Vamos a ver cómo dibujar circunferencias tangentes entre sí, con ejercicios resueltos paso a paso. Veremos las condiciones que se han de cumplir para que dos circunferencias sean tangentes y cómo aplicarlo en ejercicios.
¡Empezamos!
Dos circunferencias tangentes
Lo primero que debemos tener claro para dibujar dos circunferencias tangentes es cuándo son tangentes dos circunferencias.
¿Y cuándo son tangentes dos circunferencias?
Dos circunferencias son tangentes cuando se tocan en un punto, llamado punto de tangencia (punto T).
Si el punto de tangencia se encuentra entre los centros de las circunferencias, se trata de circunferencias tangentes exteriores. Las circunferencias se tocan por fuera:
Por otro lado, si el punto de tangencia se encuentra ubicado a uno de los lados de los centros de las circunferencias, se trata de circunferencias tangentes interiores. La circunferencia de radio menor se encuentra dentro de la circunferencia de mayor radio:
Cuando dos circunferencias son tangentes, los centros se encuentran alineados con el punto de tangencia:
Tanto en el caso de circunferencias tangentes exteriores, como en las circunferencias tangentes exteriores, los centros y el punto de tangencia se pertenecen a la misma línea recta:
Siguiendo esta premisa, dibujaremos circunferencias tangentes entre sí.
Cómo dibujar dos circunferencias tangentes exteriores
Vamos a ver cómo dibujar dos circunferencias tangentes exteriores, de radio dado.
Por ejemplo, vamos a dibujar dos circunferencias tangentes exteriores de radios 15 y 20 mm.
En primer lugar, empezamos dibujando una de las dos circunferencias. Yo por ejemplo, trazo la circunferencia de radio 20 mm:
Ahora, partiendo desde el centro de la circunferencia, trazamos una línea recta en cualquier dirección:
El punto de corte de la línea recta con la circunferencia será el punto de tangencia:
Ahora desde el punto de tangencia, medimos la distancia del segundo radio hacia la parte externa de la circunferencia, que en este caso son 15 mm, obteniendo el centro de la segunda circunferencia:
Finalmente, con centro en el punto O2 y con radio 15 mm, trazamos la segunda circunferencia, que será tangente a la primera circunferencia en el punto de tangencia T:
Como puedes observar, los dos centros y el punto de tangencia pertenecen a la misma recta, ya que los hemos dibujado siguiendo esa premisa.
Circunferencias tangentes exteriores de radio dado a otra circunferencia
Como acabamos de ver en el apartado anterior, para dibujar dos circunferencias tangentes exteriores, al radio que ya tenemos, en la misma recta, sumamos el radio de la circunferencia tangente que queremos dibujar, dando como resultado el centro de la circunferencia tangente (O2):
Podemos sumar los radios de las dos circunferencias en cualquier dirección y obtendríamos infinitos centros de circunferencias tangentes y todos se encontrarían a una distancia igual a la suma de las dos circunferencias al centro O1.
Por tanto, si dibujamos una circunferencia concéntrica a la primera circunferencia, de radio igual a la suma de los radios de las dos circunferencias tangentes, tenemos el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio dado, tangentes exteriores a una circunferencia dada. Cualquier punto que pertenezca a la circunferencia concéntrica será el centro de una circunferencia tangente exterior:
En nuestro ejemplo anterior, teníamos una circunferencia de radio 20 mm y queríamos dibujar una circunferencia tangente exterior de radio 15 mm, tangente exterior a la anterior.
Si dibujamos una circunferencia concéntrica a la circunferencia de 20 mm, con centro en O1 y de radio igual a 35 mm (suma de los radios de las dos circunferencias), cualquier punto que pertenezca a esta circunferencia concéntrica será el centro de una circunferencia de radio 15 mm tangente exterior a una circunferencia de radio 20 mm:
Por tanto, podríamos dibujar las circunferencias tangentes exteriores de radio 15 mm que queramos, siempre y cuando sus centros pertenezcan a la circunferencia de radio 35 mm:
Cómo dibujar dos circunferencias tangentes interiores
Vamos a aprender a dibujar dos circunferencias tangentes interiores de radio dado.
Por ejemplo, nos piden dibujar dos circunferencias tangentes interiores de radios 30 y 10 mm.
Empezamos dibujando la circunferencia de radio mayor, es decir, la circunferencia de radio 30 mm:
Desde el centro de la circunferencia, trazamos una línea recta en cualquier dirección. El punto de corte de la línea recta con la circunferencia será el punto de tangencia:
Ahora desde el punto de tangencia, medimos la distancia del segundo radio hacia la parte interna de la circunferencia, que en este caso son 10 mm, dando como resultado el centro de la segunda circunferencia O2:
Por último, con centro en el punto O2 y con radio 10 mm, dibujamos la segunda circunferencia, que será tangente interior a la primera circunferencia en el punto de tangencia T:
En este caso, los dos centros y el punto de tangencia también pertenecen a la misma recta.
