Resolvemos potencias y determinantes y operamos:

como calcular el determinante

calcular determinante de una matriz

determinante de una matriz cuadrada

El resultado, es el mismo que cuando elegimos la fila 1, como no podía ser de otra forma, pero esta vez, hemos tenido que realizar menos cálculos, ya que al ser 0 uno de sus elementos, ese término se anula.

Por tanto, conviene elegir la fila o la columna que tenga más ceros.

Otra opción podía haber sido hacer cero todos los elementos menos uno de la fila o la columna que se elija, mediante operaciones entre sus filas previamente.

Vamos a ver cómo hacer ésto, al mismo tiempo que te explico el cálculo del determinante de una matriz cuadrada de orden 4.

Cálculo del determinante de una matriz cuadrada de orden 4 (o superior)

El cálculo del determinante de matrices cuadradas de orden 4 o superior se realiza siguiendo el mismo procedimiento, es decir, se elige una fila o columna cualquiera y se realiza la suma de los productos de cada elemento de la fila o columna por su adjunto:

calcular el determinante de orden 4

El determinante de la matriz A anterior, eligiendo la fila 2 sería:

como calcular determinante

Sin embargo, en este caso, el cálculo se convierte más tedioso, ya que tendríamos que resolver en el peor de los casos 4 determinantes de orden 3, y dar todos los pasos que hemos dado en el apartado anterior para cada uno de esos determinantes

Cuando los determinantes son de orden 4 o superior, conviene realizar operaciones internas con sus filas, para hacer ceros todos los elementos menos uno, de la fila o columna que elijamos.

Vamos a verlo con un ejemplo: Calcular el determinante de la siguiente matriz:

calcular el determinante

Cuyo determinante es:

calcular determinante

Aprovechando que tengo un 1 en el primer elemento de la fila 1, voy a hacer 0 el resto de elementos de la columna 1, mediante operaciones internas. Para ello a la fila 2, le resto 5 veces la fila 1:

métodos para calcular determinantes

A la fila 3, le resto 3 veces la fila 1:

determinante de 3 orden

Y a la fila 4 le sumo la fila 1:

calcular determinantes ejercicios resueltos

Me queda el siguiente determinante:

calcular el determinante

Ahora, voy a calcular el determinante, eligiendo la columna 1 ya que sólo tendré que multiplicar el primer elemento por su adjunto al ser el resto de elementos 0:

determinantes de orden 3 4 y 5

Tan sólo tengo que resolver un determinante de orden 3. Lo puedo resolver como lo hemos hecho en el apartado anterior, pero esta vez, voy a resolverlo siguiendo el mismo procedimiento de hacer 0 los elementos de una fila o columna.

Aprovechando que tengo un -1 en el primer elemento de la fila 2, voy a hacer 0 el resto de elementos de la columna 1. Para ello, a la fila 1 le resto 15 veces la fila 2:

Y a la fila 3 le sumo 5 veces la fila 2:

Me queda el determinante de la siguiente forma:

calcular el determinante

Para calcular este determinante, elijo la columna 1, por lo que sólo tendré que multiplicar el -1 por su adjunto, que a su vez multiplica a todo lo que ya tenía:

Resuelvo la potencia y el determinante de orden 2 que me queda:

Y finalmente opero hasta llegar a la solución:

En el Curso de Determinantes te explico también cómo calcular la inversa de una matriz usando determinantes o cómo calcular el rango de una matriz, muy detalladamente y con ejercicios resueltos.

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