Circunferencias tangentes interiores de radio dado a otra circunferencia
Tal y como te he explicado en el apartado anterior, para dibujar dos circunferencias tangentes interiores, al radio que ya tenemos, en la misma recta, restamos el radio de la circunferencia tangente que queremos dibujar, dando como resultado el centro de la circunferencia tangente (O2):
Podemos restar los radios de las dos circunferencias en cualquier dirección y obtendríamos infinitos centros de circunferencias tangentes interiores y todos se encontrarían a una distancia igual a la resta de las dos circunferencias al centro O1.
Así que, si dibujamos una circunferencia concéntrica a la primera circunferencia, de radio igual a la resta de los radios de las dos circunferencias tangentes, tenemos el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio dado, tangentes interiores a una circunferencia dada. Cualquier punto que pertenezca a la circunferencia concéntrica será el centro de una circunferencia tangente interior:
En el ejemplo anterior, teníamos una circunferencia de radio 30 mm y queríamos dibujar una circunferencia de radio 10 mm, tangente interior a la anterior.
Si dibujamos una circunferencia concéntrica a la circunferencia de 30 mm, con centro en O1 y de radio igual a 20 mm (resta de los radios de las dos circunferencias), cualquier punto que pertenezca a esta circunferencia concéntrica será el centro de una circunferencia de radio 10 mm tangente interior a una circunferencia de radio 30 mm:
Por tanto, podríamos dibujar las circunferencias tangentes interiores de radio 10 mm que queramos, siempre y cuando sus centros pertenezcan a la circunferencia de radio 20 mm:
Ejercicio resuelto de tres circunferencias tangentes exteriores
Vamos a resolver un ejercicio sobre cómo dibujar tres circunferencias tangentes entre sí, de radio dado, donde los puntos de tangencia sean exteriores.
El ejercicio dice así:
Trazar tres circunferencias tangentes exteriores entre sí, de radios 10, 15 y 20 mm:
Empezamos dibujando cualquiera de las tres circunferencias. Yo dibujaré la circunferencia de radio 20 mm:
Ahora vamos a dibujar una circunferencia tangente exterior, que podría ser cualquiera de las dos circunferencias que nos quedan. Yo voy a dibujar una circunferencia tangente de radio 15 mm a la circunferencia que ya tenemos:
Nos queda dibujar la circunferencia de radio 10 mm. Esta circunferencia debe ser tangente a las dos circunferencias que ya tenemos. Necesitamos encontrar la posición del centro de la circunferencia para que sea tangente a ambas circunferencias.
Para ello, vamos a dibujar el lugar geométrico de los centros de la circunferencia de radio 10 mm, que sean tangentes a la circunferencia de radio 20 mm. Trazamos una circunferencia concéntrica con centro en O1 y de radio 30 mm, es decir, la suma del radio de 20 mm y del radio de 10 mm. Cualquier punto que pertenezca a esta circunferencia será el centro de una circunferencia de radio 10 mm y tangente a la circunferencia de radio 20 mm:
Ahora hacemos lo mismo para la circunferencia de radio 15 mm. Vamos a dibujar el lugar geométrico de los centros de la circunferencia de radio 10 mm, que sean tangentes a la circunferencia de radio 15 mm. Trazamos una circunferencia concéntrica con centro en O2 y de radio 25 mm, es decir, la suma del radio de 15 mm y del radio de 10 mm.
Cualquier punto que pertenezca a esta circunferencia será el centro de una circunferencia de radio 10 mm y tangente a la circunferencia de radio 15 mm:
Los puntos donde se cortan las dos circunferencias concéntricas cumplirán las dos condiciones que estamos buscando: serán centros de circunferencias que serán tangentes a la circunferencia de 20 mm y a la circunferencia de 15 mm al mismo tiempo.
Las circunferencias concéntricas se cortan en dos puntos: en la parte inferior de las dos circunferencias y en la parte superior.
En la parte inferior, trazamos una circunferencia de radio 10 mm. Para hallar los puntos de tangencia, unimos con una recta los centros O1 y O3 por un lado y los centros O2 y O3 por otro. Los puntos donde las rectas corten a las circunferencias serán los puntos de tangencia, que estarán alineados con sus correspondientes centros:
Hacemos lo mismo en la parte superior, siendo otra solución del ejercicio propuesto:
